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Forum "stochastische Prozesse" - Anwendung Ito Formel
Anwendung Ito Formel < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Anwendung Ito Formel: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:38 Mi 04.04.2012
Autor: torstentw

Hallo wie löse ich folgendes Problem:

Ich habe einen stochastischen Prozess [mm] \lambda_t [/mm] = [mm] \lambda_0 [/mm] + [mm] \integral_{0}^{t}{w_s dB_s} [/mm] gegeben wobei [mm] w_t [/mm] deterministisch und B die Brownsche Bewegung ist.

Wie löse ich nun die SDE [mm] dZ_t [/mm] = - [mm] \lambda_t Z_t dB_t [/mm] ? Ich weiß, dass ich Ito anwenden muss mit [mm] Z_t [/mm] = [mm] f(t,\lambda_t), [/mm] aber ich stehe auf dem Schlauch, wie ich das aufschreiben muss...

Danke schonmal im Voraus!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Anwendung Ito Formel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:25 Do 05.04.2012
Autor: torstentw

keine eine idee :(?

Bezug
        
Bezug
Anwendung Ito Formel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:27 Do 05.04.2012
Autor: Blech

Hi,

Also,

[mm] $dZ_t [/mm] = [mm] -\lambda_t Z_t\ dB_t [/mm] = [mm] -\frac{\lambda_t}{w_t} Z_t\ d\lambda_t$ [/mm]

[mm] $dZ_t [/mm] = [mm] df(t,\lambda_t)= (\frac{\partial}{\partial t} [/mm] f + [mm] \frac [/mm] 12 [mm] \frac{\partial^2}{\partial \lambda^2} [/mm] f)\ dt + [mm] \frac{\partial}{\partial \lambda}f\ d\lambda_t$ [/mm]

Damit fordern wir

1. [mm] $\frac{\partial}{\partial \lambda}f [/mm] = [mm] -\frac{\lambda_t}{w_t} [/mm] f$
(der Term aus der SDE)

2. [mm] $\frac{\partial}{\partial t} [/mm] f = - [mm] \frac [/mm] 12 [mm] \frac{\partial^2}{\partial \lambda^2} [/mm] f= [mm] -\frac [/mm] 12 [mm] \frac{\partial}{\partial \lambda}(-\frac{\lambda_t}{w_t} [/mm] f) $
$= [mm] -\frac [/mm] 12 [mm] (-\frac f{w_t} [/mm] + [mm] \frac{\lambda^2_t}{w_t^2} [/mm] f)= [mm] \frac [/mm] 12 [mm] f*(\frac 1{w_t} [/mm] - [mm] \frac{\lambda_t^2}{w_t^2})$ [/mm]
(die SDE hat keinen Drift)


oder seh ich das falsch?

ciao
Stefan

Bezug
                
Bezug
Anwendung Ito Formel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:48 Fr 06.04.2012
Autor: torstentw

Ok das hatte ich nun auch soweit nachgerechnet, danke Stephan :).

Aber wie komme ich nun auf ein Ergebnis? Bzw ich habe eins gegeben, welches ich natürlich nachrechnen kann. Aber, falls ich dies nicht hätte, was wäre dann?

Bezug
                        
Bezug
Anwendung Ito Formel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:54 Sa 07.04.2012
Autor: Blech

Hi,

was ist das Ergebnis?

Ich bin mir bei der Rechnung nämlich auch nicht so ganz sicher (ist ne Weile her) und sie führt bei mir auf eine ziemlich starke Einschränkung von [mm] $w_t$. [/mm]


ciao
Stefan

Bezug
                                
Bezug
Anwendung Ito Formel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:25 Sa 07.04.2012
Autor: torstentw

Die Lösung ist

[mm] Z_t [/mm] = [mm] \left(\frac{w_0}{w_t}\right)^{\frac{1}{2}} [/mm] exp [mm] \left[-\frac{1}{2}\left(\frac{\lambda^2_t}{w_t}-\frac{\lambda^2_0}{w_0}\right)\right] [/mm]

Nach nachprüfen stimmt das auch, aber mich würde interessieren wie ich darauf kommen kann.

Gruß

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Bezug
Anwendung Ito Formel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:32 Sa 07.04.2012
Autor: Blech

Hi,

> $ [mm] \frac{\partial}{\partial \lambda}f [/mm] = [mm] -\frac{\lambda_t}{w_t} [/mm] f $

löst sich zu

[mm] $f=\exp(-\frac [/mm] 12* [mm] \frac{\lambda_t^2}{w_t} [/mm] + [mm] C_t)$ [/mm]


und aus

[mm] $\frac{\partial f}{\partial t} [/mm] = [mm] \frac [/mm] 12 f* [mm] (\frac{\lambda_t^2}{w_t^2} [/mm] - [mm] \frac 1{w_t})$ [/mm] ( <-- umgedrehtes Vorzeichen, siehe unten)

würde dann durch Einsetzen folgen, daß

[mm] $C_t=-\ln\sqrt{w_t} [/mm] + D$


Die anderen Terme ergeben sich aus einer Anfangsbedingung.


Mein Problem ist folgendes:

[mm] $\frac{\partial f}{\partial t} [/mm] = [mm] \frac [/mm] 12 f* [mm] (\frac{\lambda_t^2}{w_t^2} [/mm] - [mm] \frac 1{w_t})$ [/mm]

ich komm hier nämlich ums Verrecken auf das umgedrehte Vorzeichen

[mm] $\frac{\partial f}{\partial t} [/mm] = - [mm] \frac [/mm] 12 f* [mm] (\frac{\lambda_t^2}{w_t^2} [/mm] - [mm] \frac 1{w_t})$ [/mm]

und ich seh nicht, wo mein Fehler ist.

Ich hab mir schon beim ersten Rechnen gedacht, daß das mit anderen Vorzeichen netter wäre, aber ich komm nicht drauf.

Dementsprechend erhalte ich auch nicht, daß das oben die SDE löst, weil sich der Driftterm bei mir nicht wegkürzt.

Wenn Du mich da erleuchten könntest, wäre ich Dir sehr verbunden. =)


ciao
Stefan

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Anwendung Ito Formel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:55 Sa 07.04.2012
Autor: torstentw

Hm stimmt auf dein Ergebnis kam ich jezt auch aber mir fällt folgendes spontan auf:

müsste es nicht

$ [mm] dZ_t [/mm] = [mm] df(t,\lambda_t)= (\frac{\partial}{\partial t} [/mm] f + [mm] \frac [/mm] 12 [mm] \frac{\partial^2}{\partial \lambda^2} [/mm] f [mm] w_t^2)\ [/mm]  dt + [mm] \frac{\partial}{\partial \lambda}f\ w_t d\lambda_t [/mm] $

heißen?

Werde es mal damit betrachten

Bezug
                                        
Bezug
Anwendung Ito Formel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:34 Sa 07.04.2012
Autor: torstentw

mir ist gerade noch aufgefallen, dass [mm] w_t [/mm] = [mm] \frac{w_0}{1+w_0t} [/mm] gilt
Bezug
                                                
Bezug
Anwendung Ito Formel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:46 Mo 09.04.2012
Autor: Blech

Hi,

hmm, ja das [mm] $w^2$ [/mm] fehlt, weil ich schlauerweise einen Teil abgeschrieben hab, wo ich schon mit Einschränkungen für w experimentiert hatte. Der Schmierzettel war leicht unübersichtlich. =)


Mein Fehler war aber tatsächlich beim Ableiten, wenn auch an anderer Stelle als gedacht. Ich hab das Nachdifferenzieren von [mm] $w_t$ [/mm] vergessen (bitte nicht meinem Nachhilfeschüler erzählen =) *schäm*


Bis zu

$f= [mm] e^{-\frac 12 \frac{\lambda^2}{w} + C_t}$ [/mm]

bleibt eh alles gleich.


Hier jetzt mit korrekter Ableitung von [mm] $\frac 1{w_t}: [/mm]

[mm] $\frac \partial{\partial t}f [/mm] = [mm] \frac [/mm] 12 f [mm] (\lambda_t^2 \frac 1{w_t^2} \frac{\partial w_t}{\partial t} [/mm] + [mm] 2\frac \partial{\partial t} C_t) \overset{!}{=} \frac [/mm] 12 f [mm] (w-\lambda^2) [/mm] = [mm] -\frac{w_t^2}2 \frac{\partial^2}{\partial \lambda^2}f$ [/mm]

[mm] $2\frac \partial{\partial t} C_t [/mm] = w - [mm] \lambda^2 [/mm] ( 1 + [mm] \frac 1{w_t^2} \frac{\partial w_t}{\partial t})$ [/mm]


Die Klammer muß 0 sein, weil [mm] $C_t$ [/mm] nicht von [mm] $\lambda$ [/mm] abhängen darf:

[mm] $\frac 1{w_t^2} \frac{\partial w_t}{\partial t} [/mm] = -1$

daraus folgt

[mm] $w_t [/mm] = [mm] \frac [/mm] 1{a + t}$

und dann paßt alles.

ciao
Stefan

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Bezug
Anwendung Ito Formel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:41 Di 10.04.2012
Autor: torstentw

Geht klar, werde es nicht weitersagen ;) Habe es auch mittlerweile selbst gefunden, sorry dass ich das nicht geschrieben hatte.

Vielen Dank nochmals!

Gruß

Torsten

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Bezug
Anwendung Ito Formel: System
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Mo 20.08.2012
Autor: Loddar

.

Aha, dieses Vorgehen hat also System! [kopfschuettel]



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Bezug
Anwendung Ito Formel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:43 Di 21.08.2012
Autor: torstentw

Eigentlich hab ich gar nichts gemacht^^ wundert mich auch

Bezug
                        
Bezug
Anwendung Ito Formel: so, so ...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:43 Di 21.08.2012
Autor: Loddar


> Eigentlich hab ich gar nichts gemacht

Dann hat sich also irgendjemand Anders unter Deinem Account eingeloggt und bei diversen Threads die Frageartikel geleert? [kopfkratz3]



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Bezug
Anwendung Ito Formel: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:16 Fr 07.09.2012
Autor: torstentw

erledigt
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Bezug
Anwendung Ito Formel: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Mo 10.09.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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