Anzahl Elemente GL2 (Zp) < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:04 So 09.01.2011 | | Autor: | rubi |
| Aufgabe | | Bestimme die Anzahl der Elemente von GL2 (Zp), wobei p eine Primzahl ist. |
Hallo zusammen,
die Menge GL2 (Zp) gibt ja die Menge der invertierbaren 2x2 Matrizen aus Restklassen mod p an, wenn ich das richtig verstanden habe.
Speziell für p = 2 heißt das, dass die Anzahl aller 2x2-Matrizen mit Einträgen 0 und 1 gesucht sind, die invertierbar sind. Hier komme ich auf 6 Matrizen.
Für p = 3 (mit 2x2-Matrizen und den Einträgen 0, 1 und 2) komme ich auf 48 Matrizen.
Hat jemand eine Idee, wie man für ein allgemeines p eine entsprechende Formel finden kann ?
Ich habe auf anderen Internetseiten eine Formel (p+1)*(p-1)*2p gefunden, allerdings stimmt diese für p = 2 bei mir nicht (da kommt 12 heraus und nicht 6), für p = 3 käme tatsächlich 48 heraus. Kann mir jemand sagen, ob diese Formel so stimmt ?
Ich habe mir desweiteren überlegt, dass für die erste Spalte der 2x2-Matrix [mm] \pmat{ a & b \\ c & d }
[/mm]
p*p-1 verschiedene Vektoren möglich sind (für a und c habe ich jeweils p verschiedene Zahlen zur Auswahl, nur der Nullvektor geht nicht - deshalb -1). Für die zweite Spalte darf ich ja auch den Nullvektor nicht wählen und außerdem auch keine Vielfachen des ersten Spaltenvektors. Wie viele Vektoren bleiben dann für die 2.Spalte übrig ?
Vielen Dank im voraus für eure Hinweise !
Viele Grüße
Rubi
Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum gestellt.
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Probier das doch über die Determinante:
det(A)=ad-bc
Für a,d hast du jeweils p mögliche Werte. Für b und c hast du auch p mögliche Einträge MINUS den Fall det(A)=0 und MINUS den Fall einer der Beiden Spaltenvektoren ist NULL.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 So 09.01.2011 | | Autor: | rubi |
Hallo wieschoo,
der Fall det(A) = 0, also a*d=b*c und damit [mm] \bruch{a}{b}=\bruch{c}{d} [/mm] ist doch gleichbedeutend mit der Überlegung, dass der erste Spaltenvektor der Matrix ein Vielfaches zum zweiten Spaltenvektor ist.
Ich sehe hier noch keine Vereinfachung, wie ich auf die Formel kommen könnte.
Außerdem ist mir nicht klar, warum ich den Fall dass einer der Spaltenvektoren NULL ist nochmals extra abziehen muss. In diesem Fall ist doch det(A) auch schon NULL, oder ?
Ist denn die Formel aus meiner Frage so richtig und ich habe mich im Falle p = 2 mit den 6 Matrizen vertan oder ist die Formel falsch ?
Viele Grüße
Rubi
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Deine Betrachtung für den ersten Vektor ist schon falsch angesetzt. Für diesen gibt es [mm]p^2-1[/mm] und nicht p(p-1) Möglichkeiten. Du hast für a genau p Möglichkeiten und für b auch p Möglichkeiten macht [mm] $p^2$. [/mm] Dann ziehst du erst den Nullvektor ab. Den Fehler hatte ich auch gemacht.
Für den zweiten Spaltenvektor gibt es auch wieder [mm]p^2[/mm] Möglichkeiten MINUS die p Möglichkeiten, linear abhängig vom ersten Spaltenvektor sind. Du kannst den zweiten Spaltenvektor mit q multiplizieren mit [mm] $q\in\{0,1,2,\ldots,p-1\}$
[/mm]
Die Formel muss [mm](p^2-1)(p^2-p)[/mm] lauten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 Mo 10.01.2011 | | Autor: | rubi |
Hallo wieschoo,
danke für deine Hinweise.
Wo aber habe ich geschrieben, dass es für den ersten Vektor p(p-1) Möglichkeiten gibt ?
In meiner ersten Frage hatte ich geschrieben, dass es für den ersten Spaltenvektor p*p-1 (ohne Klammer) Möglichkeiten gibt und das entspricht doch [mm] p^2-1. [/mm] Hier sind wir also gar nicht auseinander gewesen 
Ist es so, dass es p Möglichkeiten für einen linear abhängigen 2.Spaltenvektor gibt, weil ich den 1.Spaltenvektor mit einer beliebigen Zahl q multiplizieren kann, so dass die Vektoren linear abhängig werden - wobei aber dann 0 <= q <= p-1 gelten sollte und nicht 0 <=q < =p, oder ?
Viele Grüße
Rubi
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> Hallo wieschoo,
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> danke für deine Hinweise.
> Wo aber habe ich geschrieben, dass es für den ersten
> Vektor p(p-1) Möglichkeiten gibt ?
> In meiner ersten Frage hatte ich geschrieben, dass es für
> den ersten Spaltenvektor p*p-1 (ohne Klammer)
Sorry. Hatte ich falsch gelesen. Meine Schuld.
> Möglichkeiten gibt und das entspricht doch [mm]p^2-1.[/mm] Hier
> sind wir also gar nicht auseinander gewesen
Wir einigen uns schon irgendwie.
>
> Ist es so, dass es p Möglichkeiten für einen linear
> abhängigen 2.Spaltenvektor gibt, weil ich den
> 1.Spaltenvektor mit einer beliebigen Zahl q multiplizieren
> kann, so dass die Vektoren linear abhängig werden - wobei
> aber dann 0 <= q <= p-1 gelten sollte und nicht 0 <=q <
Ja. Wenn du den ersten Spaltenvektor mit dem q multiplizierst (es gilt 0<=q<=p-1) dann sind diese linear abhängig.
> =p, oder ?
Mir ging da ne Erleuchtung auf, deshalb habe ich getippt und danach erst gedacht. Das stimmt natürlich, da p=0 mod p.
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> Viele Grüße
> Rubi
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