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| Aufgabe | 1) Es seien m und k natürliche Zahlen und auch [mm] i_{1},...,i_{k}\in \IN [/mm] mit [mm] 1\le i_{i}\le [/mm] m für alle [mm] i\in\{1,..., k\}
[/mm]
Wie viele verschiedene k-Tupel [mm] (i_{1}, [/mm] ..., [mm] i_{k}) [/mm] gibt es, die folgendes erfüllen: [mm] i_{1}\le i_{2}\le [/mm] ... [mm] \le i_{k} [/mm] |
Hallo!
Mit Kombinatorik ist das immer so eine Sache, irgendwie kann ich das nicht so richtig...
Man muss da wohl zu sehr nachdenken -_-
Ich habs mit ein paar Beispielen gemacht, damit ich vielleicht so auf ne Idee komme...
Aber irgendwie bin ich nicht auf die richtige Idee gekommen...
Für den Fall k=3 und m=5 bin ich auf 35 gekommen und allgemein - glaub ich zumindest - für k=3 die Lösung bestimmt...
Aber wie das ganz allgemein ist, hab ich keinen blassen Schimmer.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:08 Do 15.07.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ich hab mir das mal so überlegt:
Du brauchst die Anzahl der Möglichkeiten, auf wie viele Weisen man, z.B. in dem Tupel von links nach rechts gehend, man eine Zahl erhöhen kann.
Beispiel: j=3, m=2.
Erhöht man ab der 1. Zahl, hat man (2,2,2). Erhöht man erst ab der 2. Zahl, erhält man (1,2,2) etc. Man kann natürlich auch keine Zahl erhöhen und hat (1,1,1).
Dafür gibt es auch schon ein vorgefertigtes, kombinatorischen Modell, nämlich das Ziehen mit zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge. Umformuliert und auf mein Beispiel bezogen:
Ich wähle mir eine Kugel aus (ist m=2, so wird ja nur einmal erhöht). Das war es eigentlich schon für den Fall, dass ich einmal erhöhen will. Dann muss ich dazu noch alle Möglichkeiten addieren, 0 mal zu erhöhen. Davon gibt es eine. Insgesamt erhalte ich [mm] n=\vektor{3+(2-1)-1 \\ 3-1}+\vektor{3+(1-1)-1 \\ 3-1}=4 [/mm] Möglichkeiten für so ein Tupel.
Für dein Beispiel k=3, m=5 (hier sieht man besser, dass man das Modell anwenden muss):
Du kannst bis zu 4 mal erhöhen.
Fangen wir mal damit an, dass du 4 mal erhöhst. Dafür kannst du 4 Elemente aus dem Tupel ziehen, wobei die Reihenfolge egal ist und du auch die gleiche Kugel mehrfach ziehen kannst, z.B. kannst du direkt 4mal das 1. Element ziehen und du bekommst das Tupel (5,5,5), da eben alle Erhöhung direkt am 1. Element verbraten wurden. Du kannst aber die Erhöhungen auch eben wie du willst aufteilen, z.B. auf eine auf Element 1, 2 auf Element 2 und eine auf Element 3. Du erhältst dann (2,4,5).
Ich hoffe, dass das einigermaßen nachvollziehbar ist.
Dazu addiert man dann eben alle Möglichkeiten, nur 3 mal eine Zahl zu erhöhen, 2mal, 1mal, 0mal.
Du erhältst damit also eine Summe über Binomialkoeffizienten. Die musst du nur noch aufschreiben. Es kommt für k=3 und m=5 auch wirklich 35 raus.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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