Ansatz für Abbildungsmatrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR^3 \to \IR^4 [/mm] eine lineare Abbildung mit: [mm] f(e_1)=\vektor{1\\1\\0\\0}, f(e_2)=\vektor{0\\1\\1\\0}, f(e_3)=\vektor{0\\0\\1\\1}.
[/mm]
Bestimme die Matrix X, die diese Abbildung bezüglich der Basen [mm] v_1=\vektor{1 \\-1 \\ 0} [/mm] , [mm] v_2=\vektor{0 \\ 1 \\ -1}, v_3=\vektor{1 \\ 0 \\1} [/mm] von [mm] \IR^3
[/mm]
und [mm] w_1=\vektor{0\\0\\ 0\\ 1}, w_2=\vektor{0\\ 0\\ 1\\ 1}, w_1=\vektor{0\\ 1\\ 1\\ 1} [/mm] und [mm] w_4=\vektor{1\\ 1\\ 1\\ 1} [/mm] des [mm] \IR^4 [/mm] bechreibt. |
Hallo erstmal an alle Interessierte.
Gesucht ist doch hier die Basiswechselmatrix von V nach W, oder?
Gut. Dann kann man die Abbildung ja auch schreiben als f: [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3} \mapsto \vektor{x_1\\x_1+x_2\\x_2+x_3\\x_3} [/mm] oder als [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3} \mapsto \pmat{1 & 0& 0\\1 &1 &0\\0 &1 &1\\0 &0 &1}\vektor{x_1\\x_2\\x_3}
[/mm]
Also ich habe schonmal ein wenig herumgerechnet nur irgendwie? komisch.
Also ich würde ja sagen ich brauche zu erst die Urbilder der Basis W und die stelle ich dann als LK der Basis V dar --> X?
Die Bilder der Basis V müssen doch in der fertigen Abbildung dann die Basis W ergeben?
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> Sei f: [mm]\IR^3 \to \IR^4[/mm] eine lineare Abbildung mit:
> [mm]f(e_1)=\vektor{1\\1\\0\\0}, f(e_2)=\vektor{0\\1\\1\\0}, f(e_3)=\vektor{0\\0\\1\\1}.[/mm]
Hallo,
es steht hier zwar nirgendwo, aber ich nehme an, daß die Bilder der kanonischen Einheitsbasis des [mm] \IR^3 [/mm] hier als Koordinaten bzgl der kanonischen Einheitsbasis des [mm] \IR^4 [/mm] gegeben sein sollen.
>
> Bestimme die Matrix X, die diese Abbildung bezüglich der
> Basen [mm]v_1=\vektor{1 \\-1 \\ 0}[/mm] , [mm]v_2=\vektor{0 \\ 1 \\ -1}, v_3=\vektor{1 \\ 0 \\1}[/mm]
> von [mm]\IR^3[/mm]
> und [mm]w_1=\vektor{0\\0\\ 0\\ 1}, w_2=\vektor{0\\ 0\\ 1\\ 1}, w_1=\vektor{0\\ 1\\ 1\\ 1}[/mm]
> und [mm]w_4=\vektor{1\\ 1\\ 1\\ 1}[/mm] des [mm]\IR^4[/mm] bechreibt.
> Hallo erstmal an alle Interessierte.
>
> Gesucht ist doch hier die Basiswechselmatrix von V nach W,
> oder?
>
> Gut. Dann kann man die Abbildung ja auch schreiben als f:
> [mm]\vektor{x_1\\x_2\\x_3} \mapsto \vektor{x_1\\x_1+x_2\\x_2+x_3\\x_3}[/mm]
> oder als [mm]\vektor{x_1\\x_2\\x_3} \mapsto \pmat{1 & 0& 0\\1 &1 &0\\0 &1 &1\\0 &0 &1}\vektor{x_1\\x_2\\x_3}[/mm]
Die Matrix, die Du hier aufgestellt hast, beschreibt Dir die Abbildung also von der Einheitsbasis [mm] E_3 [/mm] des [mm] \IR^3 [/mm] in die Einheitsbasis [mm] E_4 [/mm] des [mm] \IR^4.
[/mm]
Was Du benötigst, sind nun die Matrizen für die Basiswechsel von
V nach [mm] E_3 [/mm] und von
W nach [mm] E_4.
[/mm]
[mm] M_{V->E_3} [/mm] ist sehr einfach. Die Spalten enthalten die Koordinaten der Vektoren der Basis V in der Darstellung bzgl. [mm] E_3.
[/mm]
[mm] M_{W->E_4} [/mm] kannst Du auch direkt aufschreiben, benötigen tust Du [mm] M_{E_4->W}, [/mm] welche Du durch Invertieren erhältst.
[mm] \underbrace{M_{V->W}(f)}_{=z}=\underbrace{M_{E_4->W}*}_{bzgl. E_4 { }rein, bzgl { }W { }raus}\underbrace{M_{E_3->E_4}(f)*}_{Abb.{ } in { }Einheitsbasis}\underbrace{M_{V->E_3}}_{ bzgl { }V{ } rein, bzgl.E_3 { }raus}
[/mm]
> Die Bilder der Basis V müssen doch in der fertigen
> Abbildung dann die Basis W ergeben?
Wenn Du in diese Matrix Vektoren in Darstellung bzgl. V hereinsteckt, bekommst Du Vektoren in Darstellung bzgl W heraus.
Willst Du [mm] v_1 [/mm] hereinstecken, mußt Du mit [mm] \vektor{1 \\ 0\\0}_V [/mm] multiplizieren.
Heraus bekommst Du ein Ergebnis [mm] \vektor{a \\ b\\c\\d}_W=aw_1+bw_2+cw_3+dw_4
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:38 Sa 19.05.2007 | | Autor: | pleaselook |
Abend.
Grad kann ich nicht wirklich antworten.
Ich danke dir erstmal, rechne das bis spät. morgen Mittag mal durch und melde mich dann noch mal.
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Hallöchen. Habe jetzt versucht das so zu machen wie Angela meinte.
Wäre nett, wenn sich jemand erbarmen würde und...
O.K. dann ist also [mm] M_{E_3 \to E_4} [/mm] [mm] =\pmat{1 & 0& 0\\1 &1 & 0\\0 & 1& 1\\0 & 0 &1}
[/mm]
Nun zu [mm] M_{V\to E_3} [/mm] :
[mm] a\vektor{1\\0\\0}+b\vektor{0\\1\\0}+c\vektor{0\\0\\1}=\vektor{1\\-1\\0}\Rightarrow [/mm] a=1, b=-1, c=0
[mm] a\vektor{1\\0\\0}+b\vektor{0\\1\\0}+c\vektor{0\\0\\1}=\vektor{0\\1\\-1}\Rightarrow [/mm] a=0, b=1, c=-1
[mm] a\vektor{1\\0\\0}+b\vektor{0\\1\\0}+c\vektor{0\\0\\1}=\vektor{1\\0\\1}\Rightarrow [/mm] a=1, b=0, c=1
[mm] \RightArrow M_{V\to E_3}=\pmat{1&0&1\\-1&1&0\\0&-1&1}
[/mm]
[mm] M_{W\to E_4} [/mm] :
[mm] a\vektor{0\\0\\0\\1}+b\vektor{0\\0\\1\\1}+c\vektor{0\\1\\1\\1}+d\vektor{1\\1\\1\\1}=\vektor{1\\0\\0\\0}\Rightarrow [/mm] a=0, b=0, c=-1, d=1
[mm] a\vektor{0\\0\\0\\1}+b\vektor{0\\0\\1\\1}+c\vektor{0\\1\\1\\1}+d\vektor{1\\1\\1\\1}=\vektor{0\\1\\0\\0}\Rightarrow [/mm] a=0, b=-1, c=1 , d=0
[mm] a\vektor{0\\0\\0\\1}+b\vektor{0\\0\\1\\1}+c\vektor{0\\1\\1\\1}+d\vektor{1\\1\\1\\1}=\vektor{0\\0\\1\\0}\Rightarrow [/mm] a=-1, b=1, c=0, d=0
[mm] a\vektor{0\\0\\0\\1}+b\vektor{0\\0\\1\\1}+c\vektor{0\\1\\1\\1}+d\vektor{1\\1\\1\\1}=\vektor{0\\0\\0\\1}\Rightarrow [/mm] a=1, b=0, c=0, d=0
[mm] \Rightarrow M_{W\to E_4}=\pmat{0&0&-1&1\\0&-1&1&0\\-1&1&0&0\\1&0&0&0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow M_{E_4\to W}=\overline{M_{W\to E_4}}=\pmat{1&1&1&1\\1&1&1&0\\1&1&0&0\\1&0&0&0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow M_{V \to W}=\pmat{0&0&2\\0&1&2\\1&1&2\\1&0&1}
[/mm]
Hui...! Ich hoffe das passt jetzt.
Grüße
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> O.K. dann ist also [mm]M_{E_3 \to E_4}[/mm] [mm]=\pmat{1 & 0& 0\\1 &1 & 0\\0 & 1& 1\\0 & 0 &1}[/mm]
>
> Nun zu [mm]M_{V\to E_3}[/mm] :
>
> [mm]a\vektor{1\\0\\0}+b\vektor{0\\1\\0}+c\vektor{0\\0\\1}=\vektor{1\\-1\\0}\Rightarrow[/mm]
> a=1, b=-1, c=0
>
> [mm]a\vektor{1\\0\\0}+b\vektor{0\\1\\0}+c\vektor{0\\0\\1}=\vektor{0\\1\\-1}\Rightarrow[/mm]
> a=0, b=1, c=-1
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> [mm]a\vektor{1\\0\\0}+b\vektor{0\\1\\0}+c\vektor{0\\0\\1}=\vektor{1\\0\\1}\Rightarrow[/mm]
> a=1, b=0, c=1
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> [mm]\RightArrow M_{V\to E_3}=\pmat{1&0&1\\-1&1&0\\0&-1&1}[/mm]
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> [mm]M_{W\to E_4}[/mm] :
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> [mm]a\vektor{0\\0\\0\\1}+b\vektor{0\\0\\1\\1}+c\vektor{0\\1\\1\\1}+d\vektor{1\\1\\1\\1}=\vektor{1\\0\\0\\0}\Rightarrow[/mm]
> a=0, b=0, c=-1, d=1
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> [mm]a\vektor{0\\0\\0\\1}+b\vektor{0\\0\\1\\1}+c\vektor{0\\1\\1\\1}+d\vektor{1\\1\\1\\1}=\vektor{0\\1\\0\\0}\Rightarrow[/mm]
> a=0, b=-1, c=1 , d=0
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> [mm]a\vektor{0\\0\\0\\1}+b\vektor{0\\0\\1\\1}+c\vektor{0\\1\\1\\1}+d\vektor{1\\1\\1\\1}=\vektor{0\\0\\1\\0}\Rightarrow[/mm]
> a=-1, b=1, c=0, d=0
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> [mm]a\vektor{0\\0\\0\\1}+b\vektor{0\\0\\1\\1}+c\vektor{0\\1\\1\\1}+d\vektor{1\\1\\1\\1}=\vektor{0\\0\\0\\1}\Rightarrow[/mm]
> a=1, b=0, c=0, d=0
>
> [mm]\Rightarrow M_{W\to E_4}=\pmat{0&0&-1&1\\0&-1&1&0\\-1&1&0&0\\1&0&0&0}[/mm]
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> [mm]\Rightarrow M_{E_4\to W}=\overline{M_{W\to E_4}}=\pmat{1&1&1&1\\1&1&1&0\\1&1&0&0\\1&0&0&0}[/mm]
Hallo,
hier scheint beim Invertieren etwas schiefgegangen zu sein. Wenn ich die beiden Matrizen miteinander multipliziere, kommt nicht die Einheitsmatrix heraus.
Aber das Prinzip scheinst Du verstanden zu haben.
Oben, bei Deinen a,b,c:
Ist es Dir klar, daß Du kurzerhand als Spalten die Vektoren [mm] v_1,v_2,v_3 [/mm] bzw [mm] w_1,w_2,w_3,w_4 [/mm] in die Matrix schreiben kannst?
Gruß v. Angela
>
> [mm]\Rightarrow M_{V \to W}=\pmat{0&0&2\\0&1&2\\1&1&2\\1&0&1}[/mm]
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> Hui...! Ich hoffe das passt jetzt.
> Grüße
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zu den a,b,c,d:
also oben klappt dass ja, also bei [mm] M_{V \to E_3}, [/mm] da versteh ich das.
Aber bei der zweiten Matrix? Oder hätte ich da aus [mm] E_4 [/mm] ...
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Oh -
ich habe zu wenig genau geguckt.
Bei Deinen a,b,c,d bestimmst Du am Anfang, dort, wo Du $ [mm] M_{W\to E_4} [/mm] $ schreibst,
in Wahrheit die Matrix [mm] M_{ E_4\to W}! [/mm]
Das hast Du richtig gemacht, die Rechnung die Du durchführst, entspricht der des Invertierens der Matrix [mm] M_{W\to E_4}.
[/mm]
Die Matrix [mm] M_{W\to E_4} [/mm] erhältst Du, indem Du einfach die [mm] w_i [/mm] als Spalten einträgst. Aber hier brauchst Du sie gar nicht mehr, weil Du ja schon gleich invertiert hast.
Nichtsdestotrotz: die zu $ [mm] \pmat{0&0&-1&1\\0&-1&1&0\\-1&1&0&0\\1&0&0&0} [/mm] $ inverse Matrix hast Du verkehrt berechnet.
Gruß v. Angela
Gruß v. Angela
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Ok. Verstehe ich hatte gleich [mm] M_{E_4\to W} [/mm] bestimmt. Die brauche ich nicht mehr zu invertieren. Gut.
Nur die endgültig gesuchte Matrix muß ich noch mal berechnen.
Ich glaub jetzt hab ich das auch verstanden.
Nun soll ich noch ne Aussage zu Injektivität bzw. Surjektivität treffen.
Also Kern f: [mm] \pmat{x_1\\x_1+x_2\\x_2+x_3\\x_3}=\vektor{0\\0\\0\0}\gdw [/mm] {0} ->Injektiv
Bei der Surjektivität frage ich mich, ob ich mit dem Dimensionssatz argumentieren darf. Zumindest ist ja dim Kern f = 1, dim Bild müßte 3 sein.
dim Bild f = dim [mm] \IR3 [/mm] = 3 ->Surjektiv.
Kann man das so machen?
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> Nun soll ich noch ne Aussage zu Injektivität bzw.
> Surjektivität treffen.
Zur Surjektivität:
Wir bilden hier von [mm] \IR^3 [/mm] in den [mm] \IR^4 [/mm] ab.
Wir haben es mit einer linearen Abbildung zu tun, d.h. das Bild kann höchstens die Dimension 3 haben.
Zur Injektivität:
Ja, der Kern =0, also ist die Abbildung injektiv.
>
> Also Kern f:
> [mm]\pmat{x_1\\x_1+x_2\\x_2+x_3\\x_3}=\vektor{0\\0\\0\\0}\gdw[/mm] [mm] \pmat{x_1\\x_2\\x_3}=\pmat{0\\0\\0}
[/mm]
> mit dem Dimensionssatz argumentieren darf. Zumindest ist ja dim Kern f = 1, dim Bild müßte 3 sein.
Das allerdings widerspricht in höchstem Mäße dem, was Du eben ausgerechnet hast, daß nämlich der Kern =0, also nulldimensional ist.
Den Dimensionssatz kannst Du aber trotzdem verwenden:
[mm] dim\IR^3=dim [/mm] kernf+dimBildf.
Auch hier bekommst Du dim Bildf=3.
Der Unterschied: Du bekommst es so auf die richtige Art und Weise...
Gruß v. Angela
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O.K. Dann sind:
dim Kern f = 0
dim Bild f = 3
dim URBild = dim [mm] \IR^3 [/mm] = 3
Injektiv ist mir aufgrund des Kerns klar.
Nur bei meiner Surjektivitätsvorstellung scheiters. f dürfte doch nicht surjektiv sein. ich kann mir doch ein element aus [mm] R^4 [/mm] greifen und komm da nicht aus x hin, glaub ich zumindest. Oder bezieht sich diese Vorstellung nur auf den Bildbereich der ja dim 3 hat.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:30 So 20.05.2007 | | Autor: | pleaselook |
Ja ansonsten schonmal ein dickes Danke und Lob.
Sorry, dass ich Sie da ein paar mal verwirrt habe.
Schönen Sonntag noch.
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> O.K. Dann sind:
> dim Kern f = 0
> dim Bild f = 3
> dim URBild = dim [mm]\IR^3[/mm] = 3
Zu "Urbild" gehört immer ein "wovon".
Aber ich weiß, was Du meinst: nennen wir es Definitionsbereich.
> Nur bei meiner Surjektivitätsvorstellung scheiters. f
> dürfte doch nicht surjektiv sein.
Völlig korrekt. f IST nicht surjektiv.
Wir haben doch ausgerechnet, daß das Bild von f die Dimension 3 hat. Von daher kann man mit f nicht ganz [mm] \IR^4 [/mm] "erwischen", denn dessen Dimension ist 4.
ich kann mir doch ein
> element aus [mm]R^4[/mm] greifen und komm da nicht aus x hin, glaub
> ich zumindest.
Du glaubst richtig.
Oder bezieht sich diese Vorstellung nur auf
> den Bildbereich der ja dim 3 hat.
Es ist Bild f [mm] \subseteq \IR^4.
[/mm]
Wir haben hier und heute eine echte Teilmenge.
Oh - nun schwant mir, was Dich vielleicht verwirrt:
Das Bild ist dreidimensional. Es wird aufgespannt von drei linear unabhängigen Vektoren des [mm] \IR^4. [/mm] Das Bild ist ein dreidimensionaler (=Basis aus drei Elementen) Untervektorraum des [mm] \IR^4.
[/mm]
Gruß v. Angela
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