Anwendung des Residuensatzes < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:29 Fr 07.05.2010 | | Autor: | Wuffel |
| Aufgabe | Nachvollziehen von:
[mm] \intop_{0}^{\infty}\text{tanh}\left(\frac{\beta}{2}\epsilon\right)\epsilon d\epsilon\overset{!}{=}-2\pi \frac{1}{\beta}\sum_{\ell}|\omega_{\ell}|
[/mm]
wobei [mm] \imath \cdot \omega_{\ell}=\frac{\imath\pi}{\beta}(2\ell+1) [/mm] die Pole des tanh() sind.
[mm] \ell\in\mathbb{Z} [/mm] |
Hallo, ich versuche nachzuvollziehen warum diese Gleichheit gilt. Das ganze funktioniert mit Hilfe des Residuensatzes. Mein Problem ist jetzt den richtigen Integrationspfad zu finden, so dass ich ein Komplexes Weg-Integral habe welches äquivalent zu:
[mm] \intop_{-\infty}^{\infty}\text{tanh}\left(\frac{\beta}{2}\epsilon\right)\epsilon d\epsilon
[/mm]
ist. So wie es aussieht geht die hintere Summe über alle [mm] \ell [/mm] (auch negative, was das [mm] |\omega_\ell| [/mm] erklären würde). Wenn ich einfach einen Halbkreis in der komplexen Ebene annehme dessen Achse auf der reellen Achse liegt, so habe ich das Problem dass dann das Integral über den Halbkreis für [mm] R\rightarrow\infty [/mm] nicht verschwindet.
Die Residuen der Funktion sind übrigens:
[mm] Res_{\imath\omega_{\ell}}(\text{tanh}\left(\frac{\beta}{2}\epsilon\right)\epsilon)=\frac{2}{\beta}\imath\omega_{\ell}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:07 Fr 07.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Nachvollziehen von:
>
> [mm]\intop_{0}^{\infty}\text{tanh}\left(\frac{\beta}{2}\epsilon\right)\epsilon d\epsilon\overset{!}{=}-2\pi \frac{1}{\beta}\sum_{\ell}|\omega_{\ell}|[/mm]
>
> wobei [mm]\imath \cdot \omega_{\ell}=\frac{\imath\pi}{\beta}(2\ell+1)[/mm]
> die Pole des tanh() sind.
> [mm]\ell\in\mathbb{Z}[/mm]
> Hallo, ich versuche nachzuvollziehen warum diese
> Gleichheit gilt. Das ganze funktioniert mit Hilfe des
> Residuensatzes.
Soweit ich sehen kann, ist sowohl das Integral links als auch die Summe rechts divergent, denn der Integrand
[mm] \text{tanh}\left(\frac{\beta}{2}\epsilon\right)\epsilon [/mm]
geht asymptotisch gegen die lineare Funktion [mm] $\epsilon$, [/mm] und
[mm] \summe_{\ell\in\IZ} |2l+1| [/mm]
ist zweimal die Summe aller ungeraden natürlichen Zahlen und divergiert auch.
Kannst du bitte noch erklären, in welchem Zusammenhang das vorkommt?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:56 Sa 08.05.2010 | | Autor: | Wuffel |
Dieses Integral ist ein Teil eines Großkanonischen Potentials im Rahmen der BCS Theorie (Supraleitung). Und dass es divergiert stand auch in dem Lehrbuch, was später dadurch behoben wird, dass die Integration, bzw. später die Summation durch Einführung eines Cut-Offs begrenzt wird.
Das komplette Potential wird über:
[mm] \frac{2}{\beta}\intop\text{log}\left(\text{cosh}\left(\frac{\beta}{2}\sqrt{\epsilon^{2}+\Delta^{2}}\right)\right)-\text{log}\left(\text{cosh}\left(\frac{\beta}{2}\epsilon\right)\right) d\epsilon
[/mm]
beschrieben, wobei im Buch zu diesem Integral nur gesagt ist, dass die Auswertung eine Frage der mathematischen Technik sei und man partiell integrieren müsse, den entstehenden tanh durch seine Partialbruchzerlegung ersetzen und den Residuensatz anzuwenden. Das habe ich bis jetzt erfolglos versucht ^^
Mal von der Divergenz des Integrals abgesehen muss es irgendeinen Weg geben um hier mit dem Residuensatz vorran zu kommen, denn sonst wäre es ja wahrscheinlich nicht in dem Buch abgedruckt :)
Das Buch im dem das ganze (ohne viele rechnerischen Details) ausgeführt ist ist von G. Eilenberger in “Supraleitung und verwandte Quantenphänomene”, bearbeitet durch K. Jülich (1988), Ferienkurs
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:23 Sa 08.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Dieses Integral ist ein Teil eines Großkanonischen
> Potentials im Rahmen der BCS Theorie (Supraleitung). Und
> dass es divergiert stand auch in dem Lehrbuch, was später
> dadurch behoben wird, dass die Integration, bzw. später
> die Summation durch Einführung eines Cut-Offs begrenzt
> wird.
Das kann ich so schnell nicht nachvollziehen.
> Das komplette Potential wird über:
>
> [mm]\frac{2}{\beta}\intop\text{log}\left(\text{cosh}\left(\frac{\beta}{2}\sqrt{\epsilon^{2}+\Delta^{2}}\right)\right)-\text{log}\left(\text{cosh}\left(\frac{\beta}{2}\epsilon\right)\right) d\epsilon[/mm]
>
> beschrieben, wobei im Buch zu diesem Integral nur gesagt
> ist, dass die Auswertung eine Frage der mathematischen
> Technik sei und man partiell integrieren müsse, den
> entstehenden tanh durch seine Partialbruchzerlegung
> ersetzen und den Residuensatz anzuwenden. Das habe ich bis
> jetzt erfolglos versucht ^^
Dann ersetze doch den tanh durch seine Partialbruchzerlegung. Diese kannst durch leicht aus der bekannten Partialbruchzerlegung des Cotangens
[mm] \pi\cot(z\pi) =\bruch {1}{z}+\sum_{k=1}^\infty\left(\bruch{1}{z-k} + \bruch{1}{z+k}\right) = \summe_{k\in\IZ} \bruch{1}{z+k}[/mm]
ableiten, indem du die Identitäten
[mm] \tanh(iz) = i\tan z[/mm] und [mm] \cot(\pi/2 - z) = \tan z [/mm]
benutzt.
>
> Mal von der Divergenz des Integrals abgesehen muss es
> irgendeinen Weg geben um hier mit dem Residuensatz vorran
> zu kommen, denn sonst wäre es ja wahrscheinlich nicht in
> dem Buch abgedruckt :)
>
> Das Buch im dem das ganze (ohne viele rechnerischen
> Details) ausgeführt ist ist von G. Eilenberger in
> “Supraleitung und verwandte Quantenphänomene”,
> bearbeitet durch K. Jülich (1988), Ferienkurs
K. Jülich ist das Kernforschungszentrum Jülich.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:18 Sa 08.05.2010 | | Autor: | Wuffel |
Ok danke für diesen Hinweis. Ich hatte bis jetzt die folgende Partialbruchzerlegung benutzt:
[mm] \text{tanh}(\frac{\beta}{2}\epsilon)=\frac{e^{\beta\epsilon}-1}{2\imath}\left(\frac{1}{e^{\frac{\beta\epsilon}{2}}-\imath}-\frac{1}{e^{\frac{\beta\epsilon}{2}}+\imath}\right)
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:34 Sa 08.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ok danke für diesen Hinweis. Ich hatte bis jetzt die
> folgende Partialbruchzerlegung benutzt:
>
> [mm]\text{tanh}(\frac{\beta}{2}\epsilon)=\frac{e^{\beta\epsilon}-1}{2\imath}\left(\frac{1}{e^{\frac{\beta\epsilon}{2}}-\imath}-\frac{1}{e^{\frac{\beta\epsilon}{2}}+\imath}\right)[/mm]
>
Wenn's um Funktionentheorie geht, ist meistens die Partialbruchzerlegung einer meromorphen Funktion gemeint.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:34 Mo 10.05.2010 | | Autor: | Wuffel |
So zusammen mit einem Kumpel ist mir heute Mittag die Antwort zu meiner ursprünglichen Frage eingefallen. Die andere Partialbruchzerlegung war nur ein anderer Weg die Residuen zu errechen. Um die von mir zu zeigendende Gleichheit zu zeigen wählt man einen Integrationsweg wie folgt:
1) [mm] -\infty [/mm] bis [mm] \infty [/mm]
2) Halbkreis mit Radius R in der obereren Ebene
3) [mm] -\infty [/mm] bis [mm] \infty [/mm]
4) Halbkreis mit Radius R in der unteren Ebene
1) + 2) ergibt 2x das gesuchte Integral, und für [mm] R\to\infty [/mm] geht der imaginärteil des Kreises gegen 0 und der Realteil hebt sich genau weg, da bei 4) im mathematisch negativen Sinne integriert wird.
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