Anzahl Elemente einer Menge < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:53 Di 30.01.2018 | | Autor: | Noya |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Anzahl der Elemente der Menge
[mm] M=\{(a,b,c,d)\in \IN^4 | a+b+c+d=100 , mit a\le10, b \le 20 \} [/mm] |
Hallo ihr Lieben
man müsste M doch so zerlegen können. Zu bestimmen ist ja |M|:
[mm] M=\{(a,b,c,d)\in \IN^4 | a+b+c+d=100 , a\le10, b \le 20 \}=
[/mm]
[mm] \{a+b+c+d=100\} \cap\{a\le10 \} \cap \{b \le 20\} =M_1 \cap M_2 \cap M_3
[/mm]
[mm] |M_1|=?
[/mm]
[mm] |M_2|=10
[/mm]
[mm] |M_3|=20 [/mm] oder?
wir haben in dem Skirpt folgenden Satz :
Seien n,k [mm] \in \IN [/mm] mit k [mm] \le [/mm] n.
Die Gleichung [mm] x_1+...+x_k=n [/mm] besitzt genau [mm] \vektor{n-1\\ k-1} [/mm] Lösungen in [mm] \IN.
[/mm]
Kann man das hier verwenden? falls ja n=100, k=4 [mm] (x_1=a [/mm] , [mm] x_2=b [/mm] etc.)
[mm] |M_1|=\vektor{n-1\\ k-1} [/mm] = [mm] \vektor{100-1\\ 4-1}=\vektor{99\\ 3} =\bruch{99!}{3!*(99-3)!}=156849
[/mm]
[mm] |M|=|M_1|-|M_2|-|M_3|= [/mm] 156819
Ginge das so?
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Hiho,
> man müsste M doch so zerlegen können. Zu bestimmen ist ja
> |M|:
>
>
> [mm]M=\{(a,b,c,d)\in \IN^4 | a+b+c+d=100 , a\le10, b \le 20 \}=[/mm]
>
> [mm]\{a+b+c+d=100\} \cap\{a\le10 \} \cap \{b \le 20\} =M_1 \cap M_2 \cap M_3[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]|M_2|=10[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> [mm]|M_3|=20[/mm] oder?
Das wäre korrekt, wenn [mm] M_2 [/mm] eine Teilmenge von [mm] $\IN$ [/mm] wäre.
In deinem Fall ist die betrachtete Menge aber eine Teilmenge von [mm] $\IN^4$ [/mm] und damit wäre [mm] $|M_2| [/mm] = [mm] \left|\{(a,b,c,d) \in \IN^4 | a \le 10\}\right| [/mm] = [mm] +\infty$
[/mm]
> wir haben in dem Skirpt folgenden Satz :
> Seien n,k [mm]\in \IN[/mm] mit k [mm]\le[/mm] n.
> Die Gleichung [mm]x_1+...+x_k=n[/mm] besitzt genau [mm]\vektor{n-1\\ k-1}[/mm]
> Lösungen in [mm]\IN.[/mm]
Das klingt doch schon mal gut.
> Kann man das hier verwenden? falls ja n=100, k=4 [mm](x_1=a[/mm] ,
> [mm]x_2=b[/mm] etc.)
> [mm]|M_1|=\vektor{n-1\\ k-1}[/mm] = [mm]\vektor{100-1\\ 4-1}=\vektor{99\\ 3} =\bruch{99!}{3!*(99-3)!}=156849[/mm]
>
> [mm]|M|=|M_1|-|M_2|-|M_3|=[/mm] 156819
>
> Ginge das so?
Ja, wenn a und b nicht eingeschränkt wären!
Also entweder du rechnest da jetzt noch die "zu vielen" Lösungen wieder heraus, oder du machst folgenden Ansatz:
Seien $(a,b)$ fix nach den Vorgaben gewählt, dann gibt es für die Gleichung
$a+b+c+d = 100 [mm] \quad \gdw [/mm] c+d = 100-a-b$ wie viele Lösungen nach deiner Formel?
Welche Möglichkeiten gibt es nun $(a,b)$ zu wählen?
Die Gesamtlösung ist dann also?
Gruß,
Gono
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:28 Di 30.01.2018 | | Autor: | Noya |
> Das wäre korrekt, wenn [mm]M_2[/mm] eine Teilmenge von [mm]\IN[/mm] wäre.
> In deinem Fall ist die betrachtete Menge aber eine
> Teilmenge von [mm]\IN^4[/mm] und damit wäre [mm]|M_2| = \left|\{(a,b,c,d) \in \IN^4 | a \le 10\}\right| = +\infty[/mm]
achja :D b,c,d sind ja trotzdem frei gewählt :D
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>
> > wir haben in dem Skirpt folgenden Satz :
> > Seien n,k [mm]\in \IN[/mm] mit k [mm]\le[/mm] n.
> > Die Gleichung [mm]x_1+...+x_k=n[/mm] besitzt genau [mm]\vektor{n-1\\ k-1}[/mm]
> > Lösungen in [mm]\IN.[/mm]
> Das klingt doch schon mal gut.
> Ja, wenn a und b nicht eingeschränkt wären!
> Also entweder du rechnest da jetzt noch die "zu vielen"
> Lösungen wieder heraus, oder du machst folgenden Ansatz:
>
> Seien [mm](a,b)[/mm] fix nach den Vorgaben gewählt, dann gibt es
> für die Gleichung
> [mm]a+b+c+d = 100 \quad \gdw c+d = 100-a-b[/mm] wie viele Lösungen
> nach deiner Formel?
(100-a-b)! Lösungen (k=2, n=100-a-b)
>
> Welche Möglichkeiten gibt es nun [mm](a,b)[/mm] zu wählen?
a kann werte von 1-10 annhemen und b von 1-20.
10*20 Kombinationen also 200. oder nicht?
(1,1),(1,2),...,(10,19),(10,20)
den Schritt dann zur gesamtlösung habe ich noch nicht...
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Hiho,
> (100-a-b)! Lösungen (k=2, n=100-a-b)
$(100-a-b-1)! = (99 - a - b)!$
> >
> > Welche Möglichkeiten gibt es nun [mm](a,b)[/mm] zu wählen?
> a kann werte von 1-10 annhemen und b von 1-20.
> 10*20 Kombinationen also 200. oder nicht?
> (1,1),(1,2),...,(10,19),(10,20)
Ja, ich hatte auch erst "wie viel" geschrieben, dann aber "welche Möglichkeiten", weil es eben für verschiedene Tupel auch verschiedene Anzahl an Möglichkeiten gibt, die es alle zusammenzurechnen gilt.
Also zusammengefasst: [mm] $\sum_{a=1}^{10} \sum_{b=1}^{20} [/mm] (99 - a - b)!$
ich sehe aber auch noch keine schöne Möglichkeit da was zusammenzufassen, daher lass ich es mal auf "teilweise beantwortet"
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Do 01.02.2018 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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