Anzahl Pol=Nullstellen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:15 So 01.07.2007 | | Autor: | hopsie |
| Aufgabe | Seien [mm] \omega_{1} [/mm] , [mm] \omega_{2} \in \IC [/mm] reell-linear unabhängig und f eine auf [mm] \IC [/mm] meromorphe nichtkonstante doppelt periodische Funktion mit den Perioden [mm] \omega_{1} [/mm] und [mm] \omega_{2}.
[/mm]
Man Zeige, dass f auf dem "Fundamentalbereich" F := { [mm] \lambda_{1}\omega_{1} [/mm] + [mm] \lambda_{2}\omega_{2}|0\le\lambda_{i}<1 [/mm] } ebenso viele Polstellen wie Nullstellen hat (gezählt jeweils mit Vielfachheiten). |
Hallo!
Ich denke, dass ich im Prinzip den Beweis habe, aber an einigen Stellen fehlt mir noch die Begründung, warum ich so rechnen darf.
1) Ich benutze im Beweis folgende Äquivalenz:
[mm] \integral_{0}^{1}{f(t\omega_{1}) dt} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{f((1-t)\omega_{1}) dt} [/mm] wobei [mm] t\in [/mm] [0,1] ist.
Anschaulich ist mir das schon klar, aber ich denke, dass ich das noch beweisen muss. Da weiß ich aber gar nicht, wie ich ansetzen soll...
2) Ich will beweisen, dass [mm] \bruch{1}{2\pi i}\integral_{\gamma}^{}{\bruch{f'(z)}{f(z)} dz} [/mm] = 0 ist, um dann mit dem Satz vom Null - und Polstellen zählenden Integral zeigen zu können, dass Anzahl Nullstellen = Anzahl Polstellen ist.
Um den Satz verwenden zu können, darf [mm] \gamma [/mm] aber keine Nullstelle und keinen Pol treffen.
Nun meine eigentliche Frage: Warum darf man o.B.d.A. annehmen, dass auf dem Rand des Fundamentalbereichs (worüber ich ja integriere) keine Pol- und Nullstellen liegen?
Danke schonmal
Gruß, hopsie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 So 01.07.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo hopsie!
> Seien [mm]\omega_{1}[/mm] , [mm]\omega_{2} \in \IC[/mm] reell-linear
> unabhängig und f eine auf [mm]\IC[/mm] meromorphe nichtkonstante
> doppelt periodische Funktion mit den Perioden [mm]\omega_{1}[/mm]
> und [mm]\omega_{2}.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Man Zeige, dass f auf dem "Fundamentalbereich" F := {
> [mm]\lambda_{1}\omega_{1}[/mm] +
> [mm]\lambda_{2}\omega_{2}|0\le\lambda_{i}<1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} ebenso viele
> Polstellen wie Nullstellen hat (gezählt jeweils mit
> Vielfachheiten).
>
> Hallo!
>
> Ich denke, dass ich im Prinzip den Beweis habe, aber an
> einigen Stellen fehlt mir noch die Begründung, warum ich so
> rechnen darf.
> 1) Ich benutze im Beweis folgende Äquivalenz:
> [mm]\integral_{0}^{1}{f(t\omega_{1}) dt}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{1}{f((1-t)\omega_{1}) dt}[/mm] wobei [mm]t\in[/mm] [0,1]
> ist.
Das folgt direkt mit der normalen Substitutionsregel: substituiere $y = 1 - t$, und schon bekommst du das andere Integral (mit $y$ als Variable anstelle $t$, aber das kann man ja sofort umschreiben).
> 2) Ich will beweisen, dass [mm]\bruch{1}{2\pi i}\integral_{\gamma}^{}{\bruch{f'(z)}{f(z)} dz}[/mm]
> = 0 ist, um dann mit dem Satz vom Null - und Polstellen
> zählenden Integral zeigen zu können, dass Anzahl
> Nullstellen = Anzahl Polstellen ist.
> Um den Satz verwenden zu können, darf [mm]\gamma[/mm] aber keine
> Nullstelle und keinen Pol treffen.
> Nun meine eigentliche Frage: Warum darf man o.B.d.A.
> annehmen, dass auf dem Rand des Fundamentalbereichs
> (worüber ich ja integriere) keine Pol- und Nullstellen
> liegen?
Das bekommst du, indem du den Fundamentalbereich ein wenig verschiebst, und zwar so weit, dass der Rand weder Pol- noch Nullstellen trifft. Dann bekommst du, dass es im verschobenen Fundamentalbereich gleichviele Pol- und Nullstellen gibt. Da die Funktion jedoch periodisch ist, ist das gerade das selbe, als das es im Fundamentalbereich selber genau gleich viele Pol- wie Nullstellen gibt.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 So 01.07.2007 | | Autor: | hopsie |
Hallo Felix!
Vielen Dank für deine Antwort!
> > Nun meine eigentliche Frage: Warum darf man o.B.d.A.
> > annehmen, dass auf dem Rand des Fundamentalbereichs
> > (worüber ich ja integriere) keine Pol- und Nullstellen
> > liegen?
>
> Das bekommst du, indem du den Fundamentalbereich ein wenig
> verschiebst, und zwar so weit, dass der Rand weder Pol-
> noch Nullstellen trifft.
Warum darf ich das so einfach machen?
> Dann bekommst du, dass es im
> verschobenen Fundamentalbereich gleichviele Pol- und
> Nullstellen gibt. Da die Funktion jedoch periodisch ist,
> ist das gerade das selbe, als das es im Fundamentalbereich
> selber genau gleich viele Pol- wie Nullstellen gibt.
Gilt das nur für periodische Funktionen? Und warum gilt das?
Gruß, hopsie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:37 So 01.07.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo hopsie!
> > > Nun meine eigentliche Frage: Warum darf man o.B.d.A.
> > > annehmen, dass auf dem Rand des Fundamentalbereichs
> > > (worüber ich ja integriere) keine Pol- und Nullstellen
> > > liegen?
> >
> > Das bekommst du, indem du den Fundamentalbereich ein wenig
> > verschiebst, und zwar so weit, dass der Rand weder Pol-
> > noch Nullstellen trifft.
>
> Warum darf ich das so einfach machen?
Warum solltest du das nicht machen duerfen?
Machen kann man vieles. Die Frage ist halt, ob dir das irgendwie bei der Loesung deines urspruenglichen Problems weiterhilft. Und darum geht es im naechsten Absatz:
> > Dann bekommst du, dass es im
> > verschobenen Fundamentalbereich gleichviele Pol- und
> > Nullstellen gibt. Da die Funktion jedoch periodisch ist,
> > ist das gerade das selbe, als das es im Fundamentalbereich
> > selber genau gleich viele Pol- wie Nullstellen gibt.
>
> Gilt das nur für periodische Funktionen? Und warum gilt
> das?
Das gilt nur fuer periodische Funktionen.
Sagen wir mal du verschiebst den Fundamentalbereich um [mm] $\frac{1}{3} \omega_1$. [/mm] Dann kannst du den verschobenen Fundamentalbereich als disjunkte Vereinigung von [mm] $(\frac{1}{3} \omega_1 [/mm] + F) [mm] \cap [/mm] F$ und [mm] $(\frac{1}{3} \omega_1 [/mm] + F) [mm] \setminus [/mm] F = [mm] (\frac{1}{3} \omega_1 [/mm] + F) [mm] \cap (\omega_1 [/mm] + F)$ schreiben: dem Teil, der im Fundamentalbereich drinnen liegt und dem Teil, der in Richtung [mm] $\omega_1$ [/mm] herausgeschoben wurde.
Nun verhaelt sich $f$ auf [mm] $(\frac{1}{3} \omega_1 [/mm] + F) [mm] \setminus [/mm] F$ genauso wie auf [mm] $((\frac{1}{3} \omega_1 [/mm] + F) [mm] \setminus [/mm] F) - [mm] \omega_1$, [/mm] da $f$ periodisch ist.
Nun ist jedoch $F$ wieder die disjunkte Vereinigung von [mm] $(((\frac{1}{3} \omega_1 [/mm] + F) [mm] \setminus [/mm] F) - [mm] \omega_1)$ [/mm] und [mm] $(\frac{1}{3} \omega_1 [/mm] + F) [mm] \cap [/mm] F$ (mal dir das mal kurz auf): damit verhaelt sich $F$ auf dem verschobenen Fundamentalbereich $F + [mm] \frac{1}{3} \omega_1$ [/mm] im Endeffekt genauso wie auf $F$ selber, sprich es hat dort die gleiche Anzahl von Null- und Polstellen.
Allgemein: verschiebe $F$ und teile das Verschobene in Teile auf, die in $F + x [mm] \omega_1 [/mm] + y [mm] \omega_2$ [/mm] mit $x, y [mm] \in \IZ$ [/mm] liegen. Jeden dieser Teile kannst du wieder mit Perioden von $f$ zurueck in $F$ schieben, und die disjunkte Vereinigung dieser Verschiebungen bildet wieder $F$ selber.
LG Felix
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