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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:39 So 06.01.2008 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | | Wir haben die Buchstaben A,A,A,B,B,C,C,D zu Verfügung. Wie viele verschiedene Worte, die keinen Sinn ergeben müssen, lassen sich aus den Buchstaben bilden, wenn jeder Buchstabe benutzt werden muss. |
Hi,
an dieser Aufgabe hänge ich momentan fest. Die Lösung soll
[mm] \vektor{8 \\ 3}*\vektor{5 \\ 2}*\vektor{3 \\ 2}*1 [/mm] sein.
Aber ich verstehe es nicht. ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Ich dachte erst, es sei [mm] 8!(=8\cdot{}7*6*5*4*3*2*1). [/mm] Dann ist mir aber aufgefallen, dass ich mit 8! viele Worte mehrfach habe.
Kann mir vielleicht jemand erklären, wie man auf die Lösung kommt?
MfG barsch
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo
also du hast AAABBCCD wie mir war. Warum die Lösung [mm] \vektor{8 \\ 3}\vektor{5 \\ 2}\vektor{3 \\ 2} \vektor{1 \\ 1} [/mm] richtig ist sieht man wiefolgt:
Betrachtet man am Anfang nur die A's und hält aber die Reihenfolge der anderen (also BBCCD) fest. kann man die A's [mm] \vektor{8 \\ 3}-mal [/mm] verschieden anordnen. z.b. ABBACCAD, ABABACCD, BBCCAAAD, etc.. Nun ist aber die Reihenfolge BBCCD auch nur eine von vielen Möglichkeiten. Also betrachte ich nun wie die B's und halte noch die Reihenfolge von CCD fest. Dann merke ich schnell, dass es [mm] \vektor{5 \\ 2} [/mm] Möglichkeiten gibt. Also wenn ich die Reihenfolge der A's und B's frei wählen kann, aber die Reihenfolge CCD noch fest halte, gibt es [mm] \vektor{8 \\ 3}\vektor{5 \\ 2} [/mm] Möglichkeiten. z.B. AAABDBDC, ABABADDC, BBAADDCA, etc. Jedoch ist die Reihenfolge CCD auch nicht fix. Also muss ich die noch betrachten. gleich wie oben bekommt man schliesslich [mm] \vektor{3 \\ 2}. [/mm] und schlussendlich für D noch [mm] \vektor{1 \\ 1}=1.
[/mm]
Also Zusatz ist es vielleicht nicht offensichtlich, wieso dass es z.B. für die A's genau [mm] \vektor{8 \\ 3} [/mm] Möglichkeiten gibt, wenn die anderen fünf Glieder BBCCD fix bleiben.
Stellt man sich nun 8 freie in einer Reihe stehenden Behälter vor, wo man die A's hineintun kann. dann hat man beim ersten A 8 freie Behälter zur Auswahl, beim 2ten 7 und beim 3ten noch 6. Also 8 [mm] \cdot [/mm] 7 [mm] \cdot [/mm] 6 Möglichkeiten. Nun kommt aber hinzu, dass da A's untereinander nicht austausch bar sind, da Sie nicht unterscheidbar sind. also muss man diese noch durch 3 [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] 1 teilen. Denn die Anzahl Kombinationen, wie man sie untereinander tauschen kann sind genau 3 [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] 1. und nun die Rechnung:
[mm] \bruch{8 \cdot 7 \cdot 6}{ 3 \cdot 2 \cdot 1} [/mm] = [mm] \bruch{8!}{3!5!}=\vektor{8 \\ 3}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:19 So 06.01.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
vielen Dank ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") . Jetzt ist mir einiges klarer geworden.
Wenn ich A,A,A,B,B,C,C,D habe, hätte ich auch sagen können:
[mm] \vektor{8 \\ 2}\vektor{6 \\ 2}\vektor{4 \\ 1} \vektor{3 \\ 3},
[/mm]
wenn ich zuerst alle Möglichkeiten für C, dann für B, D und schließlich für A berücksichtigt hätte.
![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
MfG barsch
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