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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:27 Mi 07.11.2007 | | Autor: | Salomon |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi, ich habe hier eine Lösung zu der Aufgabe:
Zeigen Sie für a, b [mm] \in [/mm] K:
Wenn b > a > 0 gilt, dann gilt 1/a > 1/b > 0 und b/a > 1.
Meine Lösung (ich verwende die Sätze und Def. aus der Vorlesung):
Zu zeigen/ Behauptung: Wenn b > a > 0 gilt, dann gilt 1/a > 1/b > 0 und b/a > 1.
Beweis:
Nach Def. der Transitivität gilt:
Wenn b > a > 0, dann gilt a > 0 und b > 0.
Nach Satz 1.4e gilt: Wenn a > 0, dann gilt 1/a > 0
Wenn b > 0, dann gilt 1/b > 0.
Nach Def. des inversen Elementes der Multiplikation gilt:
a* a^-1 = 1, b* b^-1 = 1
mit 1 > 0 nach Satz 1.4d und wegen der Transitivität gilt dann auch a* a^-1 > 0 mit a > 0 und 1/a > 0 (Satz 1.4e) und b* b^-1 > 0 mit b > 0 und 1/b > 0 (Satz 1.4e).
b > a > 0 [mm] \Rightarrow [/mm] (02, 1.4e) b* a^-1 > a* a^-1 > 0 [mm] \Rightarrow [/mm] (02,1.4e) b * a^-1 * b^-1 > a* a^-1 * b^-1 > 0 [mm] \Rightarrow [/mm] (Def. des invers. Elem. der Multipl.) 1* a^-1 > 1* b^-1 > 0 [mm] \Rightarrow [/mm] (Def. des neutr. Elem. der Multipl.) 1/a > 1/b > 0 [mm] \Delta
[/mm]
1/a > 1/b > 0 [mm] \Rightarrow [/mm] (02) 1/a *b > 1/b *b > 0 [mm] \Rightarrow [/mm] (Def. des invers. Elem. der Multipl., 1.4d) b/a > 1 > 0 [mm] \circ
[/mm]
Wegen [mm] \Delta [/mm] und [mm] \circ [/mm] folgt: Behauptung ist wahr.
[mm] \Box
[/mm]
So!
Was ist alles falsch? Was ist alles zu viel?
Wie ginge es einfacher?
Ist es formal eine Katastrophe oder nur eine mittelschwere Zerstörung?
Gruß Salomon
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> Hi, ich habe hier eine Lösung zu der Aufgabe:
> Zeigen Sie für a, b [mm]\in[/mm] K:
> Wenn b > a > 0 gilt, dann gilt 1/a > 1/b > 0 und b/a > 1.
>
> Meine Lösung (ich verwende die Sätze und Def. aus der
> Vorlesung):
> Zu zeigen/ Behauptung: Wenn b > a > 0 gilt, dann gilt 1/a
> > 1/b > 0 und b/a > 1.
> Beweis:
> Nach Def. der Transitivität gilt:
> Wenn b > a > 0, dann gilt a > 0 und b > 0.
> Nach Satz 1.4e gilt: Wenn a > 0, dann gilt 1/a > 0
> Wenn b > 0, dann gilt 1/b
> > 0.
> Nach Def. des inversen Elementes der Multiplikation gilt:
> a* a^-1 = 1, b* b^-1
> = 1
> mit 1 > 0 nach Satz 1.4d und wegen der Transitivität gilt
> dann auch a* a^-1 > 0 mit a > 0 und 1/a > 0 (Satz 1.4e) und
> b* b^-1 > 0 mit b > 0 und 1/b > 0 (Satz 1.4e).
>
> b > a > 0 [mm]\Rightarrow[/mm] (02, 1.4e) b* a^-1 > a* a^-1 > 0
> [mm]\Rightarrow[/mm] (02,1.4e) b * a^-1 * b^-1 > a* a^-1 * b^-1 > 0
> [mm]\Rightarrow[/mm] (Def. des invers. Elem. der Multipl.) 1* a^-1 >
> 1* b^-1 > 0 [mm]\Rightarrow[/mm] (Def. des neutr. Elem. der
> Multipl.) 1/a > 1/b > 0 [mm]\Delta[/mm]
> 1/a > 1/b > 0 [mm]\Rightarrow[/mm] (02) 1/a *b > 1/b *b > 0
> [mm]\Rightarrow[/mm] (Def. des invers. Elem. der Multipl., 1.4d) b/a
> > 1 > 0 [mm]\circ[/mm]
> Wegen [mm]\Delta[/mm] und [mm]\circ[/mm] folgt: Behauptung ist wahr.
>
> [mm]\Box[/mm]
>
> So!
> Was ist alles falsch? Was ist alles zu viel?
> Wie ginge es einfacher?
> Ist es formal eine Katastrophe oder nur eine mittelschwere
> Zerstörung?
Hallo,
ich finde, daß Du es recht nett gemacht hast.
Man könnte sicher hier und da verschlanken, aber das ist schon in Ordnung so.
Eine Kleinigkeit ist mir aufgefallen :
> b* a^-1 > a* a^-1 > 0
> $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ (02,1.4e) b * a^-1 * b^-1 > a* a^-1 * b^-1 > 0
An dieser Stelle solltest Du das Inverse zu b lieber von vorne heranmultiplizieren.
Dann brauchst Du für den folgenden Schritt weder zu vertauschen, noch eine Vertauschung zu begründen.
> $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ (Def. des invers. Elem. der Multipl.) 1* a^-1 > 1* b^-1 > 0
Ach, und noch eins, aber das ist wirklich Jammern auf gehobenem Niveau: ich würde mich entscheiden, ob ich a^-1 schreibe oder [mm] \bruch{1}{a} [/mm] und das nicht mischen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:24 Mi 07.11.2007 | | Autor: | Salomon |
Du,
ich hab' mir das mit dem 1/a oder a^(-1) schreiben eben auch gedacht, ich sollte mich schon für eines entscheiden!Sieht sonst irgendwie unschön aus...
Danke für den Tipp mit dem voranmultipliz. - ich hatte ein wenig die Übersicht verloren -> dann erspare ich mir echt 'ne Menge Arbeit/Fehler (Ich hatte vergessen das Kommutativgesetz mit anzugeben).
Also nommal,
Danke!
Gruß Salomon
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