Ansatz bei potenz. Funktion < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:15 Do 16.12.2010 | | Autor: | pppppp |
| Aufgabe | Bestimmen Sie eine Lösung der Anfangswertaufgaben
a) [mm]y'(x)+xy^3(x)+2y(x)=0, y(0)=1[/mm]
b) [mm]x^2(y'(x)+y^2(x))=xy(x)-1, y(1)=2[/mm]
Hinweis: Subtitution mit u(x)=xy(x) |
Ich komme mir etwas doof vor, weil ich ja selbst nur ungerne Fragen beantworte, bei denen keine Vorüberlegungen zu sehen sind, aber ich steh da wie der Ochs vorm Berg.
Ansatz char. Polynom ... geht nicht
Ansatz eulersche Differentialgleichung ... geht nicht
Ansatz Reduktion der Ordnung ... geht nicht
Ansatz Potenzreihenmethode ... vielleicht
Den Potenzreihenansatz habe ich noch überhaupt nicht verstanden. Aber vielleicht brauche ich ihn ja gar nicht. Evt habe ich in den 100 Seiten Skript auch einen Ansatz übersehen und gar nicht in Betracht gezogen.
Freue mich über jede Antwort
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:30 Do 16.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Du bist ja vielleicht ein kleines Scherzkekschen ....
Steht da nicht:
Hinweis: Subtitution mit u(x)=xy(x)
Wer lesen kann ist im Vorteil
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 Do 16.12.2010 | | Autor: | pppppp |
Danke Leduart, der Fehler hätte nicht sein müssen habe ihn gerade, hoffentlich vollständig,behoben. bonk.gif
Jetzt sollte der Weg für die Hauptfrage frei sein- was für einen Ansatz würdet ihr mir empfehlen? Ich habe im Moment nicht mal eine Vermutung, am meissten irritiert mich das potenzierte u.
$ [mm] y=\bruch{u}{x} [/mm] $
$ [mm] y'=\bruch{u'}{x}-\bruch{u}{x^2} [/mm] $
nach Substitution:
a) $ [mm] \bruch{u'}{x}-\bruch{u}{x^2}+x\cdot{}(\bruch{u}{x^2})^3+2\bruch{u}{x^2} [/mm] $
=$ [mm] \bruch{u'}{x}+\bruch{u^3}{x}+\bruch{u^2}{x} [/mm] $=0
b) $ [mm] x^2(\bruch{u'}{x}-\bruch{u}{x^2}+(\bruch{u}{x^2})^2)=x\bruch{u}{x^2}-1 [/mm] $
=$ [mm] xu'-u+\bruch{u^2}{x^2}=\bruch{u}{x}-1 [/mm] $
Sieht es so aus. Gibt es ein Standardverfahren, das bei potenzierten Funktionen oft zum Erfolg führt?
LG Philipp
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:48 Do 16.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> [mm]y=\bruch{u}{x}[/mm]
> [mm]y'=\bruch{u'}{x^2}-\bruch{u}{x}[/mm]
Das stimmt aber nicht !
FRED
>
> nach Substitution:
>
> a)
> [mm]\bruch{u'}{x^2}-\bruch{u}{x}+x*(\bruch{u}{x})^3+2\bruch{u}{x}[/mm]
>
> =[mm]\bruch{u'}{x^2}+\bruch{u^3}{x^2}+\bruch{u}{x}[/mm]=0
>
>
> b)
> [mm]x^2(\bruch{u'}{x^2}-\bruch{u}{x}+(\bruch{u}{x})^2)=x\bruch{u}{x}-1[/mm]
>
> =[mm]u'-xu+u^2=u-1[/mm]
>
>
> Sieht es so aus. Gibt es ein Standardverfahren, das bei
> potenzierten Funktionen oft zum Erfolg führt?
> LG Philipp
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:50 Do 16.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein y' ist falsch.
Gruss leduart
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Hallo pppppp,
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> Danke Leduart, der Fehler hätte nicht sein müssen habe
> ihn gerade, hoffentlich vollständig,behoben. bonk.gif
> Jetzt sollte der Weg für die Hauptfrage frei sein- was
> für einen Ansatz würdet ihr mir empfehlen? Ich habe im
> Moment nicht mal eine Vermutung, am meissten irritiert mich
> das potenzierte u.
>
> [mm]y=\bruch{u}{x}[/mm]
> [mm]y'=\bruch{u'}{x}-\bruch{u}{x^2}[/mm]
>
> nach Substitution:
>
> a)
> [mm]\bruch{u'}{x}-\bruch{u}{x^2}+x\cdot{}(\bruch{u}{x^2})^3+2\bruch{u}{x^2}[/mm]
>
> =[mm] \bruch{u'}{x}+\bruch{u^3}{x}+\bruch{u^2}{x} [/mm]=0
>
>
> b)
> [mm]x^2(\bruch{u'}{x}-\bruch{u}{x^2}+(\bruch{u}{x^2})^2)=x\bruch{u}{x^2}-1[/mm]
>
> =[mm] xu'-u+\bruch{u^2}{x^2}=\bruch{u}{x}-1[/mm]
>
Überprüfe Deine transformierten DGLn.
>
> Sieht es so aus. Gibt es ein Standardverfahren, das bei
> potenzierten Funktionen oft zum Erfolg führt?
Die DGL in a) kannst Du durch eine nochmalige Substitution lösen.
Die DGL in b) löst Du durch Trennung der Variablen.
> LG Philipp
>
Gruss
MathePower
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