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hallo Zusammen,
Die Aufgabe ist um eine Ungleichung zu prüfen, ob sinx [mm] \le [/mm] x gilt.
es ist klar dass diese Ungleichung für x=0 und x>=1 immer gilt. wir betrachten nur für x aus (0,1). Die erste Ableitung von Funktion f(x)=x-sinx ist gleich 1-cosx, und diese Ableitung ist für x in (0,1) immer größer als 0. d.h. f(x)=x-sinx ist monoton wachsend in (0,1).
aber wie geht es dann weiter?
Kann jemand mir helfen?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:35 Do 18.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Natascha,
> wir betrachten nur für x aus (0,1). Die erste
> Ableitung von Funktion f(x)=x-sinx ist gleich 1-cosx, und
> diese Ableitung ist für x in (0,1) immer größer als 0.
> d.h. f(x)=x-sinx ist monoton wachsend in (0,1).
> aber wie geht es dann weiter?
> Kann jemand mir helfen?
Die grobe Idee besteht darin, dass [mm] $\sin x\le [/mm] x$ gleichbedeutend mit [mm] $0\le x-\sin [/mm] x$, also mit [mm] $0\le [/mm] f(x)$ ist. Zu untersuchen ist also, für welche x aus dem Intervall $(0,1)$ [mm] $f(x)\ge [/mm] 0$ gilt.
Mit der von dir genannten Argumentation kann man zeigen, dass f auch im um Null und Eins erweiterten Intervall $[0,1]$ monoton wachsend ist. Wenn also $f$ irgendwo in dem Intervall [mm] $\ge0$ [/mm] ist, dann auch "rechts" davon. Es genügt nun, f in den Randpunkten 0 bzw. 1 zu betrachten, um festzustellen, ob f im ganzen Intervall, nirgendwo im Intervall oder genau in einem "linken" Teilintervall [mm] $\ge0$ [/mm] ist.
(Mit der gleichen Methode könnte man übrigens auch gleich die Gültigkeit der Ungleichung für alle [mm] $x\in\IR$, [/mm] nicht nur für [mm] $x\in(0,1)$ [/mm] prüfen.)
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:04 Di 23.02.2010 | | Autor: | Natascha0 |
vielen dank.
Verstanden. 
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