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Anfangswertproblem lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:49 Sa 08.06.2013
Autor: Apfelchips

Aufgabe
Lösen Sie das folgende Anfangswertproblem:

[mm]\ddot y + y = 4 \cdot sin(t), \quad y(0) = 1, \quad \dot y(0) = 0[/mm]



Hallo zusammen,

ich bekomme es leider nicht hin, die spezielle Lösung zu ermitteln:

Homogene Gleichung
[mm]y_h'' + y_h = 0[/mm]

Charakteristisches Polynom der DGL:
[mm]y_h(t) = e^{\lambda \cdot t}[/mm]
also: [mm]\left( (e^{\lambda*t} \right)'' + e^{\lambda*t} = 0 \iff \lambda^2 +1 = 0 \Rightarrow \lambda_1 = i, \quad \lambda_2 = -i[/mm]

Homogene Lösung:
[mm]\lambda_1, \lambda_2[/mm] sind zueinander komplex konjugiert, also ist die reelle Lösung der homogenen DGL:
[mm]y_h = c_1 \cdot e^{0 \cdot t} * cos(1 \cdot t) + c_2 \cdot e^{0 \cdot t} * sin(1 \cdot t) = c_1 \cdot cos(t) + c_2 \cdot sin(t)[/mm]

Spezielle Lösung:
Aus einer Tabelle habe ich für eine Störfunktion der Form [mm](b_0 + b_1 \cdot x + ... + b_m \cdot x^m) \cdot sin(t)[/mm] mit b ungleich 0 den Lösungsansatz [mm](A_0 + A_1 \cdot x + ... + A_m \cdot x^m) \cdot cos(bx) + (B_0 + B_1 \cdot x + ... + B_m \cdot x^m) \cdot sin(bx)[/mm] entnommen.

Das heißt also, dass die spezielle Lösung so aussehen muss:
[mm]y_s(t) = A \cdot sin(t) + B \cdot cos(t)[/mm]

Mittels Koeffizientenvergleich sollte man nun ja in der Lage sein, A und B zu bestimmen und dann die spezielle Lösung einfach an die homogene Lösung "dranzuaddieren", um die allgemeine Lösung zu erhalten.

Allerdings stoße ich hier beim Koeffizientenvergleich auf einen Fehler:
[mm]y_s'(t) = A \cdot cos(t) - B \cdot sin(t)[/mm]
[mm]y_s''(t) = -A \cdot sin(t) - B \cdot cos(t)[/mm]

Wenn ich das nun in [mm]y'' + y = 4 \cdot sin(t)[/mm] einsetze, dann ergibt das (nach etwas Umformen):
[mm](-A+A) \cdot sin(t) + (-B+B) \cdot cos(t) = 4 \cdot sin(t) + 0 \cdot cos(t)[/mm]

Nun kann [mm]-A+A[/mm] natürlich nie gleich 4 sein.

Was ist hier schiefgelaufen? An welcher Stelle habe ich einen Fehler gemacht?

Ich hoffe, Ihr könnt mir hier weiterhelfen.

Viele Grüße
Patrick

        
Bezug
Anfangswertproblem lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:02 Sa 08.06.2013
Autor: MathePower

Hallo Apfelchips,

> Lösen Sie das folgende Anfangswertproblem:
>  
> [mm]\ddot y + y = 4 \cdot sin(t), \quad y(0) = 1, \quad \dot y(0) = 0[/mm]
>  
>
> Hallo zusammen,
>  
> ich bekomme es leider nicht hin, die spezielle Lösung zu
> ermitteln:
>  
> Homogene Gleichung
>  [mm]y_h'' + y_h = 0[/mm]
>  
> Charakteristisches Polynom der DGL:
>  [mm]y_h(t) = e^{\lambda \cdot t}[/mm]
>  also: [mm]\left( (e^{\lambda*t} \right)'' + e^{\lambda*t} = 0 \iff \lambda^2 +1 = 0 \Rightarrow \lambda_1 = i, \quad \lambda_2 = -i[/mm]
>  
> Homogene Lösung:
>  [mm]\lambda_1, \lambda_2[/mm] sind zueinander komplex konjugiert,
> also ist die reelle Lösung der homogenen DGL:
>  [mm]y_h = c_1 \cdot e^{0 \cdot t} * cos(1 \cdot t) + c_2 \cdot e^{0 \cdot t} * sin(1 \cdot t) = c_1 \cdot cos(t) + c_2 \cdot sin(t)[/mm]
>  
> Spezielle Lösung:
>  Aus einer Tabelle habe ich für eine Störfunktion der
> Form [mm](b_0 + b_1 \cdot x + ... + b_m \cdot x^m) \cdot sin(t)[/mm]
> mit b ungleich 0 den Lösungsansatz [mm](A_0 + A_1 \cdot x + ... + A_m \cdot x^m) \cdot cos(bx) + (B_0 + B_1 \cdot x + ... + B_m \cdot x^m) \cdot sin(bx)[/mm]
> entnommen.
>  
> Das heißt also, dass die spezielle Lösung so aussehen
> muss:
>  [mm]y_s(t) = A \cdot sin(t) + B \cdot cos(t)[/mm]
>  
> Mittels Koeffizientenvergleich sollte man nun ja in der
> Lage sein, A und B zu bestimmen und dann die spezielle
> Lösung einfach an die homogene Lösung "dranzuaddieren",
> um die allgemeine Lösung zu erhalten.
>  
> Allerdings stoße ich hier beim Koeffizientenvergleich auf
> einen Fehler:
>  [mm]y_s'(t) = A \cdot cos(t) - B \cdot sin(t)[/mm]
>  [mm]y_s''(t) = -A \cdot sin(t) - B \cdot cos(t)[/mm]
>  
> Wenn ich das nun in [mm]y'' + y = 4 \cdot sin(t)[/mm] einsetze, dann
> ergibt das (nach etwas Umformen):
>  [mm](-A+A) \cdot sin(t) + (-B+B) \cdot cos(t) = 4 \cdot sin(t) + 0 \cdot cos(t)[/mm]
>  
> Nun kann [mm]-A+A[/mm] natürlich nie gleich 4 sein.
>  
> Was ist hier schiefgelaufen? An welcher Stelle habe ich
> einen Fehler gemacht?
>  


Beim Ansatz der speziellen Lösung.

Dieser ist mit t zu multiplizieren,
da [mm]\sin\left(t\right)[/mm] eine Lösung der homogenen DGL ist.

Demnach lautet der Ansatz:

[mm]y_s(t) = \blue{t}*\left(A \cdot sin(t) + B \cdot cos(t)\right)[/mm]


> Ich hoffe, Ihr könnt mir hier weiterhelfen.
>  
> Viele Grüße
>  Patrick


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Anfangswertproblem lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:57 So 09.06.2013
Autor: Apfelchips

Hallo MathePower,

> Beim Ansatz der speziellen Lösung.
>  
> Dieser ist mit t zu multiplizieren,
> da [mm]\sin\left(t\right)[/mm] eine Lösung der homogenen DGL ist.
>  
> Demnach lautet der Ansatz:
>  
> [mm]y_s(t) = \blue{t}*\left(A \cdot sin(t) + B \cdot cos(t)\right)[/mm]

vielen Dank – jetzt komme ich auch auf eine vernünftige allgemeine Lösung:
[mm]y(t) = c_1 \cdot cos(t) + c_2 \cdot sin(t) - 2t \cdot cos(t)[/mm]

Die Lösung des AWPs lautet demnach:
[mm]y(t) = cos(t) + 2 \cdot sin(t) - 2t \cdot cos(t)[/mm]

Viele Grüße
Patrick

Bezug
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