Anti- und Symmetrische Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:12 Di 04.01.2011 | | Autor: | Ray07 |
| Aufgabe | Sei K ein Körper, n ∈ [mm] \IN^{+} [/mm] und V = [mm] K^{n×n}. [/mm] Sei A ∈ V .
a) Geben Sie eine explizite Zerlegung von A in einen symmetrischen und einen antisymmetrischen Anteil
an, d. h. geben Sie eine symmetrische Matrix [mm] A_s [/mm] ∈ V und eine antisymmetrische Matrix [mm] A_a [/mm] ∈ V mit
A = [mm] A_s [/mm] + [mm] A_a [/mm] an. Ist diese Zerlegung eindeutig?
b) Geben Sie eine explizite Zerlegung von A in einen spurfreien Anteil und einen Anteil mit derselben Spur
wie A an, d. h. geben Sie zwei Matrizen B,C ∈ V mit tr(B) = 0, tr(C) = tr(A) und A = B + C an. Ist
diese Zerlegung eindeutig? |
Hey^^
ich hab bei der b) eine verständis frage und zwar: was ist der unterschied zu a)?
bei der a hab ich es so gemacht
Beh:
[mm] A_s [/mm] + [mm] A_a [/mm] = A
[mm] A_s=: \bruch{1}{2} [/mm] (A + [mm] A^T) [/mm] (ist symmetrisch da (A + [mm] A^T)^T [/mm] = [mm] A^T+A
[/mm]
[mm] A_a=: \bruch{1}{2} [/mm] (A- [mm] A^T) [/mm] ( ist antisymmetrisch...)
[mm] A_s [/mm] + [mm] A_a [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ( A+ [mm] A^T [/mm] + A - [mm] A^T) [/mm] = A
eindeutigkeit
Annahme: A = [mm] A_s^1 +A_a^1 [/mm] = [mm] A_s^2 [/mm] + [mm] A_a^2 [/mm] aber [mm] A_s^1 \not= A_s^2 [/mm] oder [mm] A_a^1 \not= A_a^2 [/mm] (die hochzahlen sollen keine potenz sein, sondern nur die namen)
[mm] A_s^1 +A_a^1 [/mm] = [mm] A_s^2 [/mm] + [mm] A_a^2 [/mm]
[mm] (A_s^1 [/mm] - [mm] A_s^2) [/mm] + [mm] (A_a^1 [/mm] - [mm] A_a^2) [/mm] = 0
da [mm] (A_a^1 [/mm] - [mm] A_a^2) [/mm] antisymmetrisch ist ist die hauptdiagonale null
d.h bei [mm] (A_s^1 [/mm] - [mm] A_s^2) [/mm] muss die hauptdiagonale auch null sein, damit die nullmatrix am ende rauskommt
dann definiere ich B = [mm] (b^i_j) [/mm] := [mm] (A_s^1 [/mm] - [mm] A_s^2) [/mm] und C = [mm] (c^i_j) :=(A_a^1 [/mm] - [mm] A_a^2) [/mm]
annahme: [mm] (b_j^i) \not= [/mm] 0 für i [mm] \not= [/mm] j
wegen symmetrie von B gilt [mm] b^i_j [/mm] = [mm] b^j_i
[/mm]
wegen B+C = 0
[mm] b^i_j [/mm] + [mm] c^i_j [/mm] = 0 und [mm] b^j_i [/mm] + [mm] c^j_i [/mm] = 0
[mm] b^i_j [/mm] = - [mm] c^i_j [/mm] und [mm] b^j_i [/mm] = - [mm] c^j_i
[/mm]
darausfolgt dann wegen der symmetrie von B
das - [mm] c^i_j [/mm] = - [mm] c^j_i
[/mm]
also [mm] c^i_j [/mm] = [mm] c^j_i
[/mm]
das ist aber widerspruch zur antisymmetrie von C => da wir angenommen haben, das [mm] (b_j^i) \not= [/mm] 0 für i [mm] \not= [/mm] j ( also [mm] A_s^1 \not= A_s^2 [/mm] )
das [mm] A_s^1 [/mm] = [mm] A_s^2 [/mm] gilt, genau wie wenn man mit [mm] A_a^1 \not= A_a^2 [/mm] arbeitet
ich hoffe des passt so
meine richtige frage jetzt nochmal
was ist der unterschied zwischen der aufgabe a und b?, weil des ist doch dann eine antisymmetrische Matrix (B) und einer symmetrischen Matrix (C)
kann mir bitte einer helfen und nen tipp geben bitte
LG ray
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:31 Di 04.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei K ein Körper, n ∈ [mm]\IN^{+}[/mm] und V = [mm]K^{n×n}.[/mm] Sei A
> ∈ V .
> a) Geben Sie eine explizite Zerlegung von A in einen
> symmetrischen und einen antisymmetrischen Anteil
> an, d. h. geben Sie eine symmetrische Matrix [mm]A_s[/mm] ∈ V und
> eine antisymmetrische Matrix [mm]A_a[/mm] ∈ V mit
> A = [mm]A_s[/mm] + [mm]A_a[/mm] an. Ist diese Zerlegung eindeutig?
> b) Geben Sie eine explizite Zerlegung von A in einen
> spurfreien Anteil und einen Anteil mit derselben Spur
> wie A an, d. h. geben Sie zwei Matrizen B,C ∈ V mit
> tr(B) = 0, tr(C) = tr(A) und A = B + C an. Ist
> diese Zerlegung eindeutig?
>
> Hey^^
> ich hab bei der b) eine verständis frage und zwar: was
> ist der unterschied zu a)?
Dazu unten mehr.
> bei der a hab ich es so gemacht
> Beh:
> [mm]A_s[/mm] + [mm]A_a[/mm] = A
> [mm]A_s=: \bruch{1}{2}[/mm] (A + [mm]A^T)[/mm] (ist symmetrisch da (A +
> [mm]A^T)^T[/mm] = [mm]A^T+A[/mm]
> [mm]A_a=: \bruch{1}{2}[/mm] (A- [mm]A^T)[/mm] ( ist antisymmetrisch...)
Soweit so gut, jedoch: wieso ist $2$ im Koerper invertierbar? Das muss nicht immer der Fall sein.
Was machst du, wenn es mal nicht geht? (In dem Fall ist $2 = 0$ in $K$.)
(Tipp: finde ein Beispiel, wo es keine solche Zerlegung gibt.)
> [mm]A_s[/mm] + [mm]A_a[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ( A+ [mm]A^T[/mm] + A - [mm]A^T)[/mm] = A
>
> eindeutigkeit
> Annahme: A = [mm]A_s^1 +A_a^1[/mm] = [mm]A_s^2[/mm] + [mm]A_a^2[/mm] aber [mm]A_s^1 \not= A_s^2[/mm]
> oder [mm]A_a^1 \not= A_a^2[/mm] (die hochzahlen sollen keine potenz
> sein, sondern nur die namen)
>
> [mm]A_s^1 +A_a^1[/mm] = [mm]A_s^2[/mm] + [mm]A_a^2[/mm]
> [mm](A_s^1[/mm] - [mm]A_s^2)[/mm] + [mm](A_a^1[/mm] - [mm]A_a^2)[/mm] = 0
>
> da [mm](A_a^1[/mm] - [mm]A_a^2)[/mm] antisymmetrisch ist ist die
> hauptdiagonale null
> d.h bei [mm](A_s^1[/mm] - [mm]A_s^2)[/mm] muss die hauptdiagonale auch null
> sein, damit die nullmatrix am ende rauskommt
>
> dann definiere ich B = [mm](b^i_j)[/mm] := [mm](A_s^1[/mm] - [mm]A_s^2)[/mm] und C =
> [mm](c^i_j) :=(A_a^1[/mm] - [mm]A_a^2)[/mm]
>
> annahme: [mm](b_j^i) \not=[/mm] 0 für i [mm]\not=[/mm] j
>
> wegen symmetrie von B gilt [mm]b^i_j[/mm] = [mm]b^j_i[/mm]
> wegen B+C = 0
> [mm]b^i_j[/mm] + [mm]c^i_j[/mm] = 0 und [mm]b^j_i[/mm] + [mm]c^j_i[/mm] = 0
> [mm]b^i_j[/mm] = - [mm]c^i_j[/mm] und [mm]b^j_i[/mm] = - [mm]c^j_i[/mm]
> darausfolgt dann wegen der symmetrie von B
> das - [mm]c^i_j[/mm] = - [mm]c^j_i[/mm]
> also [mm]c^i_j[/mm] = [mm]c^j_i[/mm]
> das ist aber widerspruch zur antisymmetrie von C => da wir
> angenommen haben, das [mm](b_j^i) \not=[/mm] 0 für i [mm]\not=[/mm] j ( also
> [mm]A_s^1 \not= A_s^2[/mm] )
> das [mm]A_s^1[/mm] = [mm]A_s^2[/mm] gilt, genau wie wenn man mit [mm]A_a^1 \not= A_a^2[/mm]
> arbeitet
Hier verwendest du, dass aus $-x = x$ folgt $x = 0$. Das gilt aber nur, wenn $2 [mm] \neq [/mm] 0$ in $K$ ist! Ansonsten ist naemlich $-x = x$ fuer alle $x [mm] \in [/mm] K$!
> meine richtige frage jetzt nochmal
> was ist der unterschied zwischen der aufgabe a und b?,
> weil des ist doch dann eine antisymmetrische Matrix (B) und
> einer symmetrischen Matrix (C)
Ja, wenn du so eine Zerlegung hast in eine symmetrische und eine antisymmetrische Matrix, dann liefert dir das (ausser falls $2 = 0$ ist in $K$) eine passende Zerlegung in b).
Jetzt gibt es aber noch was zu tun:
1) Ist die Zerlegung hier eindeutig? Probier das doch mal mit konkreten Beispielen aus, etwa mit $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrizen (kannst sogar Diagonalmatrizen nehmen).
2) Gibt es eine solche Zerlegung auch, falls $2 = 0$ in $K$ ist? (Die Antwort ist ja. Kann man sogar sehr einfach machen.)
LG Felix
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(Frage) überfällig | | Datum: | 19:24 Di 04.01.2011 | | Autor: | Ray07 |
zuerst: danke für die schnelle antwort^^
> Moin!
>
> > Sei K ein Körper, n ∈ [mm]\IN^{+}[/mm] und V = [mm]K^{n×n}.[/mm] Sei A
> > ∈ V .
> > a) Geben Sie eine explizite Zerlegung von A in einen
> > symmetrischen und einen antisymmetrischen Anteil
> > an, d. h. geben Sie eine symmetrische Matrix [mm]A_s[/mm] ∈ V
> und
> > eine antisymmetrische Matrix [mm]A_a[/mm] ∈ V mit
> > A = [mm]A_s[/mm] + [mm]A_a[/mm] an. Ist diese Zerlegung eindeutig?
> > b) Geben Sie eine explizite Zerlegung von A in einen
> > spurfreien Anteil und einen Anteil mit derselben Spur
> > wie A an, d. h. geben Sie zwei Matrizen B,C ∈ V mit
> > tr(B) = 0, tr(C) = tr(A) und A = B + C an. Ist
> > diese Zerlegung eindeutig?
> >
> > Hey^^
> > ich hab bei der b) eine verständis frage und zwar: was
> > ist der unterschied zu a)?
>
> Dazu unten mehr.
>
> > bei der a hab ich es so gemacht
> > Beh:
> > [mm]A_s[/mm] + [mm]A_a[/mm] = A
> > [mm]A_s=: \bruch{1}{2}[/mm] (A + [mm]A^T)[/mm] (ist symmetrisch da (A +
> > [mm]A^T)^T[/mm] = [mm]A^T+A[/mm]
> > [mm]A_a=: \bruch{1}{2}[/mm] (A- [mm]A^T)[/mm] ( ist antisymmetrisch...)
>
> Soweit so gut, jedoch: wieso ist [mm]2[/mm] im Koerper invertierbar?
> Das muss nicht immer der Fall sein.
>
> Was machst du, wenn es mal nicht geht? (In dem Fall ist [mm]2 = 0[/mm]
> in [mm]K[/mm].)
>
> (Tipp: finde ein Beispiel, wo es keine solche Zerlegung
> gibt.)
in der aufgabe davor stand, dass wir bei der antisymmetrischen martix mit char K [mm] \not [/mm] = 2 ausgehen, sonst wären die hauptdiagonalen elemente ja nicht null, kann ich dann nicht von ausgehen, dass 2 inverierbar ist?
>
> > [mm]A_s[/mm] + [mm]A_a[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ( A+ [mm]A^T[/mm] + A - [mm]A^T)[/mm] = A
> >
> > eindeutigkeit
> > Annahme: A = [mm]A_s^1 +A_a^1[/mm] = [mm]A_s^2[/mm] + [mm]A_a^2[/mm] aber [mm]A_s^1 \not= A_s^2[/mm]
> > oder [mm]A_a^1 \not= A_a^2[/mm] (die hochzahlen sollen keine potenz
> > sein, sondern nur die namen)
> >
> > [mm]A_s^1 +A_a^1[/mm] = [mm]A_s^2[/mm] + [mm]A_a^2[/mm]
> > [mm](A_s^1[/mm] - [mm]A_s^2)[/mm] + [mm](A_a^1[/mm] - [mm]A_a^2)[/mm] = 0
> >
> > da [mm](A_a^1[/mm] - [mm]A_a^2)[/mm] antisymmetrisch ist ist die
> > hauptdiagonale null
> > d.h bei [mm](A_s^1[/mm] - [mm]A_s^2)[/mm] muss die hauptdiagonale auch
> null
> > sein, damit die nullmatrix am ende rauskommt
> >
> > dann definiere ich B = [mm](b^i_j)[/mm] := [mm](A_s^1[/mm] - [mm]A_s^2)[/mm] und C =
> > [mm](c^i_j) :=(A_a^1[/mm] - [mm]A_a^2)[/mm]
> >
> > annahme: [mm](b_j^i) \not=[/mm] 0 für i [mm]\not=[/mm] j
> >
> > wegen symmetrie von B gilt [mm]b^i_j[/mm] = [mm]b^j_i[/mm]
> > wegen B+C = 0
> > [mm]b^i_j[/mm] + [mm]c^i_j[/mm] = 0 und [mm]b^j_i[/mm] + [mm]c^j_i[/mm] = 0
> > [mm]b^i_j[/mm] = - [mm]c^i_j[/mm] und [mm]b^j_i[/mm] = - [mm]c^j_i[/mm]
> > darausfolgt dann wegen der symmetrie von B
> > das - [mm]c^i_j[/mm] = - [mm]c^j_i[/mm]
> > also [mm]c^i_j[/mm] = [mm]c^j_i[/mm]
> > das ist aber widerspruch zur antisymmetrie von C => da
> wir
> > angenommen haben, das [mm](b_j^i) \not=[/mm] 0 für i [mm]\not=[/mm] j ( also
> > [mm]A_s^1 \not= A_s^2[/mm] )
> > das [mm]A_s^1[/mm] = [mm]A_s^2[/mm] gilt, genau wie wenn man mit [mm]A_a^1 \not= A_a^2[/mm]
> > arbeitet
>
> Hier verwendest du, dass aus [mm]-x = x[/mm] folgt [mm]x = 0[/mm]. Das gilt
> aber nur, wenn [mm]2 \neq 0[/mm] in [mm]K[/mm] ist! Ansonsten ist naemlich [mm]-x = x[/mm]
> fuer alle [mm]x \in K[/mm]!
>
hier nochmal das selbe, ich hab einfach das mit der charakterisierung übernommen, weil ja nur bei char K = 2 gilt, dass -x =x ist, sonst wäre die haptdiagonale ja wieder nicht null
> > meine richtige frage jetzt nochmal
> > was ist der unterschied zwischen der aufgabe a und b?,
> > weil des ist doch dann eine antisymmetrische Matrix (B) und
> > einer symmetrischen Matrix (C)
>
> Ja, wenn du so eine Zerlegung hast in eine symmetrische und
> eine antisymmetrische Matrix, dann liefert dir das (ausser
> falls [mm]2 = 0[/mm] ist in [mm]K[/mm]) eine passende Zerlegung in b).
>
> Jetzt gibt es aber noch was zu tun:
>
> 1) Ist die Zerlegung hier eindeutig? Probier das doch mal
> mit konkreten Beispielen aus, etwa mit [mm]2 \times 2[/mm]-Matrizen
> (kannst sogar Diagonalmatrizen nehmen).
>
> 2) Gibt es eine solche Zerlegung auch, falls [mm]2 = 0[/mm] in [mm]K[/mm]
> ist? (Die Antwort ist ja. Kann man sogar sehr einfach
> machen.)
>
zu 1) ich würd schon sagen das es eindeutig ist, weil davor wars es das doch auch xD, ich sehe den unterschied zwischen a und b nicht wirklich
hab jetzt ein beispiel genommen
A= B+C (bei char K [mm] \not= [/mm] 2 )
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 } [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \pmat{ 1 & 5 \\ 5 & 4 }
[/mm]
find jetzt leider auch keine andere möglichkeit :(
zu 2) fällt mir leider kein beispiel ein, habe versucht die matrix von 1 zu verwenden [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm] aber zu der find ich jetzt nicht wirklich was :( kannst du mir vielleicht nen tipp geben wie ich des zeige?
> LG Felix
>
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:20 Mi 05.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:22 Do 06.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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