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| Aufgabe | Lösen Sie folgende Anfangswertprobleme!
a) [mm]y'+5y=0[/mm] für [mm]y(0)=2[/mm]
b) [mm]y'+5y=1[/mm] für [mm]y(0)=0[/mm]
c) [mm]y'+\bruch{y}{x+1}[/mm] für [mm]y(0)=1[/mm] |
Schönen Guten Morgen
Leider habe ich zu diesem Thema nur ein sehr kurz gehaltenes Beispiel im Internet gefunden.
daraus habe ich mal die ansätze für a) und b) gemacht wobei ich glaube, dass ich mich bei b) irgendwie arg verrechnet habe, da ich am ende auf eine division durch 0 komme.
ansatz zu a):
[Dateianhang nicht öffentlich]
ansatz zu b):
[Dateianhang nicht öffentlich]
c) muss ich noch jetzt noch rechnen.
wäre super wenn mir jemand sagen obs richtig oder falsch ist bzw. wo und wie ich mich verhaspelt habe.
lg markus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:22 Mi 26.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. du suchst eine Funktion, keine Zahl.
2. du schreibst so, dass man nicht zitieren kann, und deshalb die Beantwortung schwer wird.
a)y'=-5y
Dein Ansatz ist nicht falsch, schneller geht bei solchen linearen Dgl mit konstanten Koeffizienten immer der Ansatz [mm] y=C*e^{\lambda*x} [/mm] ergibt hier [mm] y=C*e^{-5*x}
[/mm]
Anfangswert einsetzen: 2=C
also [mm] y=2*e^{-5x}
[/mm]
noch richtig bei dir ist lny=5*lnc -5x
danach ists falsch
das ergäbe nämlich [mm] y=e^{5*lnc}*e^{-5x}
[/mm]
und damit auch mein ergebnis.
Besser ist vor dem Einsetzen des Anfangswertes y zu bestimmen.
Auch bei b) ists noch richtig bis
ln(1-5y)=-5*(x+c) (kein Grund für lnc statt c)
daraus [mm] 1-5y=e^{-5x}*C
[/mm]
[mm] y=1/5-C/5*e^{-5x}
[/mm]
jetzt Anfangswert einsetzen folgt C=1
[mm] y=1/5*(1-e^{-5x})
[/mm]
Gruss leduart
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danke für die antwort, aber so ein paar sachen sind mir noch ein bissl unklar.
also zu a)
wieso ist [mm] y=2\cdot{}e^{-5x} [/mm] gleich
[mm] y=e^{5\cdot{}lnc}\cdot{}e^{-5x} [/mm] ?
desweiteren verstehe ich folgendes nicht so recht:
ich habe hier im Binomi (schwarze Bibel) die Formel gefunden die gilt ja quasi nur für homogene lineare DGL.
Hier steht:
Berechnung von [mm]y_{H}[/mm]
(1) Raten einer Lösung oder
(2) Formel: [mm]y_{H}=c*e^{-A(x)}[/mm] (das ist ja die Formel mit der du auch gerechnet hast)
(3) Berechnung von [mm]y_1[/mm] mittels Trennung der Variablen
Stets hat [mm]y_{H}[/mm] die Form [mm]y_{H}=c*y_{1}[/mm]
also ist meine [mm]e^{-A(x)}[/mm] auch immer mein [mm]y_{1}[/mm] oder wie?
aso und wieso kann ich aus der Funktion dann nicht nen Wert mit dem gegebenem [mm]y(0)=2[/mm] berechnen? wäre das den so falsch?
mfg markus
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> danke für die antwort, aber so ein paar sachen sind mir
> noch ein bissl unklar.
>
> also zu a)
>
> wieso ist [mm]y=2\cdot{}e^{-5x}[/mm] gleich
> [mm]y=e^{5\cdot{}lnc}\cdot{}e^{-5x}[/mm] ?
Das ist ein Trick, den man beim Integrieren von Differenzialgleichungen gerne benutzt. Die Integrationskonstanten werden beim weiteren Umformen oft in irgendwelche Funktionen eingebaut, hier z.B. [mm] e^{5\cdot{}\ln c}. [/mm] Das unpraktisch, deshalb macht man sich einfach ne neue Konstante [mm] $d=e^{5\cdot{}\ln c}$, [/mm] und damit dann [mm] $d\cdot{}e^{-5x}$. [/mm] Das macht die Formel einfacher, und erleichtert das anschließende Lösen des APWs erheblich.
Wenn man das ganze etwas besser überblickt, geht man aber auch gerne hin, und definiert das c kurzerhand neu, oder überspringt den Schritt mit dem Integrieren.
>
> desweiteren verstehe ich folgendes nicht so recht:
>
> ich habe hier im Binomi (schwarze Bibel) die Formel
> gefunden die gilt ja quasi nur für homogene lineare DGL.
>
> Hier steht:
>
> Berechnung von [mm]y_{H}[/mm]
>
> (1) Raten einer Lösung oder
> (2) Formel: [mm]y_{H}=c*e^{-A(x)}[/mm] (das ist ja die Formel mit
> der du auch gerechnet hast)
> (3) Berechnung von [mm]y_1[/mm] mittels Trennung der Variablen
>
> Stets hat [mm]y_{H}[/mm] die Form [mm]y_{H}=c*y_{1}[/mm]
>
> also ist meine [mm]e^{-A(x)}[/mm] auch immer mein [mm]y_{1}[/mm] oder wie?
>
Das ist richtig. [mm] y_1 [/mm] ist EINE Funktion, die die DGL löst. Allerdings lösen auch alle Vielfache der Funktion die DGL, und daher kommt da noch ein c davor. Das hast du ja auch raus, daß da eine Konstante als Faktor vor deiner e-Funktion steht.
> aso und wieso kann ich aus der Funktion dann nicht nen Wert
> mit dem gegebenem [mm]y(0)=2[/mm] berechnen? wäre das den so
> falsch?
Nun, das klingt so, als wenn du den Sinn von DGLs nicht verstanden hast. Gesucht sind zunächst Funktionen, die die DGL erfüllen, das sind hier alle einfachen e-Funktionen mit negativem Exponenten, als ne ganze Menge, die sich durch die Konstanten unterscheiden.
Beim Anfangswertproblem bestimmst du nun Zahlenwerte für die Konstanten, um eine einzige Funktion herauszubekommen.
Du setzt also die Anfangswerte ein, und bestimmst das c.
Diesen Zahlenwert setzt du dann in die vorherige Lösung der DGL ein.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 Mi 26.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> wieso ist [mm]y=2\cdot{}e^{-5x}[/mm] gleich
> [mm]y=e^{5\cdot{}lnc}\cdot{}e^{-5x}[/mm] ?
du hattest [mm] c=e^{1/5}*2 [/mm] daraus folgt [mm] e^{5*lnc}=e^{1/5*5*ln2}=e^{ln2}=2 [/mm]
> desweiteren verstehe ich folgendes nicht so recht:
>
> ich habe hier im Binomi (schwarze Bibel) die Formel
> gefunden die gilt ja quasi nur für homogene lineare DGL.
>
> Hier steht:
>
> Berechnung von [mm]y_{H}[/mm]
>
> (1) Raten einer Lösung oder
> (2) Formel: [mm]y_{H}=c*e^{-A(x)}[/mm] (das ist ja die Formel mit
> der du auch gerechnet hast)
> (3) Berechnung von [mm]y_1[/mm] mittels Trennung der Variablen
>
> Stets hat [mm]y_{H}[/mm] die Form [mm]y_{H}=c*y_{1}[/mm]
>
> also ist meine [mm]e^{-A(x)}[/mm] auch immer mein [mm]y_{1}[/mm] oder wie?
>
> aso und wieso kann ich aus der Funktion dann nicht nen Wert
> mit dem gegebenem [mm]y(0)=2[/mm] berechnen? wäre das den so
> falsch?
Du suchst ne Funktion, den Wert bei x=0 kennst du ja, er ist 2. natürlich kannst du auch y(1) berechnen oder y(17) aber das ist dann eben jeweils ein Funktionswert, und nicht die Funktion selbst.
Gruss leduart
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aso dankeschön ihr beiden, das sind eben so fingerfertigkeiten die ich im Moment beim lösen von DGLs noch icht habe...but i keep on trying =)
aber noch mal eine andere Frage:
bei b) habe ich ja nun eine inhomogene DGL weil auf der rechten Seite ja 1 steht.
könnte mir mal evtl. jemand zeigen wie man das nun hier macht? weil lt. Binomi muss ich ja mit der Variation der Konstanten arbeiten...und steht jetz hier (Binomi )solche Sachen mit Wronski Determinante und so...
also jetzt versteh ich nur noch Bahnhof...also mir gehts erstmal um die Variation der Konstanten.
besten dank nochmal
lg markus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Mi 26.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
dies sind ja eindimensionale Dgl. drum vergiss die Wronskidet.!
1. Methode: statt Variation der konstanten eine Lösung der inhomogenen Dgl raten: hier y=const, y'=0 ergibt 5*const=1 oder y=1/5 ist eine sog. "partikuläre" Lösung der inhomogenen Dgl.
Dann hast du die allgemeine Kösung der inhomogenen Dgl. als Summe der allg. Lösg der homogenen + die Lösung der inhomogenen, also [mm] y=C*e^{-5x}+1/5
[/mm]
2. Variation der Konstanten:
statt c schreib C(x) also [mm] y=C(x)*e^{-5x} [/mm] daraus [mm] y'=C'*e^{-5x}-5C*e^{-5x}
[/mm]
einsetzen in die Dgl ergibt:
[mm] C'*e^{-5x}-5C*e^{-5x}+5C*e^{-5x}=1
[/mm]
[mm] C'*e^{-5x}=1
[/mm]
[mm] C'=e^{5x}
[/mm]
[mm] C=1/5*e^{5x}+A
[/mm]
dann in [mm] y=C(x)*e^{-5x} [/mm] einsetzen :
[mm] y=1/5+A*e^{-5x} [/mm] wie oben.
Durch Variation der Konstanten bekommt man IMMER ne eeinfache Gleichung für C'
Gruss leduart
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