Anspruchsvoller L'HOSTPITAL < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:28 So 08.02.2009 | | Autor: | pual |
| Aufgabe | [mm] f(x)=\bruch{x*lnx}{e^{x}-1}
[/mm]
bestimme dem rechtsseitigen Grenzwert von f im Punkt x = 0 (Begründung!).
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Hallo, ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich weiß, dass ich L'HOSTPITAL anwenden muss. Ich weiß auch, dass der Grenzwert von x*ln(x) gegen x=0 auch 0 wird, aber ich weiß grad nicht, wie ich beides Gleichzeitig nach L'Hostpital anwenden muss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:39 So 08.02.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
sei $ [mm] f(x)=\bruch{x\cdot{}lnx}{e^{x}-1}=:\bruch{g(x)}{h(x)} [/mm] $
Wenn nun für [mm] \limes_{x\rightarrow{0}}f(x) [/mm] gilt, [mm] \limes_{x\rightarrow{0}}g(x)=0 [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow{0}}h(x)=0, [/mm] dann besagt die Regel von l'Hospital, dass
[mm] \limes_{x\rightarrow{0}}f(x)=\limes_{x\rightarrow{0}}\bruch{g(x)}{h(x)}=\limes_{x\rightarrow{0}}\bruch{g'(x)}{h'(x)} [/mm] falls der Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow{0}}\bruch{g'(x)}{h'(x)} [/mm] existiert.
Du musst also erst einmal die Ableitung von [mm] g(x)=x\cdot{}lnx [/mm] und von [mm] h(x)=e^x-1 [/mm] berechnen.
Und dann berechnest du [mm] \limes_{x\rightarrow{0}}\bruch{g'(x)}{h'(x)}.
[/mm]
Es kann durchaus sein, dass die Regel von l'hospital mehrfach angewendet werden muss.
MfG barsch
Übrigens: ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:51 So 08.02.2009 | | Autor: | pual |
Ah, cool, anstatt x*ln(x) abzuleiten wollte ich ständig [mm] \bruch{ln(x)}{\bruch{1}{x}} [/mm] machen und dazu noch [mm] e^{x}-1 [/mm] in den Bruch mit ein bringen, aber hab das halt net hinbekommen.
Ok, jetzt habe ich [mm] \bruch{lnx}{e^{x}}, [/mm] was [mm] \bruch{\infty}{1} [/mm] und das ergibt ja [mm] \infty
[/mm]
Danke!
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Hallo Paul,
> Ah, cool, anstatt x*ln(x) abzuleiten wollte ich ständig
> [mm]\bruch{ln(x)}{\bruch{1}{x}}[/mm] machen und dazu noch [mm]e^{x}-1[/mm] in
> den Bruch mit ein bringen, aber hab das halt net
> hinbekommen.
Naja, um de l'Hôpital anwenden zu dürfen, musst du zuerst einmal nachweisen, dass der Zähler, also [mm] $x\cdot{}\ln(x)$ [/mm] für [mm] $x\to [/mm] 0$ auch wirklich gegen 0 strebt.
Das kannst du "auf deine Art" machen, es also als [mm] $\frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}}$ [/mm] schreiben und einmal de l'Hôpital drauf loslassen.
Dann siehst du, dass das gegen 0 geht
Also strebt [mm] $\frac{x\cdot{}\ln(x)}{e^x-1}$ [/mm] bei direktem Grenzübergang [mm] $x\to [/mm] 0$ gegen [mm] $\frac{0}{0}$
[/mm]
Damit darfst du de l'Hôpital anwenden!
>
>
> Ok, jetzt habe ich [mm]\bruch{lnx}{e^{x}},[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Ich erhalte da [mm] $\frac{\ln(x)+1}{e^x}$
[/mm]
> was [mm] $\bruch{\red{-}\infty}{1}$ [/mm] und das ergibt ja [mm] $\red{-}\infty$
[/mm]
Achtung: Vorzeichenfehler, [mm] $\ln(x)$ [/mm] strebt für [mm] $x\to [/mm] 0^+$ gegen [mm] $-\infty$ [/mm] !
>
>
> Danke!
LG
schachuzipus
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