Anhand Eulerschen Formel < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Beweisen sie mit Hilfe der Eulerschen Formel [mm] e^{ix}=cos(x)*isin(x)
[/mm]
sin(x) = [mm] \bruch{1}{2i} (e^{ix} [/mm] - [mm] e^{-ix})
[/mm]
|
Ich hab die Formel natürlich erstmal nach dem reinen sinus umgestellt also:
sin(x) = [mm] \bruch{1}{i} [/mm] ( [mm] e^{ix} [/mm] - cos(x) )
Das sieht ja schon fast fertig aus, aber woher nehme ich die begründung, dass cos(x) gerade [mm] e^{-ix} [/mm] ist?
Frage nirgends sonst gestellt.
Dank
|
|
| |
|
Hallo ImminentMatt,
> Beweisen sie mit Hilfe der Eulerschen Formel
> [mm]e^{ix}=cos(x)*isin(x)[/mm]
>
> sin(x) = [mm]\bruch{1}{2i} (e^{ix}[/mm] - [mm]e^{-ix})[/mm]
>
>
> Ich hab die Formel natürlich erstmal nach dem reinen sinus
> umgestellt also:
>
>
> sin(x) = [mm]\bruch{1}{i}[/mm] ( [mm]e^{ix}[/mm] - cos(x) )
>
>
> Das sieht ja schon fast fertig aus, aber woher nehme ich
> die begründung, dass cos(x) gerade [mm]e^{-ix}[/mm] ist?
Hier musst Du die Gleichungen
[mm]e^{ix}=\cos\left(x\right)+i*\sin\left(x\right)[/mm]
und
[mm]e^{i\left(-x\right)}=\cos\left(-x\right)+i*\sin\left(-x\right)[/mm]
betrachten.
Daraus ist nun [mm]\sin\left(x\right)[/mm] zu eliminieren.
>
> Frage nirgends sonst gestellt.
>
> Dank
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | sin(x [mm] \pm [/mm] y) = sin(x)*cos(y) [mm] \pm [/mm] cos(x)*sin(y)
(auch zu zeigen per eulerschen formel) |
Ah vielen dank den denkanstoß hab ich gebraucht um cos(x) und sin(x) damit zu zeigen.
Jetzt liegen die additionstheoreme an. Hast du dazu nen ähnlich genialen denkanstoß?
Ich habe mir jetzt folgendes hingeschrieben:
[mm] e^{ix} [/mm] = cos (x) + i*sin(x)
[mm] e^{iy} [/mm] = cos (y) + i*sin(y)
Ich weiß aber nicht wie ich die argumente von z.B. dem Sinus zusammenführen kann zu einem sin(x [mm] \pm [/mm] y)
|
|
|
| |
|
Hallo!
Betrachte [mm] e^{i(x+y)}=e^{ix}*e^{iy}
[/mm]
Damit bist du sofort fertig.
Gruß Patrick
|
|
|
| |
|
ich setz mal an deinem an:
=[cos(x)+isin(x)]*[cos(y)+isin(y)]
= cos(x)cos(y)+cos(x)isin(y) + cos(y)*i*sin(x) - sin(x)sin(y)
wie fallen denn hier die gemischten terme raus?
|
|
|
| |
|
Hier fällt erstmal nichts weg. Betrachte nun auch [mm] e^{i(x+y)} [/mm] mit der eulerschen Formel. Mache anschließend einen Vergleich von Real und Imaginärteil.
|
|
|
| |
|
Also ich gucke gerade auf [mm] e^{i(x+y)} [/mm] und [mm] e^{i(x-y)} [/mm]
Die diversen Symmetrien habe ich sogleich ausgenutzt.
Ich hatte gehofft, dass sich die mischterme auf diesem weg auflösen, aber ich hab jetzt bei (x+y) den mischterm cos(x)isin(y)+isin(x)cos(y)
und bei (x-y) -cos(x)isin(y) + isin(x)cos(y)
ich hatte eigentlich gehofft, dass sie sich dann auflösen, aber was ich hier vergleichen soll seh ich net auf anhieb
|
|
|
| |
|
[mm] \cos(x+y)+i\sin(x+y)=e^{i(x+y)}=e^{ix}e^{iy}=[\cos(x)+i\sin(x)][\cos(y)+i\sin(y)]=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)+i(\cos(x)\sin(y)+\sin(x)\cos(y))
[/mm]
Zwei komplexe Zahlen sind genau dann gleich, falls Real und Imaginärteile übereinstimmen.
Der imaginäre Anteil liefert die hier das Add.-Th. für den Sinus.
Mit Minus analog.
Gruß Patrick
|
|
|
| |
|
Ja so habe ich das auch auf dem Blättchen stehen, aber mir erschließt sich da nicht unmittelbar die gleichheit.
Links:
Re(z)=cos(x+y)
Im(z)=sin(x+y)
Rechts:
Re(z)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)
Im(z)=sin(y)cos(x)+sin(x)cos(y)
Woran erkennt man denn, dass die tatsächlich gleich sind? Für mich sehen die erheblich unterschiedlich aus, denn bewiesen wäre es ja nur, wenn links und rechts dasselbe steht und so wie ich dich und google verstehe tut es das auch, nur wieso weiss ich nicht.
Wenn diese Gleichheit besteht würde ich jetzt quasi den isin(x+y) auf beiden seiten raushauen und da stehen haben
cos(x [mm] \pm [/mm] y) = cos(x)cos(y)-sin(x)sub(y) (q.e.d.)
Eine Hilfe wieso das aber tatsächlich gleich ist wäre überaus genial :)
Danke so far,
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:24 So 15.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Jetzt hast du doch genau gezeigt, was du zeigen solltest. 2 komplexe Zahlen sind nur dann gleich, wenn ihr Realteile und ihre Imaginärteile einzeln übereinstimmen.
und du hast ja [mm] z=e^{i(x+y)} [/mm] nur umgerechnet, also muss ja links und rechts dasselbe stehen!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Oh ja tatsächlich. Vielen dank ich bin ja feddich :D
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | | (cos(x) + i [mm] sin(x))^{n} [/mm] = cos(nx) + i sin(nx) n element N |
Ist folgendes ausreichend:
(cos(x) + i [mm] sin(x))^{n} [/mm] = [mm] (e^{ix})^{n} [/mm] 0 [mm] e^{i *nx} [/mm] und das ist = cos(nx) +isin(nx)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:07 Mo 16.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> (cos(x) + i [mm]sin(x))^{n}[/mm] = cos(nx) + i sin(nx) n element N
> Ist folgendes ausreichend:
>
> (cos(x) + i [mm]sin(x))^{n}[/mm] = [mm](e^{ix})^{n}[/mm] 0 [mm]e^{i *nx}[/mm] und das
> ist = cos(nx) +isin(nx)
Ja, das ist OK.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
