Anordnung Kleiner-als-Relation < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:19 Sa 15.01.2011 | | Autor: | Gabbabin |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Menge L := x [mm] \in\IR: \bruch{x}{|x+5|} [/mm] < [mm] \bruch{1}{x-2]} [/mm] |
Ich habe mir folgendes überlegt, ist das richtig?
[mm] \bruch{x}{|x+5|} [/mm] < [mm] \bruch{1}{x-2} [/mm] / *|x+5|
x < [mm] \bruch{|x+5|}{x-2} [/mm] / * (x-2) / Fallunterscheidung
Fall 1: x(x-2) < |x+5|
Fall 2: x(x-2) > |x+5|
Fall 1: [mm] x^2-2x [/mm] < |x+5|
Fall1.1: [mm] x^2-2x [/mm] < x+5 / falls x>-5
[mm] x^2-2x-x<5
[/mm]
[mm] x^2-3x<5
[/mm]
[mm] x^2-3x-5<0
[/mm]
Fall1.2
[mm] x^2-2x<5-x [/mm] / falls x< -5
[mm] x^2-2x+x<5
[/mm]
[mm] x^2-x<5
[/mm]
[mm] x^2-x-5<0
[/mm]
Fall2
[mm] x^2-2x>|x+5|
[/mm]
Fall2.1
[mm] x^2-2x>x+5 [/mm] / falls x>-5
[mm] x^2-2x-x>5
[/mm]
[mm] x^2-3x-5>0
[/mm]
Fall2.2
[mm] x^2-2x>5-x [/mm] /falls x<-5
[mm] x^2-x>5
[/mm]
[mm] x^2-x-5>0
[/mm]
Ist das soweit richtig?
Muss ich jetzt nur nich die x-Werte bestimmen oder wie muss ich vorgehen?
Danke im Voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Gabbabin,
ein bisschen spät, aber es hat wohl noch niemand gesagt: ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
In der Aufgabenstellung steht eine verlorene Klammer, die mich irritiert...
> Bestimmen Sie die Menge L := x [mm]\in\IR: \bruch{x}{|x+5|}[/mm] < [mm]\bruch{1}{x-2]}[/mm]
Ich hoffe, der rechte Nenner enthält nicht auch noch einen Betrag. Deine Rechnung spricht nicht dafür, also nehme ich mal an, dass dem auch nicht so ist. Sonst bekämst Du natürlich noch mehr Fallunterscheidungen.
> Ich habe mir folgendes überlegt, ist das richtig?
>
> [mm]\bruch{x}{|x+5|}[/mm] < [mm]\bruch{1}{x-2}[/mm] / *|x+5|
>
> x < [mm]\bruch{|x+5|}{x-2}[/mm] / * (x-2) / Fallunterscheidung
>
> Fall 1: x(x-2) < |x+5|
> Fall 2: x(x-2) > |x+5|
Wenn Du die Fallunterscheidung (1. Stufe) so durchführen willst, solltest du angeben, für welche x das denn gilt.
Da das Relationszeichen sich nur umkehrt, wenn (x-2)<0 ist, also x<2, ist das Dein Fall 2, und x>2 ist Fall 1.
> Fall 1: [mm]x^2-2x[/mm] < |x+5|
Es ist hier nicht immer günstig, auszumultiplizieren. Da das Polynom schon faktorisiert vorliegt, kannst Du Nullstellen und Vorzeichenwechsel manchmal besser direkt ablesen. Hier sind aber beide Varianten etwa gleich aufwändig, also alles ok.
> Fall1.1: [mm]x^2-2x[/mm] < x+5 / falls x>-5
>
> [mm]x^2-2x-x<5[/mm]
> [mm]x^2-3x<5[/mm]
> [mm]x^2-3x-5<0[/mm]
Ja, ok. Und was ist die Lösung?
> Fall1.2
>
> [mm]x^2-2x<5-x[/mm] / falls x< -5
Diesen Fall gibt es nicht, weil Fall 1 ja nur der ist, dass x>2 ist. Es kann nicht zugleich x<-5 gelten.
> [mm]x^2-2x+x<5[/mm]
> [mm]x^2-x<5[/mm]
> [mm]x^2-x-5<0[/mm]
>
> Fall2
>
> [mm]x^2-2x>|x+5|[/mm]
Ja, aber (s.o.) nur für x<2
> Fall2.1
>
> [mm]x^2-2x>x+5[/mm] / falls x>-5
> [mm]x^2-2x-x>5[/mm]
> [mm]x^2-3x-5>0[/mm]
>
> Fall2.2
>
> [mm]x^2-2x>5-x[/mm] /falls x<-5
> [mm]x^2-x>5[/mm]
> [mm]x^2-x-5>0[/mm]
>
> Ist das soweit richtig?
Ja, bei Fall 2 gibt es tatsächlich beide Unterfälle.
> Muss ich jetzt nur nich die x-Werte bestimmen oder wie
> muss ich vorgehen?
Ja, Du musst die Ungleichungen lösen, was mit der pq-Gleichung, quadratischer Ergänzung oder Mitternachtsformel geht, und Dich (am besten durch eine Probe) vergewissern, welcher der drei Bereiche der "Zahlengeraden" denn zur Lösungsmenge gehört.
Achte darauf, dass auch die Grundunterscheidung x<2 / x>2 gilt!
> Danke im Voraus
Grüße
reverend
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:29 Sa 15.01.2011 | | Autor: | Gabbabin |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Menge L := x [mm] \in\IR: \bruch{x}{|x+5|} [/mm] < [mm] \bruch{1}{x-2]} [/mm] |
Ich habe mir folgendes überlegt, ist das richtig?
[mm] \bruch{x}{|x+5|} [/mm] < [mm] \bruch{1}{x-2} [/mm] / *|x+5|
x < [mm] \bruch{|x+5|}{x-2} [/mm] / * (x-2) / Fallunterscheidung
Fall 1: x(x-2) < |x+5|
Fall 2: x(x-2) > |x+5|
Fall 1: [mm] x^2-2x [/mm] < |x+5|
Fall1.1: [mm] x^2-2x [/mm] < x+5 / falls x>-5
[mm] x^2-2x-x<5
[/mm]
[mm] x^2-3x<5
[/mm]
[mm] x^2-3x-5<0
[/mm]
Fall1.2
[mm] x^2-2x<5-x [/mm] / falls x< -5
[mm] x^2-2x+x<5
[/mm]
[mm] x^2-x<5
[/mm]
[mm] x^2-x-5<0
[/mm]
Fall2
[mm] x^2-2x>|x+5|
[/mm]
Fall2.1
[mm] x^2-2x>x+5 [/mm] / falls x>-5
[mm] x^2-2x-x>5
[/mm]
[mm] x^2-3x-5>0
[/mm]
Fall2.2
[mm] x^2-2x>5-x [/mm] /falls x<-5
[mm] x^2-x>5
[/mm]
[mm] x^2-x-5>0
[/mm]
Ist das soweit richtig?
Muss ich jetzt nur nich die x-Werte bestimmen oder wie muss ich vorgehen?
Danke im Voraus
Also, jetzt muss ich nur für Fall1.1, Fall2.1 und Fall2.2 x bestimmen.
Fall1.1
[mm] x^2-3x-5<0
[/mm]
für x1,2 = 3/2 [mm] \pm \wurzel{\bruch{-3}{2}^2+5}
[/mm]
x1= 4,19
x2= 1,19
Fall2.1
x1 = 4,19
x2 = 1,19
Fall 2.2
x1 = 2,79
x2 = 1,79
Leider weiß ich jetzt nicht wie ich die Lösungsmenge bestimme?
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Hallo nochmal,
> Also, jetzt muss ich nur für Fall1.1, Fall2.1 und Fall2.2
> x bestimmen.
Nein, mit der Bestimmung der Werte allein ist es nicht getan.
> Fall1.1
>
> [mm]x^2-3x-5<0[/mm]
>
> für x1,2 = 3/2 [mm]\pm \wurzel{\bruch{-3}{2}^2+5}[/mm]
>
> x1= 4,19
> x2= 1,19
[mm] x_2 [/mm] stimmt nicht.
Ansonsten ist ja noch die Frage, für welche x die Ungleichung erfüllt ist:
für [mm] x
> Fall2.1
>
> x1 = 4,19
> x2 = 1,19
Will ich ohne Rechenweg nicht überprüfen, sieht aber so aus wie eben, und das war nicht gut...
Und wieder: was sagen denn diese Grenzen jetzt aus?
Welche Bereiche von x erfüllen die Ungleichung?
> Fall 2.2
>
> x1 = 2,79
>
> x2 = 1,79
Scheint mir auch zweifelhaft, aber ich habs nicht nachgerechnet.
Und: welche Bereiche von x...
> Leider weiß ich jetzt nicht wie ich die Lösungsmenge
> bestimme?
Finde für die einzelnen Fälle erst einmal heraus, ob es x gibt, die alle Bedingungen erfüllen - also sowohl die quadratische Ungleichung als auch die beiden Voraussetzungen, die jeweils für den Fall gelten.
Da ist ja zusätzlich zu den quadratischen Lösungen jeweils noch x</>2 und x</>-5 zu bedenken.
Gibt es also überhaupt (für den jeweiligen Fall) Lösungen?
Insgesamt wird die Lösungsmenge einfach die Vereinigung der drei Lösungsmengen Deiner Fallunterscheidungen sein.
Übrigens würde ich normalerweise nicht so schnell runden, und schon gar nicht auf nur 2 Nachkommastellen, aber in diesem Fall wird mit den Werten ja nicht weiter "gerechnet", so dass sich Fehler nicht mehr vervielfältigen können. Hier kommt es nur auf die Kombination mehrerer Ungleichungen an.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Sa 15.01.2011 | | Autor: | Gabbabin |
Also für Fall 1.1 habe ich:
x1,2 = [mm] \bruch{3}{2} \pm \wurzel{(\bruch{-3}{2}^2+5}
[/mm]
x1 = 4,19
x2= -1,19
Für den Fall 2.1 habe ich
x1,2 = [mm] \bruch{3}{2} \pm \wurzel{(\bruch{-3}{2}^2+5}
[/mm]
x1 = 4,19
x2= -1,19
Für den Fall 2.2
[mm] \bruch{1}{2} \pm \wurzel{\bruch{-1}{2})^2+5}
[/mm]
x1= 2,62
x2 =-1,62
Wenn ich die Werte jetzt einsetzte bekomme ich für den Fall 1
für x1 0<0
für x2 0<0
Für den Fall 2.1
für x1 0>0
für x2 0>0
Fall 2.2
für x1 -0,75>0
für x2 -0,75>0
Also stimmt kein x überein?
Oder wo liegt hier der Fehler?
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Hallo nochmal,
ich widme mich mal nur dem Fall 1.1.
> Also für Fall 1.1 habe ich:
>
> x1,2 = [mm]\bruch{3}{2} \pm \wurzel{(\bruch{-3}{2}^2+5}[/mm]
>
> x1 = 4,19
> x2= -1,19
>
> Für den Fall 2.1 habe ich
> x1,2 = [mm]\bruch{3}{2} \pm \wurzel{(\bruch{-3}{2}^2+5}[/mm]
>
>
> x1 = 4,19
> x2= -1,19
>
> Für den Fall 2.2
>
> [mm]\bruch{1}{2} \pm \wurzel{\bruch{-1}{2})^2+5}[/mm]
>
> x1= 2,62
> x2 =-1,62
Das scheint jetzt zu stimmen.
> Wenn ich die Werte jetzt einsetzte bekomme ich für den
> Fall 1
> für x1 0<0
> für x2 0<0
>
> Für den Fall 2.1
>
> für x1 0>0
> für x2 0>0
>
> Fall 2.2
>
> für x1 -0,75>0
> für x2 -0,75>0
Was sind das denn für Ungleichungen? Wie kommst Du darauf?
0<0 oder 0>0 sind doch nie erfüllt, ich verstehe nur gar nicht, woraus Du diese Folgerung überhaupt ableitest.
> Also stimmt kein x überein?
> Oder wo liegt hier der Fehler?
Fall 1: x>2
Fall 1.1: x>-5
[mm] x^2-3x-5<0
[/mm]
Lösungen aus pq-Formel: [mm] x_1\approx{4,19}, x_2\approx{-1,19}
[/mm]
Überlegung zum Lösungsbereich: Parabelgleichung einer nach oben offenen Parabel, wenn also zwei Schnitte mit der x-Achse vorliegen (Nullstellen), dann ist der Bereich zwischen den Nullstellen der Lösungsbereich, also -1,19<x<4,19.
Lösungen für den Fall 1.1 sind also alle x, die alle folgenden Ungleichungen erfüllen:
x>2, x>-5, -1,19<x<4,19
Die Lösungen aus Fall 1.1 sind also diese: 2<x<4,19
(Und noch besser statt 4,19 den korrekten Wert [mm] \bruch{3+\wurzel{29}}{2} [/mm] schreiben)
Verstehst Du es bis hierhin?
Dann mach Dich an die anderen Fälle.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Sa 15.01.2011 | | Autor: | Gabbabin |
Hey danke, für deine schnellen Antworten erstmal.
Also
Für Fall 2.1 habe ich
-1,79<x<2
Da folgendes für Fall 2.1 gilt x>-5 und x<2
Für 2.2 habe ich
[mm] ]\infty,-5[
[/mm]
Da folgendes für Fall 2.2 gilt x<-5 und x<2
Habe ich das richtig verstanden?
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Hallo,
es beginnt, unübersichtlich zu werden.
> Hey danke, für deine schnellen Antworten erstmal.
> Also
>
> Für Fall 2.1 habe ich
>
> -1,79<x><x<2
>
> Da folgendes für Fall 2.1 gilt x>-5 und x<2
Wenn ich nicht irre, hast Du hier die Lösungen der quadratischen Gleichung falsch interpretiert (und richtig gerechnet).
> Für 2.2 habe ich
>
> [mm]]\infty,-5[[/mm]
>
> Da folgendes für Fall 2.2 gilt x<-5 und x<2
Ja, diese Teillösung sieht ok aus.
> Habe ich das richtig verstanden?
Gib doch mal jeweils alle Bedingungen für die Teilfälle an, dann ist es auch für jemanden, der in Diskussion einsteigen will, leichter zu überblicken. Ich bin nämlich jetzt erstmal weg.
Und mach dann auch einen Vorschlag, wie die gesamte Lösungsmenge aussieht.
Grüße - und viel Erfolg!
reverend
</x>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Sa 15.01.2011 | | Autor: | Gabbabin |
Für Fall 1.1 gelten folgende Bedingungen:
x>-5 und x>2 und [mm] x^2-3x-5<0
[/mm]
daraus folgt für x
2<x<4,19
Für Fall 2.1 gelten folgende Bedingungen:
x<2 und x>-5 und [mm] x^2-3x-5>0
[/mm]
daraus folgt für x
-1,79<x<2
Für Fall 2.2 gelten folgende Bedingungen
x<-5 und x<2 und [mm] x^2-x-5>0
[/mm]
daraus folt für x
[mm] ]\infty,2[
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Für Fall 1.1 gelten folgende Bedingungen:
>
> x>-5 und x>2 und [mm]x^2-3x-5<0[/mm]
>
> daraus folgt für x
>
> 2<x><x<4,19
Richtig.
> Für Fall 2.1 gelten folgende Bedingungen:
>
> x<2 und x>-5 und [mm]x^2-3x-5>0[/mm]
>
> daraus folgt für x
>
> -1,79<x><x<2
Falsch. Die quadratische Gleichung hat die Lösungen: x<-1,19 und x>4,19. Letzteres scheidet aus, weil ja (Voraussetzung des Falles) x<2 sein muss.
Also bleibt übrig: -5<x<-1,19
> Für Fall 2.2 gelten folgende Bedingungen
>
> x<-5 und x<2 und [mm]x^2-x-5>0[/mm]
>
> daraus folt für x
>
> [mm]]\infty,2[[/mm]
Auch falsch. Da warst Du vorher doch auf der richtigen Spur.
Die Lösung dieses Falls ist x<-5
Schau Dir Fall 2.1 noch einmal an. Der Lösungbereich hat zwei Teile, dazwischen liegt ein Bereich von x, für den die quadratische Gleichung negative Werte annimmt. Das soll sie ja aber gerade nicht.
So, und was ist jetzt die Gesamtlösung der Aufgabe?
Für welche x ist die ursprüngliche Bruchgleichung also erfüllt?
Grüße
reverend
</x></x>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Sa 15.01.2011 | | Autor: | Gabbabin |
Also die Lösungsmenge ist
(2<x<4,19 -5<x<-1,19 x<-5)
]2,(4,19)[ [mm] \cup [/mm] ]-5,(-1,19)[ [mm] \cup ]\infty,-5[
[/mm]
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hm, ja.
Nur besonders leserlich ist weder die Schreibweise noch die Anordnung.
In der Sache würde es wohl so durchgehen, bis auf das fehlende Minus vor dem Unendlichzeichen.
Man könnte auch so notieren:
$ [mm] \IL=\{x\in\IR\ |\ -5
Je nachdem, welche Notation bei Euch gerade so gebräuchlich ist...
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:32 Sa 15.01.2011 | | Autor: | Gabbabin |
Danke für deine Hilfe.
Mit den Notationsproblemen tut es mir leid, ich bin noch noch relativ neu auf diesem Gebiet.
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