Anwendung der p-adischen Zahlen in der Arithmetik < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:07 Fr 13.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Da ich mich ja jetzt auch etwas mit den $p$-adischen Zahlen beschäftige, will ich ja auch wissen, was diese eigentlich so "bringen". Dabei bin ich auf diesen interessanten Satz von [mm] $\textsc{Minkowski-Hasse}$ [/mm] gestoßen:
Sei [mm] $F(x_1,\ldots,x_n)$ [/mm] eine quadratische Form mit rationalen Koeffizienten. Die Gleichung
[mm] $F(x_1,\ldots,x_n)=0$
[/mm]
besitzt genau dann eine nicht-triviale Lösung in [mm] $\IQ$, [/mm] wenn sie eine nicht-triviale Lösung in [mm] $\IR$ [/mm] und in [mm] $\IQ_p$ [/mm] für alle Primzahlen $p$ besitzt.
Kann mir jemand den Beweis mal hier reinschreiben? Er steht z.B. in dem Buch "Zahlentheorie" von Borevic/Safarevic (Birkhäuser, 1966), § 7, das ich aber leider nicht hier habe (eines der wenigen Mathebücher, das ich nicht besitze  ). (Bestimmt steht er auch in anderen Büchern zur Zahlentheorie, nur habe ich die alle zu Hause (und bin noch im Büro).)
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo Stefan,
Mal schnell den Beweis hier hin tippen wird ein wenig schwierig... ;)
Hier hast ihn
![[]](/images/popup.gif) http://www.chsemrau.de/studium/mathematik.html
Der Beweis ist im Kapitel 4. Kapitel 3 wird benötigt (und ist auch da).
Liebe Grüsse.
Irrlicht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:41 Mo 16.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Alex!
Okay, ich wusste nicht, dass der Beweis so aufwändig ist. Danke für den Link, die Sachen werde ich komplett durcharbeiten, danach sollte ich dann halbwegs Ahnung davon haben. Vielen Dank!! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:04 Di 17.08.2004 | | Autor: | SirJective |
Hallo Stefan,
> Okay, ich wusste nicht, dass der Beweis so aufwändig ist.
> Danke für den Link, die Sachen werde ich komplett
> durcharbeiten, danach sollte ich dann halbwegs Ahnung davon
> haben. Vielen Dank!!
Dieser Satz hat eine natürliche Verallgemeinerung auf endlich erweitere Oberkörper von [mm] $\IQ$, [/mm] die so genannten algebraischen Zahlkörper. Denn für diese gibt es auch verschiedene Beträge, bezüglich derer man diese Körper vervollständigen kann. Und in dem Fall gilt der Satz von Hasse-Minkowski ebenfalls. Zum Beweis braucht man allerdings weitere Resultate aus der algebraischen Zahlentheorie. (Dieser "Zahlkörper-Fall" ist übrigens mein Diplomthema ;).)
Der Satz gilt auch für rationale Funktionenkörper über endlichen Körpern. Ist F ein endlicher Körper, dann hat F(X) verschiedene Beträge, bezüglich derer man ihn vervollständigen kann. Die Vervollständigung bzgl. dem Betrag, der sich aus dem Grad des Polynoms ergibt, liefert z.B. den Körper F((X)) der Laurentreihen über F. Die anderen Beträge werden - auf eine mir noch unbekannte Weise - durch irreduzible Polynome induziert. Und auch hier gilt: Eine quadratische Form über F(X) hat genau dann eine nichttriviale Nullstelle, wenn sie über jeder Vervollständigung von F(X) eine hat.
Dieser Satz liefert einem Aussagen über die Existenz von Nullstellen einer quadratischen Form. Um aber daraus eine konkrete Lösung zu konstruieren, ist er vermutlich ungeeignet. Mir jedenfalls ist es noch nicht gelungen, aus dem Satz eine rationale Lösung zu konstruieren. Gut geeignet ist er jedoch zum Beweis, dass bestimmte Formen keine rationale Lösung haben, denn die (Un-)Lösbarkeit in einem [mm] \IQ_p [/mm] ist deutlich einfacher zu bestimmen (siehe dazu das Theorem 6 aus Kapitel IV, 2.2 in meiner Datei [mm] [nomm]$chapter4_0$[/nomm] [/mm] ).
Gruss,
SirJective
PS: Kann man denn nicht mal einen Unterstrich-haltigen Dateinamen angeben? :-(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:41 Di 17.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo SirJective,
> [mm]chapter4_0[/mm] ).
> PS: Kann man denn nicht mal einen Unterstrich-haltigen
> Dateinamen angeben? :-(
Nun, das ist wieder ein Grenzfall. Die Software hat richtig erkannt "Unterstrich, gefolgt von Zahl [mm] \Rightarrow [/mm] Tieferstellung".
Aber die automatische Erkennung sollte natürlich deaktivierbar sein, allerdings müßtest du dich dafür bis Ende September gedulden.
Bis dahin benutze bitte den "Doppeltes-Dollarzeichen-Hack":
chapter4_$$0
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:18 Mi 18.08.2004 | | Autor: | SirJective |
Hallo Marc,
> Aber die automatische Erkennung sollte natürlich
> deaktivierbar sein, allerdings müßtest du dich dafür bis
> Ende September gedulden.
>
> Bis dahin benutze bitte den
> "Doppeltes-Dollarzeichen-Hack":
>
> chapter4_[mm][/mm]0
Ja, ich erinnere mich. :)
Viel Erfolg mit der neuen Funktion.
Gruss,
SirJective
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:12 Fr 15.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo SirJective!
> Aber die automatische Erkennung sollte natürlich
> deaktivierbar sein, allerdings müßtest du dich dafür bis
> Ende September gedulden.
Pünktlich zum Ende des Monats September gibt es das [code]...[/code]-Tag, mit dem man die restlichen Tags ausschalten kann.
Das funktioniert auch mehrzeilig:
| 1: | Erste Zeile
| | 2: | zweite Zeile
| | 3: | dritte Zeile
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Viele Grüße,
Marc
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