Anwendung Zentrale Grenzw.satz < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:30 Mi 07.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Zeigen Sie durch Anwendung des Zentralen Grenzwertsatzes auf eine unabhängige Folge von zum Parameter 1 poisson-verteilten Zufallsvariablen die folgende Gleichung:
[mm] \lim_{n\to{\infty}} \sum_{k=0}^n e^{-n}\cdot{}\bruch{n^k}{k!}=\bruch{1}{2} [/mm] |
Tag Leute,
okay also sei [mm] (X_i)_{i\in{\IN}}\text{ i.i.d. mit }X_1\sim{Pois(1)} [/mm] und [mm] S_n:=\sum_{i=1}^n X_i.
[/mm]
Dann wissen wir, dass [mm] S_n\sim{Pois(n)}, [/mm] d.h. [mm] P[S_n=k]=e^{-n}\cdot{}\bruch{n^k}{k!}.
[/mm]
Weiter gilt damit: [mm] P[S_n\le{n}]=\sum_{k=0}^n e^{-n}\cdot{}\bruch{n^k}{k!}
[/mm]
Aber warum folgt nun aus dem Zentralen Grenzwert satz, dass dies für [mm] n\to{\infty} [/mm] gerade [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ist?
Wär super, wenn das jemand erklären könnte! Besten Dank schon mal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:58 Do 08.07.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin,
was besagt denn der ZGS fuer eine Poisson(1)-Verteilung?
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:49 Do 08.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Der Zentrale Grenzwertsatz sagt mir, dass gilt:
[mm] \lim_{n\to{\infty}} P\left[\bruch{S_n-n}{\wurzel{n}}\le{0}\right]=\Phi(0)=\bruch{1}{2}
[/mm]
Und daraus kann ich ja dann sofort schließen, dass auch [mm] \lim_{n\to{\infty}} P[S_n\le{n}]=\bruch{1}{2} [/mm] ist.
Klasse, vielen Dank!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:53 Mi 21.07.2010 | | Autor: | Peter_Pein |
very strange :-(
da [mm] $e^{-n}$ [/mm] unabhängig von k ist, kann man den Faktor aus dem Summanden vor die Summe holen und erhält [mm] $e^{-n}*e^{n}$, [/mm] was unabhängig von $n$ eins ergibt, nicht die Hälfte davon.
P.S.: meine Lesebrille ist bei der Reparatur - ich hatte als oberen Summationsindex unendlich angenommen, obwohl n dort steht. Dann klappt's auch mit der Hälfte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:06 Mi 21.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
> very strange :-(
> da [mm]e^{-n}[/mm] unabhängig von k ist, kann man den Faktor aus
> dem Summanden vor die Summe holen und erhält [mm]e^{-n}*e^{n}[/mm],
> was unabhängig von [mm]n[/mm] eins ergibt, nicht die Hälfte
> davon.
Da muss ich aber widersprechen!
Du kannst nicht einfach das [mm] e^{-n} [/mm] vor die Summe ziehn und dann bei der Summe das n [mm] durch\text{ }\infty [/mm] ersetzen
zumal du dann innerhalb der Summe auch noch das n stehen lässt.
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