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Forum "Exp- und Log-Funktionen" - Anwendungsaufgaben
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Anwendungsaufgaben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:58 So 12.03.2006
Autor: Anna_M

Aufgabe
Eine Nährlösung enthält zu Beginn der Beobachtung 50000 Colibakterien. Täglich vermehrt sie sich um 15 %.
a) Wie lautet die zugehörige Wachstumsfunktion, wenn von einer exponentionellen Vermehrung ausgegangen wird?
b) Nach welcher Zeit hat sich die Bakterienzahl jeweils verdoppelt?
c) Wann übersteigt die Bakterienzahl den Wert 1000000 ?

Ich habe mich erst einmal nur mit dem ersten Teil der Aufgabe beschäftigt und hatte da bereits einige Probleme...
Zunächst hatte ich es mit der Funktion:
f(x)= [mm] c*a^{x} [/mm]
versucht, was nicht geklappt hat...Außerdem íst in der Aufgabe offenbar bereits vorgegeben, dass die Funktion f(t)= [mm] e^{k*t + b} [/mm] gemeint ist...oder?

Meine Lösungsansätze befinden sich im Anhang.
Ich hoffe, ihr könnt mir meine Fehler nennen.
Dankeschön im voraus. :)

Hier sind außerdem schon mal die angegebenen Lösungen:

a) f(t)= [mm] 50000*e^{t*ln(1,15)} [/mm] = [mm] 50000*e^{0,13976*t} [/mm] (t in Tagen)


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Anwendungsaufgaben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:33 Mo 13.03.2006
Autor: Nachtwaechter

Hallo liebe Anna,

Deine Aufgabe ist der die ich neulich schon für jemand anderen beantwortet habe nicht unähnlich, sie steht unter:

hier im Forum
lediglich handelt es sich bei Dir um eine Vermehrung, nicht um Zerfall.

Setzen wir doch mal an:

[mm] $N(t)=N(t=0)*1,15^{\frac{t}{1d}}$ [/mm] mit 1d=1 Tag

Wenn man nun die Gleichung unbedingt mit einer Potenz von $e$ haben will kann man ja wieder den (ebenfalls unter dem Link beschriebenen) Basiswechsel durchführen, so dass man erhällt:

[mm] $N(t)=N(t=0)\*e^{ln(1,15)\*\frac{t}{1d}}$ [/mm]

Ich glaube Du bist auf das selbe Ergebnis gekommen, toll!

Nun zu den weiteren Aufgaben:

man muss nun eigentlich nur noch mit der gefundenen Gleichung rechnen.

b) [mm] $2N(t=0)=N(t=0)\*e^{ln(1,15)\*\frac{t}{1d}}$|$:N(t=0)$ [/mm]

[mm] $2=e^{ln(1,15)\*\frac{t}{1d}}$ [/mm] |$ln(.)$

[mm] $ln(2)=ln(1,15)\*\frac{t}{1d}$ |$:ln(1,15)\*1d$ [/mm]

[mm] $t=\frac{ln(2)}{ln(1,15)}d$ [/mm]


Aufgabe c) ist fast geschenkt, hier muss man für $N(t)$ die gewünschten [mm] 10^6 [/mm] einsetzen, wieder nach t auflösen und fertig... noch billiger geht es natürlich, wenn man im Ergebnis für b) statt $ln(2)$ [mm] $ln(\frac{10^6}{5\*10^4})$ [/mm] einsetzt und man ist fertig.

So noch viel Spaß mit den Aufgaben (Du warst ja so viel ich gelesen habe dieses Wochenende unheimlich fleißig! Mein Lob!)


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Bezug
Anwendungsaufgaben: Weg zu deiner Funktion
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:31 Mo 13.03.2006
Autor: Anna_M

Die Wachstumsfunktion, die du aufgestellt hast, ist zwar völlig logisch, jedoch ist mir aus deiner Ausführun leider nicht ersichtlich geworden, wie du auf diese Funktion kommst...

Ich habe es bei meiner Rechnung im zweiten Teil mit der erwähnten e-Funktion versucht, was mir allerdings überhaupt nicht gelungen ist und normalerweise haben wir das, wenn ich das richtig verstanden habe, immer so berechnet, wie ich es gemacht habe...

Weißt du vielleicht, was ich falsch gemacht habe?

Schöne Grüße,
Anna.

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Anwendungsaufgaben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:39 Mo 13.03.2006
Autor: Nachtwaechter

Hallo liebe Anna,

ich glaube Du hast gar nichts falsch gemacht, schließlich bist Du ja auf die selbe Formel gekommen oder?

Wie ich darauf gekommen bin:

Aus der Aufgabenstellung ist ersichtlich dass die Zahl jeden Tag um 15% wächst, einen Tag später ist sie also 115% der Anzahl vom Vortag. Das habe ich einfach als Formel hingeschrieben. Anschließend habe ich die Basis 1,15 noch durch e ersetzt (haargenau wie auch in einer weiteren Antwort von mir unter dem angegebenen link, da steht es ganz ausführlich.

Die weiteren Aufgaben stehen ja Schritt für Schritt da, wenn Du noch fragen dazu hast dann frag ruhig, aber bitte frage dann ganz konkret welcher schritt unklar ist.

Ich hoffe dass ich es Dir jetzt ein wenig verständlicher gemacht habe!

Viel Erfolg und Spaß weiterhin mit den e-Funktionen!



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Anwendungsaufgaben: Kurze Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:56 Mo 13.03.2006
Autor: Anna_M

Ist die von dir aufgestellte Funktion eigentlich identisch mit der eigentlichen Lösung?
Ich will damit deine fachlichen Kompetenzen nicht in Frage stellen, nur wenn ich mir die beiden Funktionen anschaue, bin ich mir etwas unsicher...
Nya, deine Lösung verstehe ich immerhin...bis auf das mit hoch t / 1d...

Deine Funktion:
[mm] $N(t)=N(t=0)\*e^{ln(1,15)\*\frac{t}{1d}}$ [/mm]
N(0)= 50000

Lösung aus dem Buch:
f(t)= [mm] 50000*e^{t*ln(1,15)} [/mm] = [mm] 50000*e^{0,13976*t} [/mm] (t in Tagen)


Bezug
                                        
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Anwendungsaufgaben: t/d
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:39 Mo 13.03.2006
Autor: Nachtwaechter

Liebe Anna, das Rätsel mit t/d lässt sich leicht aufklären:

Der Zuwachs, zerfall ist ja immer in abhänigkeit einer Zeitperiode angegeben so nach dem Motto:
"Nach 5 Tagen sind nur noch die hälfte da..."

Deshalb teile ich die vergangene Zeit noch durch die 5 Tage. Bsp: möchte man wissen, wieviel noch nach 5 Tagen da sind, setzt also für t=5 ein:

[mm] $N(5d)=N(t=0)\*0,5^{\frac{5d}{5d}}=N(t=0)\*0,5^1=N(t=0)*0,5$ [/mm]

also genau das was es sein soll...

So, jetzt aber ab ins Bett!

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Anwendungsaufgaben: Andere Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:36 Mo 13.03.2006
Autor: Anna_M

Aufgabe
Durch radioaktives Jod 131 belastete Pilze haben die Aktivität 5000 Becquerel (Bq), d.h. es finden pro Sekunde 5000 Kernzerfälle statt. Die Aktivität nimmt innerhalb von 3 Tagen jeweils um 23 % ab.
a) Bestimmen sie die Funktion f, welche die Aktivität der Pilze beschreibt.
b) Um wie viel Prozent nimmt die Aktivität innerhalb 1 Tag bzw. von 30 Tagen ab?
c) Wann unterschreitet die Aktivität den Wert 100 Bq?
d) Wie viele Kernzerfälle finden innerhalb der ersten Stunde statt? Wie viele am 1. Tag?

Versuch Nr. 2:  XD

So erst einmal meine (wahrcheinlich kläglichen) Versuche die Zerfallsfunktion aufzustellen (siehe Anhang)....

Ich habe zwei verschiedene Ansätze (gekennzeichnet mit 1. und 2.), ich glaube jedoch, dass man anhand der in der Aufgabe genannten Informationen diese Ansätze in der Zerfallsfunktion (irgendwie) vereinen muss...(Das habe ich bei Ansatz 3. und 4. versucht...)

Vielleicht kann mir ja jemand helfen...Ich komme ohne die Aufstellung der Funktion ja sonst bei den Aufgaben nicht weiter...

Das Lernen fällt schwer mit starker Erkältung...Nya, ich sollte mich nicht zu sehr beklagen, sondern lernen... *heul*

Vielen Dank für eure Unterstützung =´) ...Ich kämpfe mich durch...

Bezug
                
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Anwendungsaufgaben: Anhang
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:47 Mo 13.03.2006
Autor: Anna_M

Hier kommt nachträglich der Anhang

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Bezug
Anwendungsaufgaben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:29 Mo 13.03.2006
Autor: Nachtwaechter

Liebe Anna,

tut mir leid dass es Dir so schecht geht.

Wie Du richtig erkannt hast ist die Methode zum Aufstellen der Gleichungen sehr wichtig.

Wenn ich solch eine Gleichung aufstellen soll frage ich mich (unabhängig dass ich das Zerfallsgesetz kenne) als erstes:

Was passiert?
in diesem Falle werden die radioaktiven Atome und somit auch die Aktivität, Strahlung, ... mit der Zeit  weniger.

Die Gleichung muss also eine Form

[mm] $N(t)=N(t=0)*k^t$ [/mm] mit k<1 haben.

Dann schaue ich mir die Angaben an:

Was ist k, was ist t?

In der Angabe steht, dass es inerhalb von 3 Tagen 23% weniger, also nur noch 67% der strahlenden Atome da sind.
Warum also nicht 23% sondern 67%? Die Frage ist bei diesem Aufgabentyp immer, wieviel zum Zeitpunkt t noch da ist.

Dann setzte ich mein gefundenes k und t in die Gleichung ein:

[mm] $N(t)=N(t=0)\*0,23^{\frac{t}{3d}}$ [/mm]

Eigentlich wäre ich jetzt mit dem Aufstellen der Gleichung fertig, diese Gleichung beschreibt bereits wunderbar den Vorgang:
Die Anzahl nach der Zeit t ist so viel wie es vorher war mal 0,23 pro 3 Tage.  

Wenn man möchte kann man die Gleichung noch umformen zu einer Exponentialfunktion (eigentlich ist es schon eine, sie sieht nur anders aus!)

um die 0,23 durch e zu ersetzen muss man ein paar mathematische Kunstgriffe machen:


Die Rechenregeln für Logarithmen liefern die Bedingung:

[mm] $x=e^{ln(x)}$ [/mm] und mit [mm] $ln(x^n)=n*ln(x)$ $x^n=e^{n*ln(x)}$ [/mm]

Dies wende ich auf die gefundene Gleichung an, so wird daraus:

[mm] $N(t)=N(t=0)\*e^{\frac{t}{3d}\*ln(0,23)}$ [/mm]

Das ist aber wie geschrieben eigentlich gar nicht mehr notwendig, denn alle Aufgaben lassen sich bereits mit obiger Form lösen.

die unter a) gesuchte Funktion f heißt also: [mm] $f(t)=5000Bq\*e^{\frac{t}{3d}\*ln(0,23)}$ [/mm] oder auch [mm] $f(t)=5000Bq\*0,23^{\frac{t}{3d}}$ [/mm]

Jetzt noch ein persönlicher Rat:

Wenn es Dir so schlecht geht dass Du Dich gar nicht mehr richtig konzentieren kannst dann mach schluss für Heute, dann bringt das nicht mehr viel!
Und krank eine Schulaufgabe zu schreiben würde ich Dir ohnehin nicht empfehlen! Ruhe Dich aus, werde schnell wieder gesund und lerne wenn es effektiv ist!

In diesem Sinne gute Besserung!

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Bezug
Anwendungsaufgaben: Danke !
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:44 Mo 13.03.2006
Autor: Anna_M


Vielen vielen Dank! 8)

Hätte mir das mal jemand so in der Grundschule erklärt, hätte ich vielleicht heute keine Schwierigkeiten mit Textaufgaben... (Ich habe schon seit der 1. Klasse Probleme mit Textaufgaben).

Wirklich tolle Erklärung! Ich werde sie mir gleich noch genauer anschauen und dann deinen Rat befolgend langsam das Lernen für heute abschließen, denn ich habe momentan das Gefühl fast nichts mehr zu wissen und das passiert, wie die meisten es kennen, durch zu viel Lernen...


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