Anordnung von Büchern < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:11 Mo 25.02.2008 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | Wir haben 4 Bücher (A,B,C und D). Die Bücher stehen richtig im Regal, wenn Buch A an 1. Stelle, Buch B an 2. Stelle, Buch C an 3. Stelle und Buch D an 4. Stelle steht.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim zufälligen Anordnen der 4 Bücher im Regal keines der Bücher an der richtigen Stelle steht? |
Hi,
ich knobel gerade ein wenig an dieser Aufgabe. Es muss da doch irgendeinen plausiblen Rechenweg geben! Ich habe die Wkt. bis jetzt nur rausbekommen können, indem ich mir alle Möglichkeiten aufgeschrieben und die entsprechenden Möglichkeiten gezählt habe:
1 2 3 4
A B C D
A C D B
A D B C
A B D C
A C B D
A D C B
B A C D
--- B C D A
--- B D A C
--- B A D C
B C A D
B D C A
C A B D
C B D A
--- C D A B
--- C A D B
C B A D
--- C D B A
--- D A B C
D B C A
--- D C A B
D A C B
D B A C
--- D C B A
Dass es insgesamt 24(=4*3*2*1)-Möglichkeiten gibt, die Bücher im Regal anzuordnen, leuchtet ein.
Wie oben zu erkennen ist, gibt es 9 mögliche Anordnungen bei denen keines der Bücher auf dem richtigen Platz steht. Die Wkt. dafür, dass keines der Bücher an seinem richtigen Platz steht, liegt bei [mm] \bruch{9}{24}=\bruch{3}{8}
[/mm]
Aber wie lautet die zugehörige Rechnung?
MfG barsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:10 Di 26.02.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
Ich bin mir nicht sicher, ob es dafür ein Standardvorgehen gibt.
Man kann aber die Anzahl der Möglichkeiten mit richtigstehenden Büchern berechnen.
Wenn A an erster Stelle steht, ist ein Buch an richtiger Position.
Anzahl=6
Wenn B an erster Stelle steht, ist ein Buch an richtiger Position.
Anzahl=6
...
Insgesammt=24=4*6
Problem : z.B. ABDC wurde zweimal mitgezählt und muss daher einmal wieder abgezogen werden
[mm] x_2=Anzahl [/mm] mit genau 2 richtigen Bücher= ?
[mm] x_3=Anzahl [/mm] mit genau 3 richtigen Bücher= ?
[mm] x_4=Anzahl [/mm] mit genau 4 richtigen Bücher= ?
Dann ist die Anzahl der Aufstellmöglichkeiten mit min. einem richtigem Buch genau:
[mm] 24-1*x_2-2*x_3-3*x_4=r=?
[/mm]
Deine gesuchte W.-keit ist somit :
[mm] p=\bruch{4!-r}{4!}
[/mm]
Ciao.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:04 Di 26.02.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin barsch,
ich moechte deine Fragestellung verallgemeinern und fragen, wieviele
Permutationen [mm] $(\pi(1),\pi(2),\dots,\pi(n))$ [/mm] von [mm] $(1,2,\dots,n)$ [/mm] es gibt,
die keinen Fixpunkt besitzen, wo also gilt [mm] $\pi(i)=i$. [/mm] Die Antwort
findest du ![[]](/images/popup.gif) hier, Satz 2.3. In der zugehoerigen
Bemerkung 2.3 wird die gesuchte Wsk mit
[mm] $\sum_{k=0}^n\dfrac{(-1)^i}{k!}$
[/mm]
angegeben. (Achtung: Die Summe beginnt bei 0). Fuer $n=4$ erhaelt man 0.375.
vg Luis
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