Anwendungsaufgabe e-Funktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:28 So 24.02.2008 | | Autor: | bOernY |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktionsschar f mit [mm] f(x) = \bruch{a*e^x}{(1+e^x)^2} [/mm], wobei [mm] x \in \IR [/mm] und [mm] a \not= 0[/mm]
a) Zeigen Sie: Für jedes [mm] a \not= 0[/mm] gilt: [mm] f(x) = f(-x) [/mm] ; [mm] x \in \IR [/mm]
b) Der Graph von f und die x-Achse begrenzen eine beidseitig ins Unendliche reichende Fläche. Zeigen Sie, dass diese Fläche einen endlichen Flächeninhalt hat. |
Also ich weiß schon nicht wieso a überhaupt gelten soll?! Wenn man ne negative Zahl für x einsetzt, dann kann doch nicht das gleiche rauskommen, wenn man etwas negatives einsetzt.
Und b scheint mir einfach nur paradox?!
Wie kann eine unendliche Fläche einen endlichen Flächeninhalt haben?
Ich hab echt keine Ahnung wie ich das machen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:49 So 24.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
das sind sehr gute Fragen, die du stellst. Insbesondere: Warum kann eine "unendliche" Fläche einen endlichen Flächeninhalt besitzen.
Zunächst zur a)
> Gegeben sei die Funktionsschar f mit [mm]f(x) = \bruch{a*e^x}{(1+e^x)^2} [/mm],
> wobei [mm]x \in \IR[/mm] und [mm]a \not= 0[/mm]
>
> a) Zeigen Sie: Für jedes [mm]a \not= 0[/mm] gilt: [mm]f(x) = f(-x)[/mm] ; [mm]x \in \IR[/mm]
>
> b) Der Graph von f und die x-Achse begrenzen eine
> beidseitig ins Unendliche reichende Fläche. Zeigen Sie,
> dass diese Fläche einen endlichen Flächeninhalt hat.
> Also ich weiß schon nicht wieso a überhaupt gelten soll?!
> Wenn man ne negative Zahl für x einsetzt, dann kann doch
> nicht das gleiche rauskommen, wenn man etwas negatives
> einsetzt.
Erst ein heranführendes Beispiel: [mm] g(x)=x^2. [/mm] Da weist du auch, dass g(x)=g(-x) gilt. D.h. der Graph ist y-Achsen-Symmetrisch. Solche Funktionen gibt es, und davon doch relativ viele. Ich glaube dein Problem ist folgendes: Du denkst nicht daran, dass beide Werte, die du einsetzt betragsmäßig gleich groß sind. D.h. du setzt einmal eine positive Zahl x ein, und danach nimmst du die selbe Zahl, und setzt ein - davor. Als Beispiel: [mm] g(x)=x^2. [/mm] x=5 => g(5)=25. Ebenso glit: [mm] g(-5)=(-5)^2=25 [/mm] Nun, das ist ja jetzt nur ein Beispiel. Das musst du allgemein zeigen, dass g(x)=g(-x) gilt.
Hier ein Tip: Es ist meist am leichtesten, mit der Seite anzufangen, wo das -x steht. Ich führ dir das Konzept mal an dem einfachen Beispiel vor:
[mm] g(-x)=(-x)^2=(-1)^2(x)^2=x^2=g(x) [/mm] q.e.d.
Genauso musst du mit deiner Funktion oben vorgehen, und zeigen, dass f(-x)=f(x) gilt, also dein Graph zur y-Achse symmetrisch ist.
Ist dir die Aufgabe nun klarer?
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> Und b scheint mir einfach nur paradox?!
> Wie kann eine unendliche Fläche einen endlichen
> Flächeninhalt haben?
Nun. Hier musst du dich einfach auf die Mathematik verlassen. Guck dir z.B. [mm] $h(x):=\ln(x)$ [/mm] an, und die Fläche, die es mit der x-Achse zwischen 0 und 1 einschließt. Hier ein Bild:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hier siehst du auch eine Fläche, die, wenn du dich der 0 näherst, ins unendliche "abhaut". Wenn du den Flächeninhalt aber berechnest, wirst du feststellen, dass dieser den Wert 1 hat, also hat diese unendliche Fläche einen endlichen Flächeninhalt. Das liegt mit daran, wie schnell der Graph gegen irgendeine Asympotet geht. Aber die Rechnung ergibt sowas immer.
Damit du das berechnen kannst, musst du das Integral von a nach b lösen. Also im Wesentlichen die Stammfunktion finden. Dann setzt du die allgemeinen Grenzen a und b ein, und lässt dann b nach unendlich, und a nach [mm] -\infty [/mm] gehen. Dann wirst du sehen, dass die beiden Limites existieren, und du somit einen endlichen Flächeninhalt hsat. Versuch es einmal auszurechnen =)
Ich hoffe, ich konnte dir ein wenig helfen. Falls du noch weitere Fragen hast, insbesondere zur Rechnung, stell sie einfach.
LG
Kroni
> Ich hab echt keine Ahnung wie ich das machen soll.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 So 24.02.2008 | | Autor: | bOernY |
zu a)
Also würde das dann so aussehen, wenn ich mich nicht irre:
$ f(x) = [mm] \bruch{a\cdot{}e^x}{(1+e^x)^2} [/mm] $
und
$ f(-x) = [mm] \bruch{a\cdot{}e^{-x}}{(1+e^{-x})^2} [/mm] $
Aber inwiefern ist das denn jetzt bitte das gleiche?
zu b)
Wenn ich dich richtig verstanden habe soll ich da so ansetzen:
$ [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] $ und nach dem bilden der Stammfunktion a gegen $ [mm] -\infty [/mm] $ und b gegen $ [mm] +\infty [/mm] $ laufen lasse und folglich zu einem Ergebnis kommen sollte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:08 So 24.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
Loddar hat weiter unten einen Tipp gegeben, wie man deine untere Funktion weiter umschreiben kann, so dass f(x) dort steht.
Die b) ist richtig. Da kannst du dann getrennt die Terme mit a gegen [mm] -\infty [/mm] laufen lasssen und die Ternme mit b gegen [mm] \infty, [/mm] weil die Funktion stetig ist.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 So 24.02.2008 | | Autor: | bOernY |
Hat vielleicht noch wer einen Tipp wie man die Stammfunktion von $ f(x) = [mm] \bruch{a\cdot{}e^x}{(1+e^x)^2} [/mm] $ bildet?
Ich müsste ja eigentlich irgendwie die Quotientenregel rückwärtsrechnen, aber das scheint wohl nicht ganz einfach zu sein...
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Hallo!
Verwende die Substitution um das folgende Integral zu berechnen.
Es ist: [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{a*e^{x}}{(1+e^{x})²} dx}
[/mm]
[mm] z=1+e^{x} \gdw \bruch{dz}{dx}=e^{x} \gdw dx=\bruch{dz}{e^{x}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \integral_{a}^{b}{\bruch{a*e^{x}}{z²} \bruch{dz}{e^{x}}} [/mm]
Hiermit solltest du zum ziel kommen.
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:54 So 24.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Boerny!
Ermittle durch Einsetzen $f(-x)_$ und multipliziere den Nenner aus. Anschließend den Bruch mit [mm] $e^{2x}$ [/mm] erweitern.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 So 24.02.2008 | | Autor: | bOernY |
Was würde mir das denn bringen?
Wenn ich mich nicht vertan habe dann ist $ f(-x) = [mm] \bruch{a *e^{-x}}{1 + 2x^{-x} + e^{-2x}} [/mm] $
Erweitert mit $ [mm] e^{2x} [/mm] $ also $ [mm] \bruch{a *e^{-x} * e^{2x}}{1 + 2x^{-x} + e^{-2x}} [/mm] $
Entweder ich bin echt zu blöd oder blind...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:13 So 24.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
> Was würde mir das denn bringen?
>
> Wenn ich mich nicht vertan habe dann ist [mm]f(-x) = \bruch{a *e^{-x}}{1 + 2x^{-x} + e^{-2x}}[/mm]
Es müsste [mm] 2e^{-x} [/mm] heißen, nicht [mm] x^x. [/mm] Aber ansonstne ist es korrekt.
>
> Erweitert mit [mm]e^{2x}[/mm] also [mm]\bruch{a *e^{-x} * e^{2x}}{1 + 2x^{-x} + e^{-2x}}[/mm]
>
> Entweder ich bin echt zu blöd oder blind...
Dann musst du aber auch im Nenner die [mm] e^{2x} [/mm] hinschreiben. Sonst hast du ja nicht erweitert. D.h. schreib die [mm] e^{2x} [/mm] auch noch mit in den Nenner. Dann musst du noch wissen, dass [mm] e^x*e^y=e^{x+y} [/mm] gilt, und dann kannst du weiterrechnen.
Ich empfehle dir, den Nenner von f(x) auch nochmal auszumultiplizierne, denn dann siehst du direkt die Gleichheit nach dem Erweitern mit [mm] e^{2x}.
[/mm]
LG
Kroni
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