Anzahl, Möglichkeiten < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Fr 06.02.2009 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | a) Auf wie viele Arten kann man 3 Mathebücher,4 Physikbücher und 6 Informatikbücher so in einen Schrank stellen, dass Bücher des gleichen Faches nebeneinander stehen?
b) Eine Klausur besteht aus 12 Multiple-Choice-Aufgaben mit je fünf Lösungen zur Auswahl. Wie viele Möglichkeiten gibt es, den Klausurzettel auszufüllen, wenn zu jeder Frage genau eine Antwort gegeben wird.
c) Ein Professor möchte herausfinden welche 4 seiner insgesamt 12 Mitarbeiter zusammen das kreativste Team darstellen. Wie viele 4-köpfige Teams kommen hierfür in Frage?
d) Wie viele Möglichkeiten gibt es, ein 5-köpfiges Gremium aus Biologen, Chemikern oder Physikern zusammenzustellen, wenn lediglich diese Wissenschaftler als Mitglieder in Frage kommen, aber keine der drei Fachrichtungen notwendig vertreten sein muss? |
Lieber Matheraum,
bezüglich dieser Aufgaben habe ich noch einige Verständnisschwierigkeiten. Zunächst einmal zum Aufgabenteil a).
1.) Durch welche Überlegungen kann ich hier zwischen "mit Zurücklegen" oder "ohne Zurücklegen" und "ohne Reihenfolge" oder "mit Reihenfolge" entscheiden?
Mein Vorschlag:
Als Grundgesamtheit habe ich doch N=3, also 3 verschiedene Arten Fachbücher. n wäre dann wohl spezifisch, also
[mm] n_{Mathe}=3 [/mm]
[mm] n_{Physik}=4 [/mm]
[mm] n_{Informatik}=6
[/mm]
Einerseits dürfen ja beispielsweise die 3 Mathebücher intern in jeder erdenklichen Reihenfolge nebeneinander stehen. Andererseits spielt die Reihenfolge aber doch eine Rolle, da ja nur Bücher des gleichen Faches nebeneinanderstehen dürfen.
2.) Wie entscheide ich mich hier richtig? Warum?
3.) Wie argumentiere ich hier bezüglich des Zurücklegens? Warum?
Über eine kleine Hilfe würde ich mich sehr freuen. Vielen Dank!
Gruß, Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:31 Fr 06.02.2009 | | Autor: | barsch |
Hi Marcel,
zu Aufgabe a):
3 Mathebücher // Mathebuch kürzen wir mit M ab.
4 Physikbücher // Physikbuch kürzen wir mit P ab.
und 6 Informatikbücher // Informatikbuch kürzen wir mit I ab.
Die Mathebücher seien untereinander UNTERSCHEIDBAR; ebenso die Physik- und Informatikbücher.
Dann können wir die Bücher unter den gegebenen Umständen wie folgt einordnen (die Bücher seien im Folgenden jeweils nummeriert (anstelle der verschiedenen Buchtitel) und der Reihe nach angeordnet):
1. Möglichkeit: [mm] \blue{M_1M_2M_3}\red{P_1P_2P_3P_4}\green{I_1I_2I_3I_4I_5I_6}
[/mm]
2. Möglichkeit: [mm] \blue{M_1M_2M_3}\green{I_1I_2I_3I_4I_5I_6}\red{P_1P_2P_3P_4}
[/mm]
3. Möglichkeit: [mm] \green{I_1I_2I_3I_4I_5I_6}\blue{M_1M_2M_3}\red{P_1P_2P_3P_4}
[/mm]
4. Möglichkeit: [mm] \green{I_1I_2I_3I_4I_5I_6}\red{P_1P_2P_3P_4}\blue{M_1M_2M_3}
[/mm]
5. Möglichkeit: [mm] \red{P_1P_2P_3P_4}\green{I_1I_2I_3I_4I_5I_6}\blue{M_1M_2M_3}
[/mm]
6. Möglichkeit: [mm] \red{P_1P_2P_3P_4}\blue{M_1M_2M_3}\green{I_1I_2I_3I_4I_5I_6}
[/mm]
Es gibt also erst einmal 6 Möglichkeiten (wichtig, merken!!!), die Bücher so anzuordnen, dass immer die Bücher eines Faches nebeneinander stehen.
Jetzt kannst du aber die Bücher untereinander rotieren, da die Bücher nach Voraussetzung untereinander UNTERSCHEIDBAR sind.
Auf wie viele Möglichkeiten kannst du die drei Mathebücher [mm] \blue{M_1M_2M_3} [/mm] untereinander anordnen?
Wir können dies doch auf Ziehen mit Beachtung der Reihenfolge ohne Zurücklegen zurückführen. Wir ziehen drei aus drei: [mm] 3!*\vektor{3 \\ 3}=3!*1=6
[/mm]
Auf wie viele Möglichkeiten können wir die 4 Physikbücher [mm] \red{P_1P_2P_3P_4} [/mm] untereinander anordnen?
Auf wie viele Möglichkeiten können wir die 6 Informatikbücher [mm] \green{I_1I_2I_3I_4I_5I_6} [/mm] untereinander anordnen?
Am Ende: 6 [mm] *\blue{6}*\red{\ldots}*\green{\ldots}=...
[/mm]
Zu Aufgabe b):
> 12 Multiple-Choice-Aufgaben mit je fünf Lösungen zur Auswahl.
Möglichkeiten für die 1. Frage: 5
Möglichkeiten für die 2. Frage: 5
...
...
Da du alle Antworten miteinander kombinieren kannst, lautet die Lösung: [mm] 5^{\text{?}} [/mm] - na, für was steht das Fragezeichen?
zu Aufgabe c):
Das kannst du auf den Fall zurückführen: Ziehen von 4 aus 12 Personen ohne Beachtung der Reihenfolge und ohne Zurücklegen.
zu Aufgabe d):
> ein 5-köpfiges Gremium aus Biologen, Chemikern oder Physikern zusammenzustellen, wenn lediglich diese Wissenschaftler als Mitglieder in Frage kommen, aber keine der drei Fachrichtungen notwendig vertreten sein muss?
Naja, Möglichkeiten sind doch:
Es seien B=Biologen, C=Chemiker und P=Physiker.
BBBBB
BBBBC
.....
.....
.....
CCCCC
.....
.....
.....
PPPPP
.....
.....
Kleiner Tipp: Ziehen ohne Beachtung der Reihenfolge und ohne Zurücklegen. Stelle dir vor, die Biologen liegen separat in einer Urne, die Chemiker liegen separat in einer Urne und schließlich haben auch die Physiker eine eigene Urne.
MfG barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Fr 06.02.2009 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo barsch!
a) Gemäß deinem Hinweis würde ich hier vorschlagen
3!*3!*4!*6!
Dabei steht der erste Faktor 3! für die Anordnung der Buchblöcke generell, die anderen für die Rotation innerhalb der jeweiligen Fachrichtung. Jetzt ist es mir klar geworden, denn wer hat schon 3 mal das gleiche Mathebuch im Regal stehen. 
b) Hier sind dann Wiederholungen erlaubt, wobei auch die Anordnung eine Rolle spielt, da sich die Fragen sicherlich voneinander unterscheiden werden, oder? Also
[mm] 5^{12}
[/mm]
c) Das wäre dann doch die einfachste Aufgabe, wie ich finde. Müsste dann so sein
[mm] \vektor{12 \\ 4}
[/mm]
d) Hier verstehe ich allerdings nicht, wieso Wiederholungen nicht erlaubt sind. Es geht doch vielmehr um die Fachrichtung, die von den einzelnen Wissenschaftlern repräsentiert wird als um die Wissenschaftler selber, oder sehe ich das falsch? Würde demnach vorschlagen
[mm] \vektor{3+5-1 \\ 5}
[/mm]
Ein wenig gewöhnungsbedürftig, die richtige Denkweise zu finden. Wäre das denn soweit okay? Wie gesagt, bei d) bin ich mir nicht sicher.
Gruß, Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:37 Fr 06.02.2009 | | Autor: | luis52 |
Maoin Marcel,
> Hallo barsch!
>
>
> a) Gemäß deinem Hinweis würde ich hier vorschlagen
>
>
> 3!*3!*4!*6!
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") 3!*4!*6!
>
>
>
> Dabei steht der erste Faktor 3! für die Anordnung der
> Buchblöcke generell, die anderen für die Rotation innerhalb
> der jeweiligen Fachrichtung. Jetzt ist es mir klar
> geworden, denn wer hat schon 3 mal das gleiche Mathebuch im
> Regal stehen.
>
>
>
> b) Hier sind dann Wiederholungen erlaubt, wobei auch die
> Anordnung eine Rolle spielt, da sich die Fragen sicherlich
> voneinander unterscheiden werden, oder? Also
>
>
> [mm]5^{12}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
>
> c) Das wäre dann doch die einfachste Aufgabe, wie ich
> finde. Müsste dann so sein
>
>
> [mm]\vektor{12 \\ 4}[/mm]
>
>
>
> d) Hier verstehe ich allerdings nicht, wieso Wiederholungen
> nicht erlaubt sind. Es geht doch vielmehr um die
> Fachrichtung, die von den einzelnen Wissenschaftlern
> repräsentiert wird als um die Wissenschaftler selber, oder
> sehe ich das falsch? Würde demnach vorschlagen
>
>
> [mm]\vektor{3+5-1 \\ 5}[/mm]
Sieh das Problem mal so: Gesucht sind alle Summanden [mm] $x_1,x_2,x_3=0,1,2,3,4,5$ [/mm] mit [mm] $x_1+x_2+x_3=5$. [/mm] Eine derartige Moeglichkeit ist (2,2,1).
Hier sind alle geordnenten Moeglichkeiten (lies spaltenweise):
| 1: |
| | 2: | 5 4 3 3 2
| | 3: | 0 1 2 1 2
| | 4: | 0 0 0 1 1
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Mithin gibt es $3*6*6*3*3=972$ Moeglichkeiten.
vg Luis
PS: @barsch Was machst *du* denn hier?  Riecht dir das nicht zu sehr nach Stochastik? Das ich das noch erleben darf...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 So 08.02.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
> a) Gemäß deinem Hinweis würde ich hier vorschlagen
> 3!*3!*4!*6!
[mm] \red{\text{warum ist das falsch?}} [/mm] Spielen wir das doch mal mit folgendem Beispiel durch:
[mm] \red{I_1I_2}\blue{A_1A_2}
[/mm]
Jetzt kann man unter der Bedingung, dass die [mm] \red{I_i} [/mm] für i=1,2 immer nebeneinander und die [mm] \blue{A_j} [/mm] für j=1,2 immer nebeneinander stehen müssen, die folgenden Anordnungsmöglichkeiten konstatieren:
[mm] \red{I_1I_2}\blue{A_1A_2}
[/mm]
[mm] \red{I_1I_2}\blue{A_2A_1}
[/mm]
[mm] \red{I_2I_1}\blue{A_1A_2}
[/mm]
[mm] \red{I_2I_1}\blue{A_2A_1}
[/mm]
Jetzt geht aber auch noch folgendes:
[mm] \blue{A_1A_2}\red{I_1I_2}
[/mm]
[mm] \blue{A_2A_1}\red{I_1I_2}
[/mm]
[mm] \blue{A_1A_2}\red{I_2I_1}
[/mm]
[mm] \blue{A_2A_1}\red{I_2I_1}
[/mm]
Also: 2!*2!*2!=8 Anordnungsmöglichkeiten - demnach würde ich Marcel Recht geben!
MfG barsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 So 08.02.2009 | | Autor: | luis52 |
> Hi,
>
> > a) Gemäß deinem Hinweis würde ich hier vorschlagen
> > 3!*3!*4!*6!
>
> [mm]\red{\text{warum ist das falsch?}}[/mm] Spielen wir das doch mal
> mit folgendem Beispiel durch:
>
Ihr habt Recht, das *ist* korrekt.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:36 So 08.02.2009 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> > Hi,
> >
> > > a) Gemäß deinem Hinweis würde ich hier vorschlagen
> > > 3!*3!*4!*6!
> >
> > [mm]\red{\text{warum ist das falsch?}}[/mm] Spielen wir das doch mal
> > mit folgendem Beispiel durch:
> >
>
> Ihr habt Recht, das *ist* korrekt.
![[biggrin]](/images/smileys/biggrin.gif "[biggrin]") danke.
MfG barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:51 Mo 09.02.2009 | | Autor: | Marcel08 |
Vielen Dank für eure Hinweise.
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