Anwendung der Leibniz Regel < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:59 Do 16.12.2010 | | Autor: | Nickles |
Hallo,
ich habe hier einen Abschnitt in meinem Skript den ich leider nicht verstehe.
Gegeben sei die Funktion c=c(x,t)
$C(x,t) = [mm] \frac{1}{2} [/mm] [ 1- [mm] \frac{2}{\sqrt \pi} \int_0^y e^{- {\lambda}^2} \mathrm [/mm] d [mm] \lambda [/mm] ] $ , mit $ y = [mm] \frac{x}{2 \sqrt {Dt}} [/mm] $
Wird für die beiden Variablen x und t die LEIBNIZ-Regel angewendet
$ [mm] \frac{\delta}{\delta x} [/mm] [ [mm] \int_0^{g(x,t)} h(\lambda) \mathrm [/mm] d [mm] \lambda [/mm] ] = h(g(x,t)) * [mm] \frac{\delta g}{\delta x} [/mm] $
$ [mm] \frac{\delta}{\delta t} [/mm] [ [mm] \int_0^{g(x,t)} h(\lambda) \mathrm [/mm] d [mm] \lambda [/mm] ] = h(g(x,t)) * [mm] \frac{\delta g}{\delta t} [/mm] $
So können die folgenden Ableitungen berechnet werden. Die erste Ableitung von
$C(x,t) = [mm] \frac{1}{2} [/mm] [ 1- [mm] \frac{2}{\sqrt \pi} \int_0^y e^{- {\lambda}^2} \mathrm [/mm] d [mm] \lambda [/mm] ] $ , mit $ y = [mm] \frac{x}{2 \sqrt {Dt}} [/mm] $
nach der Zeit liefert
$ [mm] \frac{\delta c}{\delta t} [/mm] = [mm] \frac{x}{4 \sqrt {\pi * Dt}*t} *e^{ \frac{-x^2}{4Dt}} [/mm] $
Zweimalige Ableitung nach dem Ort x liefert
$ [mm] \frac{{\delta}^2 c}{\delta x^2} [/mm] = [mm] \frac{x}{4 \sqrt {\pi * Dt}*Dt} *e^{ \frac{-x^2}{4Dt}} [/mm] = [mm] \frac{1}{D} [/mm] * [mm] \frac{\delta c}{\delta t} [/mm] $
Nun habe ich bei Wikipedia nachgeschlagen was die Leibniz-Regel denn ist und herausbekommen das man damit wohl "unter" dem Integral ableiten kann.
Wie das in diesem Fall aber angewendet worden ist erkenne ich nicht.
Könntet ihr mir erklären wie das hier vonstatten gegangen ist?
Wäre super!
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:11 Do 16.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
hier ist das einfach die Kettenregel.
ist [mm]F(x)=\integral_{a}^{x}{f(t) dt}[/mm]
dann ist F'(x)=f(x) fundamentalsatz
steht jetzt statt x als obere Grenze eine fkt g(x) dann braucht man eben die Kettenregel.wenn ausserdem noch der integrand von x abhängt, dann erst greift zusätzlich die ableitung unter dem Integral, siehe wiki
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:52 Fr 17.12.2010 | | Autor: | Nickles |
Tut mir leid, das erklärt sich mir immer noch nicht.
> Hallo
> hier ist das einfach die Kettenregel.
> ist [mm]F(x)=\integral_{a}^{x}{f(t) dt}[/mm]
> dann ist F'(x)=f(x)
Meinst du damit
$ [mm] \frac{\delta}{\delta x} [/mm] [ [mm] \int_0^{g(x,t)} \color{Blue} {h(\lambda)} \color{Black} \quad \mathrm [/mm] d [mm] \lambda [/mm] ] = [mm] \color{Blue} [/mm] {h(g(x,t))} [mm] \color{Black} \cdot{} \frac{\delta g}{\delta x} [/mm] $
Die beiden blau markierten?
> fundamentalsatz
> steht jetzt statt x als obere Grenze eine fkt g(x) dann
> braucht man eben die Kettenregel.
Ich kenne die Kettenregel, aber wo / wie wird die hier denn eingesetzt?
> integrand von x abhängt, dann erst greift zusätzlich die
> ableitung unter dem Integral, siehe wiki
> gruss leduart
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:03 Fr 17.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Ist f eine stetige Funktion und
$F(z):= [mm] \integral_{0}^{z}{f(w) dw}$
[/mm]
so ist F differenzierbar und
$F'(z)=f(z)$
Sei g eine differenzierbare Funktion von 2 Variablen und
$H(x,t):= [mm] \integral_{0}^{g(x,t)}{f(w) dw}$,
[/mm]
so ist
H(x,t)= F(g(x,t))
Dann folgt mit der Kettenregel:
[mm] $H_x(x,t)= F'(g(x,t))*g_x(x,t)=f(g(x,t))*g_x(x,t)$
[/mm]
und
[mm] $H_t(x,t)= F'(g(x,t))*g_t(x,t)=f(g(x,t))*g_t(x,t)$
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:39 Fr 17.12.2010 | | Autor: | Nickles |
ah super, danke!
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