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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 Di 29.06.2010 | | Autor: | bestduo |
| Aufgabe | a) [mm] y^{'} [/mm] -2y = cosx , y(0)=0
b) [mm] (x^{2}+1)y^{'} [/mm] +xy + [mm] \wurzel{x^{2}+1}= [/mm] 0
y(1)=0 |
Hallo ich habe eine Aufgabe zu der ich ein paar Fragen habe.
Allgemein: [mm] y^{'} [/mm] = f(x)y + g(x)
Beim ersten Teil habe ich jetzt:
f(x)=2, [mm] y_{h}(x)= e^{2x}
[/mm]
[mm] y_{p} [/mm] = [mm] e^{2x} \integral \bruch{cosx}{e^{2x}} [/mm] dx
Ist das richtig?? Wie leitet man den sowas auf? Mir fällt keine passende Substitution ein....
Beim zweiten Teil kann man ja umformen:
[mm] y^{'}=- \bruch{xy}{x^{2}+1} [/mm] - [mm] \wurzel{\bruch{1}{x^{2}+1}}
[/mm]
Was ist jetzt mein f(x) und mein g(x)?
ist f(x) =- [mm] \bruch{x}{x^{2}+1} [/mm] ?
g(x) = - [mm] \wurzel{\bruch{1}{x^{2}+1}} [/mm] ?
Danke
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Hallo bestduo,
> a) [mm]y^{'}[/mm] -2y = cosx , y(0)=0
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> b) [mm](x^{2}+1)y^{'}[/mm] +xy + [mm]\wurzel{x^{2}+1}=[/mm] 0
> y(1)=0
> Hallo ich habe eine Aufgabe zu der ich ein paar Fragen
> habe.
>
> Allgemein: [mm]y^{'}[/mm] = f(x)y + g(x)
>
> Beim ersten Teil habe ich jetzt:
>
> f(x)=2, [mm]y_{h}(x)= e^{2x}[/mm]
>
> [mm]y_{p}[/mm] = [mm]e^{2x} \integral \bruch{cosx}{e^{2x}}[/mm] dx
>
> Ist das richtig?? Wie leitet man den sowas auf? Mir fällt
In Zukunft, schreibe statt "aufleiten" integrieren bzw. Stammfunktion bilden.
Besser ist allerdings der Ansatz
[mm]y_{p}=A*\sin\left(x\right)+B*\cos\left(x\right)[/mm]
> keine passende Substitution ein....
So, wie das da steht, mußt Du hier partiell integrieren.
>
> Beim zweiten Teil kann man ja umformen:
> [mm]y^{'}=- \bruch{xy}{x^{2}+1}[/mm] - [mm]\wurzel{\bruch{1}{x^{2}+1}}[/mm]
>
> Was ist jetzt mein f(x) und mein g(x)?
> ist f(x) =- [mm]\bruch{x}{x^{2}+1}[/mm] ?
>
> g(x) = - [mm]\wurzel{\bruch{1}{x^{2}+1}}[/mm] ?
Ja. das ist richtig.
>
> Danke
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Di 29.06.2010 | | Autor: | bestduo |
Danke schon mal...
Also wie soll das den mit partieller Integration bitte gehen bei einer e-Funktion und einem cosinus Teil???
und woher kommt dein Ansatz für yp?
Ich kenne nur:
yp(x) = yh(x) [mm] \integral {\bruch{g(x)}{yh(x)}}dx [/mm]
es handelt sich doch um eine lineare Dgl.?
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Hallo bestduo,
> Danke schon mal...
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> Also wie soll das den mit partieller Integration bitte
> gehen bei einer e-Funktion und einem cosinus Teil???
Schreibe zunächst das Integral so um:
[mm]\integral_{}^{}{ e^{-2*x}*\cos\left(x\right) \ dx}[/mm]
und wähle dann [mm]u\left(x\right)=e^{-2*x}, \ v' \left(x}\right=\cos\left(x\right)[/mm]
Verfahre dann weiter wie hier unter "Definition partielle Integration" beschrieben.
>
> und woher kommt dein Ansatz für yp?
Wenn die Störfunktion (rechte Seite einer DGL) eine trigonometrische
Funktion ist, dann wird als Ansatz eine Linearkombination der
trigonometrischen Funktionen SInus und Cosinus gewählt.
>
> Ich kenne nur:
> yp(x) = yh(x) [mm]\integral {\bruch{g(x)}{yh(x)}}dx[/mm]
> es handelt sich doch um eine lineare Dgl.?
Ja.
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:11 Di 29.06.2010 | | Autor: | srg83 |
Du löst zunächst die entsprechende homogene gewöhnliche DGL y´-2y=0, daraufhin benötigst Du einen Lösungsansatz für die partikuläre Lösung. Da der inhomogene Anteil aus cos(x) besteht, ist den Ansatz y=A*cos(x)+B*sin(x) zu verwenden. Eine ausführliche Auflistung der Lösunngsansätze für verschiedene Störfunktionen findest im Lehrbuch "Papula Lothar: Mathematik für Ingenieure, Band 2", siehe Seiten 491-492. Es ergibt sich Folgendes:
y´=-Asin(x)+Bcos(x) [mm] \Rightarrow
[/mm]
-Asin(x)+Bcos(x)-2Acos(x)-2Bsin(x)=cos(x)
Koeffizientenvergleich: Glieder vor sin(x)
-A-2B=0 [mm] \Rightarrow [/mm] A=-2B
vor cos(x)
B-2A=1 [mm] \Rightarrow [/mm] B=1+2A=1-4B
[mm] \Rightarrow [/mm] 5B=1 [mm] \Rightarrow [/mm] B=1/5
[mm] \Rightarrow [/mm] A=-2/5
Somit [mm] y_{p}=-2/5sin(x)+1/5cos(x) [/mm] ist die partikuläre Lösung.
Die allgem. Lösung lautet:
[mm] y=e^{2x}-2/5sin(x)+1/5cos(x)
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:30 Di 29.06.2010 | | Autor: | bestduo |
das nenne ich mal eine gute antwort....
danke
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