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| Aufgabe | Zeigen Sie: Existieren in einem Körper K zwei Elemente a und b , so dass
[mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] =-1;
so kann dieser Körper nicht angeordnet werden. |
Ich muss doch einen Widerspruchsbeweis führen und annehmen, dass der Körper sich anordnen lässt, oder? D.h. ich sage a<b und versuche dann einen Widerspruch zu finden. HIer komme ich leider nicht weiter. Ich hoffe Ihr könnt mir helfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Zeigen Sie: Existieren in einem Körper K zwei Elemente a
> und b , so dass
> [mm]a^2[/mm] + [mm]b^2[/mm] =-1;
> so kann dieser Körper nicht angeordnet werden.
> Ich muss doch einen Widerspruchsbeweis führen und
> annehmen, dass der Körper sich anordnen lässt, oder? D.h.
> ich sage a<b und versuche dann einen Widerspruch zu finden.
> HIer komme ich leider nicht weiter. Ich hoffe Ihr könnt mir
> helfen.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Man kann es so machen:
quadriere [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2=-1
[/mm]
==> [mm] (a^2-b^2)=1.
[/mm]
Den weiteren Verlauf deute ich Dir nur an:
-3.binomische Formel
- wann ist ein Produkt im Körper =0
-Folgerung ziehen
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | quadriere [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2=-1 [/mm]
==> [mm] (a^2-b^2)=1 [/mm] |
Wenn ich des quadrier, dann bekomm ich doch [mm] a^4+2*a^2b^2+b^4= [/mm] 1
wie komm ich dann drauf, dass [mm] a^2-b^2= [/mm] 1 ist?
Ein Produkt in einem Körper ist 0 , wenn ein Faktor 0 ist, oder?
Aus alledem kann ich leider keine Folgerung ziehen :(
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> quadriere [mm]a^2[/mm] + [mm]b^2=-1[/mm]
>
> ==> [mm](a^2+b^2)^2=1[/mm]
> Wenn ich des quadrier, dann bekomm ich doch
> [mm]a^4+2*a^2b^2+b^4=[/mm] 1
>
> wie komm ich dann drauf, dass [mm]a^2-b^2=[/mm] 1 ist?
Überhaupt nicht. Das ist ein Tippfehler.
Du erhältst also [mm] (a^2+b^2)^2=1
[/mm]
==> [mm] (a^2+b^2)^2-1=0.
[/mm]
Jetzt geht's besser.
Entschuldigung, anscheinend hatte der Gruch unseres Abendessens mir die Sinne vernebelt.
>
> Ein Produkt in einem Körper ist 0 , wenn ein Faktor 0 ist,
> oder?
Genau.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | Du erhältst also [mm] (a^2+b^2)^2=1 [/mm]
==> [mm] (a^2+b^2)^2-1=0. [/mm]
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ok und wie soll ich da die dritte binomische formel anwenden?
im prinzip hätt ich ausquadriert da stehen
[mm] a^4+2a^2b^2+b^4-1=0
[/mm]
oder nicht?
da hab ich aber kein produkt ? irgendwie stell ich mich doof an :(
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> Du erhältst also [mm](a^2+b^2)^2=1[/mm]
>
> ==> [mm](a^2+b^2)^2-1=0.[/mm]
>
> ok und wie soll ich da die dritte binomische formel
> anwenden?
> im prinzip hätt ich ausquadriert da stehen
>
> [mm]a^4+2a^2b^2+b^4-1=0[/mm]
>
> oder nicht?
Ja, Du hast schon richtig gerechnet, bloß ist es für unser Anliegen nicht nützlich.
Paß auf: wenn wir nun sagen [mm] d:=a^2+b^2, [/mm] so steht oben doch
[mm] d^2-1^2=0.
[/mm]
Nun wird Dir doch was drittes Binomisches einfallen?
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | Paß auf: wenn wir nun sagen $ [mm] d:=a^2+b^2, [/mm] $ so steht oben doch
$ [mm] d^2-1^2=0. [/mm] $ |
ja dann wird des klar ;)
also hab ich (d+1)*(d-1)=0
und dann muss entweder d+1=0 daraus folgt dann d=-1
oder es muss d-1=0 daraus folgt d=1
aber das ist kein widerspruch, weil ein "oder" zwischen den bedingungen steht, oder? wenn ein "und" da stehen würde, dann wärs für mich jetzt klar. wie soll ich also weiter machen?
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> Paß auf: wenn wir nun sagen [mm]d:=a^2+b^2,[/mm] so steht oben doch
>
> [mm]d^2-1^2=0.[/mm]
> ja dann wird des klar ;)
>
> also hab ich (d+1)*(d-1)=0
>
> und dann muss entweder d+1=0 daraus folgt dann d=-1
> oder es muss d-1=0 daraus folgt d=1
>
> aber das ist kein widerspruch, weil ein "oder" zwischen den
> bedingungen steht, oder? wenn ein "und" da stehen würde,
> dann wärs für mich jetzt klar. wie soll ich also weiter
> machen?
Hm. Du hast völlig recht.
Offensichtlich war meine Idee ein Schnellschuß.
Wir stehen wieder am Anfang - schade...
Gruß v. Angela
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> Zeigen Sie: Existieren in einem Körper K zwei Elemente a
> und b , so dass
> [mm]a^2[/mm] + [mm]b^2[/mm] =-1;
> so kann dieser Körper nicht angeordnet werden.
Neue Idee:
Angenommen, es gäbe so einen angeordneten Körper.
In angeordneten Körpern sind Quadrate stets [mm] \ge [/mm] 0.
Also sind [mm] a^2, b^2 \ge [/mm] 0.
Sie a, b können nicht beide =0 sein (warum?). O.B.d.A. sei [mm] a\not=0.
[/mm]
Also ist
[mm] -1=a^2+b^2 [/mm] > 0 (Begründungen mit den Anordnungsaxiomen sind hier notwendig)
==> 0 > 1 (weil...)
Nun multipliziere mit [mm] a^2.
[/mm]
Dann hast Du Deinen Widerspruch.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe |
[mm] -1=a^2+b^2 [/mm] > 0 |
kann ich nicht einfach sagen daraus folgt, -1> 0 und das ist falsch?
dann wär ich doch eig schon fertig, oder?
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>
> [mm]-1=a^2+b^2[/mm] > 0
> kann ich nicht einfach sagen daraus folgt, -1> 0 und das
> ist falsch?
> dann wär ich doch eig schon fertig, oder?
Dann wärst Du fertig...
Nur - in meinen Anordnungsaxiomen steht nichts davon, daß 1>0 ist.
Die Idee ist trotzdem gut:
Es ist [mm] (-1)^2=1, [/mm] und Quadrate sind >0, also ist 1>0, also -1<0
Gruß v. Angela
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