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Ansatz: Körper
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:38 So 06.08.2017
Autor: Florian144

Aufgabe
Gegeben sei der Körper L = [mm] \mathbb{Z}_{2}[x]/ Sei [mm] \alpha [/mm] = [x] [mm] \in [/mm] L.

Finden Sie ein g [mm] \in [/mm] L[y], sodass [mm] g^{2} [/mm] = f, wobei

f = [mm] (\alpha^{2} [/mm] + [mm] \alpha)y^{8} [/mm] + [mm] \alpha y^{4} [/mm] + [mm] \alpha^3 y^{2} [/mm] + [mm] \alpha [/mm] + 1 [mm] \in [/mm] L[y]

Hallo,

Ich bin bei dieser Aufgabe völlig überfragt und mache die nur, weil die in einen Altklausur vorkommt.

Kann mir jemand sagen, was ich machen muss bzw wie die einzelnen Schritte sind? Da das in der Klausur relativ früh kommt, sollte es Standard sein.

Wäre mega lieb :) DANKE :)

LG Florian

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Ansatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:45 Mo 07.08.2017
Autor: hippias

$f$ soll als Quadrat in $L$ dargestellt werden; dann ist es nützlich zu beachten, dass [mm] $x\mapsto x^{2}$ [/mm] ein Endomorphismus von $L$ ist (?). Deshalb kannst Du aus den in $f$ auftauchenden Summanden einzeln "die Wurzel ziehen".

Nehmen wir mal [mm] $\alpha y^{4}$: [/mm] Einzige problematisch ist die Darstellung von [mm] $\alpha$ [/mm] als Quadrat.
Nach Definition von $L$ und [mm] $\alpha$ [/mm] gilt [mm] $\alpha= \alpha^{4}+1$. [/mm] Weil Quadrieren ein Homomorphismus ist, kann ich sagen [mm] $\alpha= \left(\alpha^{2}+1\right)^{2}$. [/mm] Daher ist [mm] $\alpha^{2}+1$ [/mm] der Koeffizient vor [mm] $y^{2}$ [/mm] in $g$.

Bezug
        
Bezug
Ansatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:54 Mo 07.08.2017
Autor: Leopold_Gast

Das erzeugende Polynom ist irreduzibel über [mm]\mathbb{Z}^2[/mm]. Es besitzt nämlich keine Nullstellen in [mm]\mathbb{Z}_2[/mm] und wird auch nicht vom einzigen quadratischen irreduziblen Polynom [mm]x^2 + x + 1 \in \mathbb{Z}_2[x][/mm] geteilt. Also ist [mm]L[/mm] ein Körper der Charakteristik 2 mit 16 Elementen. Für das Element [mm]\alpha[/mm] gilt

[mm]\text{(+)} \ \ \alpha^4 + \alpha + 1 = 0[/mm]

Die Elemente von [mm]L[/mm] sind Summen der Art

[mm]\sum_{\nu=0}^3 b_{\nu} \alpha^{\nu} \right\}[/mm] mit [mm]b_0,b_1,b_2,b_3 \in \mathbb{Z}_2[/mm]

Du kannst mit diesen Summen wie gewohnt rechnen (bei den Koeffizienten modulo 2), mußt dabei nur [mm]\text{(+)}[/mm] beachten. Als Beispiel nehme ich zwei Elemente aus [mm]L[/mm]:

[mm]\gamma = \alpha^3 + 1 \, , \ \ \delta = \alpha^2 + \alpha + 1[/mm]

und addiere sie

[mm]\gamma + \delta = \alpha^3 + 1 + \alpha^2 + \alpha + 1 = \alpha^3 + \alpha^2 + \alpha[/mm]

oder multipliziere sie

[mm]\gamma \delta = \left( \alpha^3 + 1 \right) \left( \alpha^2 + \alpha + 1 \right) = \alpha^5 + \alpha^4 + \alpha^3 + \alpha^2 + \alpha + 1[/mm]

Hier kommt [mm]\text{(+)}[/mm] ins Spiel. Man kann das auch so schreiben: [mm]\alpha^4 = \alpha + 1[/mm] (denn modulo 2 ist ja plus und minus dasselbe). Mit dieser Gleichung kann man den Ausdruck reduzieren, bis er vom Grad 3 ist. In [mm]\alpha^5 = \alpha^4 \cdot \alpha[/mm] wird entsprechend ersetzt:

[mm]\gamma \delta = \left( \alpha + 1 \right) \cdot \alpha + \alpha^4 + \alpha^3 + \alpha^2 + \alpha + 1 = \alpha^2 + \alpha + \alpha^4 + \alpha^3 + \alpha^2 + \alpha + 1 = \alpha^4 + \alpha^3 + 1[/mm]

Und jetzt kann man [mm]\alpha^4[/mm] noch einmal ersetzen:

[mm]\gamma \delta = \alpha + 1 + \alpha^3 + 1 = \alpha^3 + \alpha[/mm]

So rechnet man in [mm]L[/mm]. Das Addieren geht problemlos. Und beim Multiplizieren reduziert man, nachdem man alles ausmultipliziert hat, in der vorgeführten Weise mittels [mm]\text{(+)}[/mm], bis man einen Ausdruck vom Grad 3 oder kleiner erreicht hat.

Jetzt ist das Polynom

[mm]f = \left( \alpha^2 + \alpha \right) y^8 + \alpha y^4 + \alpha^3 y^2 + \alpha + 1[/mm]

gegeben und soll als [mm]g^2 = f[/mm] geschrieben werden. Aus Gradgründen kommt für [mm]g[/mm] nur der Grad 2 in Frage (beim Multiplizieren von Polynomen addieren sich die Grade). Daher macht man den Ansatz

[mm]g = py^4 + qy^3 + ry^2 + sy + t[/mm] mit noch unbekannten Koeffizienten [mm]p,q,r,s,t \in L[/mm]

Wegen der Charakteristik 2 vereinfacht sich das Quadrieren. Man darf hier (was in [mm]\mathbb{R}[/mm] gräßlich falsch wäre) tatsächlich gliedweise quadrieren:

[mm]g^2 = p^2 y^8 + q^2 y^6 + r^2 y^4 + s^2 y^2 + t^2[/mm]

Und jetzt vergleicht man die Koeffizienten hier mit den Koeffizienten von [mm]f[/mm]. Man sieht gleich, daß [mm]q=0[/mm] sein muß. Dann bleiben noch

[mm]\text{(1)} \ \ p^2 = \alpha^2 + \alpha[/mm]
[mm]\text{(2)} \ \ r^2 = \alpha[/mm]
[mm]\text{(3)} \ \ s^2 = \alpha^3[/mm]
[mm]\text{(4)} \ \ t^2 = \alpha + 1[/mm]

Jetzt versuche, passende [mm]p,r,s,t[/mm] zu finden. Ich fange mal mit einem einfachen an. In [mm]\text{(2)}[/mm] erinnere ich mich an [mm]\text{(+)}[/mm], was man auch nach [mm]\alpha[/mm] auflösen kann: [mm]\alpha = \alpha^4 + 1[/mm]. Und die rechte Seite ist wieder wegen Charakteristik 2 ein Quadrat: [mm]\alpha = \alpha^4 + 1 = \left( \alpha^2 + 1 \right)^2[/mm]. Und man sieht: [mm]r = \alpha^2 + 1[/mm]. Jetzt überlege selber, wie du [mm]p,s,t[/mm] bestimmen kannst.

Bezug
                
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Ansatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:53 Mo 07.08.2017
Autor: Florian144

Wow, erstmal ein GROßES Danke für die ausführliche Nachricht :) ich weiß das echt zu schätzen.

Ich habe (wenn ich das richtig verstanden habe) raus:

p= [mm] \alpha [/mm] + [mm] (\alpha^{2} [/mm] + 1)
s = p= [mm] \alpha \cdot (\alpha^{2} [/mm] + 1)
t = [mm] \alpha^{2} [/mm]

kann das sein?

LG Florian

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Ansatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:20 Mi 09.08.2017
Autor: Leopold_Gast

Ja, das stimmt (bis auf das p=, was sich da irgendwie eingeschlichen hat).

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