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Anzahl der Blätter in einem Ba: Ansatz?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:26 Sa 21.10.2006
Autor: Bastiane

Aufgabe
Ein Baum mit mehr als einem Knoten hat [mm] $2+\summe_{v:d(v)\ge 3}(d(v)-2)$ [/mm] Blätter.

Hallo zusammen!

Ja, das Semester hat angefangen und jetzt stelle ich auch mal wieder eine Frage. Und zwar soll ich wohl Obiges beweisen (steht nicht einmal dabei *g*) und ich weiß nicht so ganz, wie ich anfangen soll. Evtl. ginge das mit Induktion, aber ich glaube Induktionsbeweise sind in solchen Fällen nie so schön, oder? Und wenn doch: Worüber müsste die Induktion gehen? Über die Anzahl der Knoten? Oder die Anzahl der Blätter?

Ich würde die Aufgabe gerne alleine schaffen, deswegen wäre es schön, wenn mir jemand nur einen Ansatz geben könnte. :-)

Ach ja: d(v) soll wohl den Grad von v bezeichnen...

Viele Grüße
Bastiane
[cap]


        
Bezug
Anzahl der Blätter in einem Ba: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:42 Sa 21.10.2006
Autor: Hanno

Hallo Christiane!

Folgendes könnte man machen:

Schnapp dir einen beliebigen Punkt im Baum und betrachte alle maximalen, injektiven (diskreten) Wege, die von diesem Punkt ausgehen (das kann man noch schöner und genauer definieren ;) ). Von all diesen Wegen merkst du dir die Länge des längsten solchen Weges; nennen wir sie mal "Größe des Baumes". Über der Größe des Baumes $n$ kannst du nun Induktion führen. Anfangen musst du mit $n=1$, wofür der Beweis einfach ist. Für den Induktionsschritt [mm] $n\to [/mm] n+1$ betrachtest du nun Knoten, die genau $n$ Kanten von dem Startpunkt entfernt sind und kappst all ihre Kanten zu Knoten des Baumes. So erhältst du einen Baum der Größe $n$ und kannst die Induktionsvoraussetzung benutzen. Danach setzt du die einzelnen Blätter wieder an den gestutzten Baum dran und beweist, dass in jedem Schritt die Formel gültig bleibt.

Es geht bestimmt einfacher, aber schön finde ich die Idee trotzdem :)


Liebe Grüße,
Hanno

Bezug
        
Bezug
Anzahl der Blätter in einem Ba: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:58 Sa 21.10.2006
Autor: DaMenge

Hi,

also jeden Baum kann man ja durch iteriertes Anheften von Knoten beschreiben/konstruieren, also musst du nur zeigen, dass Blätteranzahl nach dem Anheften eines Knoten dieser Formel gehorcht (wen sie es vorher tat (, also eigentlich Induktion nach anzahl der knoten mit dem hinweis, dass man auch wirklich jeden Baum mit n Knoten so bekommen kann))

beim anheften musst du nur unterscheiden, ob du den neuen Knoten an ein Blatt oder an einen Knoten mit d(v)>1 anhängst...

viele Grüße
DaMenge

Bezug
                
Bezug
Anzahl der Blätter in einem Ba: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:05 Sa 21.10.2006
Autor: Hanno

Hallo Andreas!

Du hast das irgendwie schöner formuliert als ich ;-)


Liebe Grüße,
Hanno

Bezug
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