Anzahl der Eigenvektoren < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:05 Fr 29.07.2011 | | Autor: | felixt |
| Aufgabe 1 | Bestimmen Sie Eigenwerte und Eigenräume der folgenden reellen Matrix:
[mm] $M=\begin{pmatrix}3&4&-3\\2&7&-4\\3&9&-5\end{pmatrix} [/mm] |
| Aufgabe 2 | Bestimmen Sie Eigenwerte und Eigenräume der folgenden reellen Matrix:
[mm] $M=\begin{pmatrix}1&-4&-4\\0&3&2\\0&-1&0\end{pmatrix} [/mm] |
Hallo,
zu Aufgabe 1 habe ich bisher folgendes herausgefunden:
[mm] \lambda_1=2
[/mm]
[mm] \lambda_2=2
[/mm]
[mm] \lambda_3=1
[/mm]
Nun berechne ich die Eigenvektoren bzw. den Eigenraum für [mm] \lambda_{1,2}=2 [/mm] mit folgender Matrix mit Hilfe des Gauß Algorithmus:
[mm] \begin{pmatrix}
3-2&4&-3\\
2&7-2&-4\\
3&9&-5-2
\end{pmatrix}
[/mm]
und erhalte schlussendlich folgende Matrix:
[mm] \begin{pmatrix}
3&0&-1\\
0&-3&2\\
0&0&0
\end{pmatrix}
[/mm]
Was schlussendlich den Lösungsraum [mm] $L_{\lambda_{12}}=\vektor{1\\2\\3}\IR$ [/mm] ergibt.
Nun muss ich doch eigentlich, aufgrund der algebraischen Vielfachheit von [mm] \lambda [/mm] zwei linear unabhängige Eigenvektoren aus diesem Eigenraum angeben?! Kann ich da einfach zwei beliebige nehmen? Zum Beispiel welche?
Ich bin da ein wenig verunsichert wegen folgendem:
In Aufgabe 2 habe ich folgende Eigenwerte berechnet:
[mm] \lambda_1=2
[/mm]
[mm] \lambda_2=1
[/mm]
[mm] \lambda_3=1
[/mm]
Wenn ich hier nun für [mm] \lambda_{23} [/mm] den Lösungsraum berechne sieht der so aus:
Nach Gauß sieht die Matrix zunächst so aus:
[mm] \begin{pmatrix}
0&1&1\\
0&0&0\\
0&0&0
\end{pmatrix}
[/mm]
und der Lösungsraum:
[mm] $L_{\lambda_{23}}=\vektor{1\\0\\0}\IR+\vektor{0\\-1\\1}\IR
[/mm]
Nun ist für mich hier klar, dass ich, auf Grund der algebraischen Vielfachheit von 1, zwei Vektoren nehmen muss, da es [mm] \textit{für mich} [/mm] hier ersichtlich ist, weil eben die schon so separat geschrieben sind.
Hingegen beim oberen Beispiel ist es mir nicht ersichtlich, da ich da nur einen Vektor habe.
Langer Rede kurzer Sinn:
Müssen bei algebraischer Vielfachheit zwei Nullstellen in der Matrix (wie bei Aufgabe 2) auftreten, oder ist das in Aufgabe 2 nur ein Zufall und ich muss sowohl bei Aufgabe 1 als auch bei Aufgabe 2 mir einfach anhand der algebraischen Vielfachheit entsprechen viele Eigenvektoren suchen?
Ich hoffe mein Problem halbwegs verständlich ausgedrückt zu haben.
Vielen Dank!
gruß
felix
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo felixt,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Bestimmen Sie Eigenwerte und Eigenräume der folgenden
> reellen Matrix:
> [mm]$M=\begin{pmatrix}3&4&-3\\2&7&-4\\3&9&-5\end{pmatrix}[/mm]
> Bestimmen Sie Eigenwerte und Eigenräume der folgenden
> reellen Matrix:
> [mm]$M=\begin{pmatrix}1&-4&-4\\0&3&2\\0&-1&0\end{pmatrix}[/mm]
> Hallo,
>
> zu Aufgabe 1 habe ich bisher folgendes herausgefunden:
>
> [mm]\lambda_1=2[/mm]
> [mm]\lambda_2=2[/mm]
> [mm]\lambda_3=1[/mm]
>
> Nun berechne ich die Eigenvektoren bzw. den Eigenraum für
> [mm]\lambda_{1,2}=2[/mm] mit folgender Matrix mit Hilfe des Gauß
> Algorithmus:
>
> [mm]\begin{pmatrix}
3-2&4&-3\\
2&7-2&-4\\
3&9&-5-2
\end{pmatrix}[/mm]
>
> und erhalte schlussendlich folgende Matrix:
>
> [mm]\begin{pmatrix}
3&0&-1\\
0&-3&2\\
0&0&0
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Was schlussendlich den Lösungsraum
> [mm]L_{\lambda_{12}}=\vektor{1\\2\\3}\IR[/mm] ergibt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Nun muss ich doch eigentlich, aufgrund der algebraischen
> Vielfachheit von [mm]\lambda[/mm] zwei linear unabhängige
> Eigenvektoren aus diesem Eigenraum angeben?! Kann ich da
> einfach zwei beliebige nehmen? Zum Beispiel welche?
Zunächst musst Du Vektoren berechnen, die in
[mm]\operatorname{Kern}\left( \ \left(M-2*E\right)^{2} \ \right)[/mm]
liegen.
Wähle dann einen Vektor der nicht im [mm]\operatorname{Kern}\left( \ \left(M-2*E\right) \ \right)[/mm] liegt.
>
> Ich bin da ein wenig verunsichert wegen folgendem:
>
> In Aufgabe 2 habe ich folgende Eigenwerte berechnet:
> [mm]\lambda_1=2[/mm]
> [mm]\lambda_2=1[/mm]
> [mm]\lambda_3=1[/mm]
>
> Wenn ich hier nun für [mm]\lambda_{23}[/mm] den Lösungsraum
> berechne sieht der so aus:
>
> Nach Gauß sieht die Matrix zunächst so aus:
>
> [mm]\begin{pmatrix}
0&1&1\\
0&0&0\\
0&0&0
\end{pmatrix}[/mm]
>
> und der Lösungsraum:
>
> [mm]$L_{\lambda_{23}}=\vektor{1\\0\\0}\IR+\vektor{0\\-1\\1}\IR[/mm]
>
> Nun ist für mich hier klar, dass ich, auf Grund der
> algebraischen Vielfachheit von 1, zwei Vektoren nehmen
> muss, da es [mm]\textit{für mich}[/mm] hier ersichtlich ist, weil
> eben die schon so separat geschrieben sind.
> Hingegen beim oberen Beispiel ist es mir nicht
> ersichtlich, da ich da nur einen Vektor habe.
>
> Langer Rede kurzer Sinn:
> Müssen bei algebraischer Vielfachheit zwei Nullstellen in
> der Matrix (wie bei Aufgabe 2) auftreten, oder ist das in
> Aufgabe 2 nur ein Zufall und ich muss sowohl bei Aufgabe 1
> als auch bei Aufgabe 2 mir einfach anhand der algebraischen
> Vielfachheit entsprechen viele Eigenvektoren suchen?
Bei Aufgabe 2 ist das Zufall, daß die algebraische Vielfachheit
gleich der geometrischen Vielfachheit (das ist die Dimension
des zugehörogen Eigenraums) ist.
Das Vorgehen ist, daß zunächst die Dimension des Eigenraums
eines Eigenwertes berechnet wird. Ist diese gleich der algebraischen
Vielfachheit, dann bist Du fertig. Ist diese Dimension kleiner als
die algebraische Vielfachheit, dann sind zusätzliche Vektoren
zu berechnen.
Diese müssen in Aufgabe 1) aus [mm]\operatorname{Kern}\left( \ \left(M-2*E\right)^{2} \ \right)[/mm] sein.
>
> Ich hoffe mein Problem halbwegs verständlich ausgedrückt
> zu haben.
>
> Vielen Dank!
>
> gruß
> felix
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Sa 30.07.2011 | | Autor: | felixt |
Hallo MathePower,
danke für deine Antwort.
> Bei Aufgabe 2 ist das Zufall, daß die algebraische
> Vielfachheit
> gleich der geometrischen Vielfachheit (das ist die
> Dimension
> des zugehörogen Eigenraums) ist.
>
> Das Vorgehen ist, daß zunächst die Dimension des
> Eigenraums
> eines Eigenwertes berechnet wird. Ist diese gleich der
> algebraischen
> Vielfachheit, dann bist Du fertig. Ist diese Dimension
> kleiner als
> die algebraische Vielfachheit, dann sind zusätzliche
> Vektoren
> zu berechnen.
>
> Diese müssen in Aufgabe 1) aus [mm]\operatorname{Kern}\left( \ \left(M-2*E\right)^{2} \ \right)[/mm]
> sein.
Wenn ich das richtig verstanden habe sieht das ganze so aus:
In Aufgabe 1 hat der Lösungsraum [mm] L_{\lambda_{12}}=\vektor{1\\2\\3}\IR [/mm] die geometrische Vielfachheit 1 (wegen der einen Nullstelle?). Da jetzt die algebraische Vielfachheit gleich 2 ist, muss ich aus dem Lösungsraum zwei linear unabhängige Vektoren nehmen, die dann meine Eigenvektoren sind. Wie bilde ich diese nun aus dem Lösungsraum? Wären die kanonischen Einheitsvektoren hier z.B. Eigenvektoren:
[mm] E_1=\vektor{1\\0\\0}
[/mm]
[mm] E_2=\vektor{0\\1\\0}
[/mm]
oder wären diese Vektoren auch als Einheitsvektoren gültig:
[mm] E_1=\vektor{1\\1\\1}
[/mm]
[mm] E_2=\vektor{0\\2\\0}
[/mm]
In Aufgabe 2 hat der Lösungsraum [mm] L_\lambda_{23}=\vektor{1\\0\\0}\IR+\vektor{0\\-1\\1}\IR [/mm] die geometrische Vielfachheit 2 (wegen der zwei Nullstellen?). Da hier nun die algebraische Vielfachheit = geometrische Vielfachheit ist, muss ich aus dem Lösungsraum keine weiteren Vektoren bestimmen, sondern kann einfach die zwei Vektoren als meine zwei linear unabhängigen Eigenvektoren nehmen:
[mm] E_2=\vektor{1\\0\\0}
[/mm]
[mm] E_3=\vektor{0\\-1\\1}
[/mm]
und bin somit fertig.
Ist das so richtig?
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Hallo felixt,
> Hallo MathePower,
>
> danke für deine Antwort.
>
> > Bei Aufgabe 2 ist das Zufall, daß die algebraische
> > Vielfachheit
> > gleich der geometrischen Vielfachheit (das ist die
> > Dimension
> > des zugehörogen Eigenraums) ist.
> >
> > Das Vorgehen ist, daß zunächst die Dimension des
> > Eigenraums
> > eines Eigenwertes berechnet wird. Ist diese gleich der
> > algebraischen
> > Vielfachheit, dann bist Du fertig. Ist diese Dimension
> > kleiner als
> > die algebraische Vielfachheit, dann sind zusätzliche
> > Vektoren
> > zu berechnen.
> >
> > Diese müssen in Aufgabe 1) aus [mm]\operatorname{Kern}\left( \ \left(M-2*E\right)^{2} \ \right)[/mm]
> > sein.
>
> Wenn ich das richtig verstanden habe sieht das ganze so
> aus:
>
> In Aufgabe 1 hat der Lösungsraum
> [mm]L_{\lambda_{12}}=\vektor{1\\2\\3}\IR[/mm] die geometrische
> Vielfachheit 1 (wegen der einen Nullstelle?). Da jetzt die
> algebraische Vielfachheit gleich 2 ist, muss ich aus dem
> Lösungsraum zwei linear unabhängige Vektoren nehmen, die
> dann meine Eigenvektoren sind. Wie bilde ich diese nun aus
> dem Lösungsraum? Wären die kanonischen Einheitsvektoren
> hier z.B. Eigenvektoren:
Hier benötigst Du nur noch einen Vektor [mm]v_{2} \in \IR^{3}[/mm] aus [mm]\operatorname{Kern}\left( \ \left(M-2*E\right)^{2} \ \right)[/mm]
Daher ist die Lösungsmenge folgender Gleichung zu bestimmen:
[mm] \left(M-2*E\right)^{2} v_{2}=\pmat{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
Das schreibt sich zunächst
[mm] \left(M-2*E\right) \ \left( \ \left(M-2*E\right) v_{2} \ \right)=\pmat{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
Da aber [mm] \left(M-2*E\right) v_{1}=\pmat{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
mit [mm]v_{1}= \pmat{1 \\ 2 \\ 3}[/mm], ist folgende Gleichung
äquivalent dazu:
[mm] \left(M-2*E\right) v_{2} =v_{1}[/mm]
Daher kann zur Bestimmung des fehlenden Vektors
auch die Lösungsmenge dieser Gleichung bestimmt werden.
>
> [mm]E_1=\vektor{1\\0\\0}[/mm]
> [mm]E_2=\vektor{0\\1\\0}[/mm]
>
Wenn Du die Lösungsmenge der letzen Gleichung bestimmst,
dann stellst Du fest, daß nur [mm]E_:{1}[/mm] darunter ist.
> oder wären diese Vektoren auch als Einheitsvektoren
> gültig:
>
> [mm]E_1=\vektor{1\\1\\1}[/mm]
> [mm]E_2=\vektor{0\\2\\0}[/mm]
Nein.
>
> In Aufgabe 2 hat der Lösungsraum
> [mm]L_\lambda_{23}=\vektor{1\\0\\0}\IR+\vektor{0\\-1\\1}\IR[/mm] die
> geometrische Vielfachheit 2 (wegen der zwei Nullstellen?).
> Da hier nun die algebraische Vielfachheit = geometrische
> Vielfachheit ist, muss ich aus dem Lösungsraum keine
> weiteren Vektoren bestimmen, sondern kann einfach die zwei
> Vektoren als meine zwei linear unabhängigen Eigenvektoren
> nehmen:
>
> [mm]E_2=\vektor{1\\0\\0}[/mm]
> [mm]E_3=\vektor{0\\-1\\1}[/mm]
>
> und bin somit fertig.
>
> Ist das so richtig?
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:55 So 31.07.2011 | | Autor: | felixt |
Hallo MathePower,
danke für deine Antwort.
Jetzt bin ich aber glaub ich etwas mehr verwirrt.
> > [mm]E_1=\vektor{1\\0\\0}[/mm]
> > [mm]E_2=\vektor{0\\1\\0}[/mm]
> >
>
>
> Wenn Du die Lösungsmenge der letzen Gleichung bestimmst,
> dann stellst Du fest, daß nur [mm]E_:{1}[/mm] darunter ist.
Wenn ich das hier löse bekomme ich den Lösungsraum [mm] \vektor{\frac{1}{2}\\1\\\frac{3}{2}}, [/mm] also einen einzelnen Vektor. Warum liegt jetzt mein [mm] E_1 [/mm] da drinnen und mein [mm] E_2 [/mm] nicht mehr?
Vielleicht nochmal grundsätzlich:
Wenn ich das Glück habe, und wie in Aufgabe 2 die geometrische Vielfachheit gleich der algebraischen Vielfachheit (2=2) ist, dann nehme ich einfach die beiden Vektoren. (stimmt das so wie ich das jetzt beschrieben habe?)
Wenn ich kein Glück habe, und wie in Aufgabe 1 die geometrische Vielfachheit nicht mit der algebraischen Vielfachheit übereinstimmt (2!=1), was mache ich dann?
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Hallo,
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Ich habe den Eindruck, daß MathePower eine etwas andere (weitergehendere) Fragestellung im Hinterkopf hat, als das, was hier wirklich steht:
> Bestimmen Sie Eigenwerte und Eigenräume der folgenden
> reellen Matrix:
> [mm]$M=\begin{pmatrix}3&4&-3\\
2&7&-4\\
3&9&-5\end{pmatrix}[/mm]
> Bestimmen Sie Eigenwerte und Eigenräume der folgenden
> reellen Matrix:
> [mm]$M=\begin{pmatrix}1&-4&-4\\
0&3&2\\
0&-1&0\end{pmatrix}[/mm]
> Hallo,
>
> zu Aufgabe 1 habe ich bisher folgendes herausgefunden:
>
> [mm]\lambda_1=2[/mm]
> [mm]\lambda_2=2[/mm]
> [mm]\lambda_3=1[/mm]
>
> Nun berechne ich die Eigenvektoren bzw. den Eigenraum für
> [mm]\lambda_{1,2}=2[/mm] mit folgender Matrix mit Hilfe des Gauß
> Algorithmus:
>
> [mm]\begin{pmatrix} 3-2&4&-3\\
2&7-2&-4\\
3&9&-5-2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> und erhalte schlussendlich folgende Matrix:
>
> [mm]\begin{pmatrix} 3&0&-1\\
0&-3&2\\
0&0&0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Was schlussendlich den Lösungsraum
> [mm]L_{\lambda_{12}}=\vektor{1\\
2\\
3}\IR[/mm] ergibt.
Ich habe das jetzt nicht nachgerechnet, sondern gehe davon aus, daß es richtig ist.
Der von Dir errechnete Lösungsraum ist der Eigenraum zum Eigenwert 2.
Der Eigenraum hat die Dimension 1, also ist die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes 2 eben 1. Seine algebraische Vielfachheit ist 2, denn die 2 ist ja eine doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms.
Du mußt nun, um die Aufgabe komplett zu lösen, noch den Eigenraum zum Eigenwert 1 berechnen.
Damit bist Du mit der ersten Teilaufgabe in vollem Umfange fertig.
>
> Nun muss ich doch eigentlich, aufgrund der algebraischen
> Vielfachheit von [mm]\lambda[/mm] zwei linear unabhängige
> Eigenvektoren aus diesem Eigenraum angeben?!
Das kann doch gar nicht klappen: der Raum [mm] L_{\lambda_{1,2}} [/mm] ist eindimensional, dort wirst Du niemals zwei linear unabhängige Vektoren drin finden!
(MathePower hat sich angeschickt, Dir zu einer Jordanbasis zu verhelfen, was hier aber gar nicht verlangt ist.)
> Kann ich da
> einfach zwei beliebige nehmen? Zum Beispiel welche?
>
> Ich bin da ein wenig verunsichert wegen folgendem:
>
> In Aufgabe 2 habe ich folgende Eigenwerte berechnet:
> [mm]\lambda_1=2[/mm]
> [mm]\lambda_2=1[/mm]
> [mm]\lambda_3=1[/mm]
>
> Wenn ich hier nun für [mm]\lambda_{23}[/mm] den Lösungsraum
> berechne sieht der so aus:
>
> Nach Gauß sieht die Matrix zunächst so aus:
>
> [mm]\begin{pmatrix} 0&1&1\\
0&0&0\\
0&0&0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> und der Lösungsraum:
>
> [mm]$L_{\lambda_{23}}=\vektor{1\\
0\\
0}\IR+\vektor{0\\
-1\\
1}\IR[/mm]
>
> Nun ist für mich hier klar, dass ich, auf Grund der
> algebraischen Vielfachheit von 1, zwei Vektoren nehmen
> muss, da es [mm]\textit{für mich}[/mm] hier ersichtlich ist, weil
> eben die schon so separat geschrieben sind.
Der Eigenwert 1 hat hier die alg. Vielfachheit 2, und offenbar auch die geometrische Vielfachheit 2. Alg. und geometrische Vielfachheit stimmen hier also überein.
Der Eigenraum zum EW 1 wird von zwei linear unabhängigen Vektoren aufgespannt.
> Hingegen beim oberen Beispiel ist es mir nicht
> ersichtlich, da ich da nur einen Vektor habe.
>
> Langer Rede kurzer Sinn:
> Müssen bei algebraischer Vielfachheit zwei Nullstellen in
> der Matrix (wie bei Aufgabe 2) auftreten, oder ist das in
> Aufgabe 2 nur ein Zufall und ich muss sowohl bei Aufgabe 1
> als auch bei Aufgabe 2 mir einfach anhand der algebraischen
> Vielfachheit entsprechen viele Eigenvektoren suchen?
Die algebraische Vielfachheit vom EW [mm] \lambda [/mm] ist die Potenz, mit welcher der Linearfaktor [mm] (t-\lambda) [/mm] im charakteristischen Polynom vorkommt, die geometrische Vielfachheit ist die Dimension des Eigenraumes.
Immer gilt: geo. Vielfachheit [mm] \le [/mm] alg. Vielfachheit.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 So 31.07.2011 | | Autor: | felixt |
Hallo angela,
danke für deine Antwort!
wenn ich das jetzt richtig verstanden habe sieht das ganze so aus:
Für Aufgabe 1:
Ich bestimme die Eigenwerte der Matrix. Dann sehe ich, dass 2 ein doppelter Eigenwert ist, das bedeutet, dass dieser die algebraische Vielfachheit 2 hat.
Nun berechne ich jeweils für die Eigenwerte 1 und 2 die Eigenräume, in denen meine Eigenvektoren liegen.
Für den Eigenraum vom Eigenwert 1 erhalte ich einen 1-dimensionalen Vektorraum als Lösungsraum und kann mir da einfach einen Eigenvektor raus nehmen.
Für den Eigenraum vom Eigenwert 2 erhalte ich ebenfalls einen 1-dimensionalen Vektorraum als Lösungsraum. Weil dieser Lösungsraum nur 1-dimensional ist, kann ich nur nur einen linear unabhängigen Eigenvektor für den Eigenwert 2 bestimmen. Also [mm] E_{\lambda_1}=\vektor{1\\2\\3}. [/mm] Für den zweiten Eigenwert kann ich keinen Eigenvektor finden, weswegen [mm] E_{\lambda_2}=\vektor{0\\0\\0} [/mm] ist. (was sich im übrigen mit ![[]](/images/popup.gif) Wolfram|Alpha deckt)
Für Aufgabe 2:
Hier ist alles ziemlich ähnlich. Als erstes die Eigenwerte berechnen und dabei feststellen, dass 1 ein doppelter Eigenwert und 2 ein einfacher Eigenwert ist. Somit hat 1 algebraische Vielfachheit 2 und 2 hat die algebraische Vielfachheit 1. Dann für die beiden Eigenwerte die Lösungsräume für die Eigenvektoren berechnen. Hier stellt sich dann heraus, dass für den Eigenwert 1 der Lösungsraum 2-dimensional ist, weswegen ich auch zwei Eigenvektoren (jeweils für [mm] \lambda_2 [/mm] und [mm] \lambda_3) [/mm] angeben kann. Das bedeutet, dass die geometrische Vielfachheit dieses Lösungsraumes 2 ist. Für den Lösungsraum des Eigenwertes 2 bekomme ich einen 1-dimensionalen Lösungsraum, aus dem ich dann einen Eigenvektor nehmen kann.
Somit hat hier der Zusammenhang zwischen algebraischer Vielfachheit und geometrischer Vielfachheit keine Bedeutung. Dies wäre dann erst bei der Diagonalisierbarkeit wichtig. In meinem Fall wäre dann Aufgabe 1 nicht diagonalisierbar, jedoch Aufgabe 2 schon.
Sind meine Überlegungen so richtig?
Vielen Dank!
gruß
felix
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> Hallo angela,
>
> danke für deine Antwort!
>
> wenn ich das jetzt richtig verstanden habe sieht das ganze
> so aus:
>
> Für Aufgabe 1:
> Ich bestimme die Eigenwerte der Matrix. Dann sehe ich,
> dass 2 ein doppelter Eigenwert ist, das bedeutet, dass
> dieser die algebraische Vielfachheit 2 hat.
> Nun berechne ich jeweils für die Eigenwerte 1 und 2 die
> Eigenräume, in denen meine Eigenvektoren liegen.
> Für den Eigenraum vom Eigenwert 1 erhalte ich einen
> 1-dimensionalen Vektorraum als Lösungsraum und kann mir da
> einfach einen Eigenvektor raus nehmen.
Hallo,
ich weiß nicht recht, was Du mit "kann mir da
einfach einen Eigenvektor raus nehmen" meinst. Wofür willst Du den herausnehmen?
In dem Eigenraum sind unendlich viele Vektoren, nämlich alle Vielfachen des von Dir berechneten Vektors. Dieser ist eine Basis des Eigeraumes. Du könntest aber ebensogut einen anderen als Basis nehmen.
> Für den Eigenraum vom Eigenwert 2 erhalte ich ebenfalls
> einen 1-dimensionalen Vektorraum als Lösungsraum.
Ja.
> Weil
> dieser Lösungsraum nur 1-dimensional ist, kann ich nur nur
> einen linear unabhängigen Eigenvektor für den Eigenwert 2
> bestimmen.
Ja.
Also [mm]E_{\lambda_1}=\red{<}\vektor{1\\
2\\
3}\red{>}.[/mm] Für den
> zweiten Eigenwert kann ich keinen Eigenvektor finden,
> weswegen [mm]E_{\lambda_2}=\vektor{0\\
0\\
0}[/mm] ist.
Nein, das ist kraus.
Es ist [mm] Eig_2, [/mm] der Eigenraum zum Eigenwert 2, der Raum [mm] <\vektor{1\\
2\\
3}>=\vektor{1\\
2\\
3}\IR.
[/mm]
>(was sich im
> übrigen mit
> Wolfram|Alpha
> deckt)
>
> Für Aufgabe 2:
> Hier ist alles ziemlich ähnlich. Als erstes die
> Eigenwerte berechnen und dabei feststellen, dass 1 ein
> doppelter Eigenwert und 2 ein einfacher Eigenwert ist.
Ja.
> Somit hat 1 algebraische Vielfachheit 2 und 2 hat die
> algebraische Vielfachheit 1.
Ja.
> Dann für die beiden
> Eigenwerte die Lösungsräume für die Eigenvektoren
> berechnen. Hier stellt sich dann heraus, dass für den
> Eigenwert 1 der Lösungsraum 2-dimensional ist, weswegen
> ich auch zwei Eigenvektoren (jeweils für [mm]\lambda_2[/mm] und
> [mm]\lambda_3)[/mm] angeben kann.
Nein, Du kannst nicht zwei Eigenvektoren zum Eigenwert 1 angeben (sondern viiiiiel mehr), sondern zwei linear unabhängige Eigenvektoren zum Eigenwert 1.
> Das bedeutet, dass die
> geometrische Vielfachheit dieses Lösungsraumes 2 ist.
Ja.
> Für
> den Lösungsraum des Eigenwertes 2 bekomme ich einen
> 1-dimensionalen Lösungsraum, aus dem ich dann einen
> Eigenvektor nehmen kann.
Als Basis kannst Du einen nehmen.
>
> Somit hat hier der Zusammenhang zwischen algebraischer
> Vielfachheit und geometrischer Vielfachheit keine
> Bedeutung. Dies wäre dann erst bei der
> Diagonalisierbarkeit wichtig. In meinem Fall wäre dann
> Aufgabe 1 nicht diagonalisierbar, jedoch Aufgabe 2 schon.
Ja, genau.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 So 31.07.2011 | | Autor: | felixt |
> Hallo,
>
> ich weiß nicht recht, was Du mit "kann mir da
> einfach einen Eigenvektor raus nehmen" meinst. Wofür
> willst Du den herausnehmen?
> In dem Eigenraum sind unendlich viele Vektoren, nämlich
> alle Vielfachen des von Dir berechneten Vektors. Dieser ist
> eine Basis des Eigeraumes. Du könntest aber ebensogut
> einen anderen als Basis nehmen.
Mir ist klar, dass wenn ich Eigenvektoren berechnen muss, ich dann schlussendlich einen Vektorraum angebe, in dem dann all meine Eigenvektoren liegen. Wenn ich jetzt nun aber explizit einen Eigenvektor als angeben soll, dann kann ich das doch auch. oder?
> > Für
> > den
> > zweiten Eigenwert kann ich keinen Eigenvektor finden,
> > weswegen [mm]E_{\lambda_2}=\vektor{0\\
0\\
0}[/mm] ist.
> Nein, das ist kraus.
> Es ist [mm]Eig_2,[/mm] der Eigenraum zum Eigenwert 2, der Raum
> [mm]<\vektor{1\\
2\\
3}>=\vektor{1\\
2\\
3}\IR.[/mm]
Ok. Dann gibt man in dem Fall einfach den Eigenraum für den entsprechenden Eigenwert an, in dem dann alle Eigenvektoren liegen.
Vielen Dank!
Ich glaube ich hab's jetzt verstanden. Und ich muss gestehen, wenn man's versteht, macht's auch irgendwie Spaß. 
Nochmal recht herzlichen Dank!
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> > Hallo,
> >
> > ich weiß nicht recht, was Du mit "kann mir da
> > einfach einen Eigenvektor raus nehmen" meinst. Wofür
> > willst Du den herausnehmen?
> > In dem Eigenraum sind unendlich viele Vektoren,
> nämlich
> > alle Vielfachen des von Dir berechneten Vektors. Dieser ist
> > eine Basis des Eigeraumes. Du könntest aber ebensogut
> > einen anderen als Basis nehmen.
>
> Mir ist klar, dass wenn ich Eigenvektoren berechnen muss,
> ich dann schlussendlich einen Vektorraum angebe, in dem
> dann all meine Eigenvektoren liegen. Wenn ich jetzt nun
> aber explizit einen Eigenvektor als angeben soll, dann kann
> ich das doch auch. oder?
Hallo,
ja klar, wenn die Chefs Dich auffordern, einen Eigenvektor anzugeben, dann gibst Du ihn an.
Wenn Du zehn sagen sollst, sagst Du ihnen zehn.
Wenn Du allerdings fünf linear unabhängige sagen sollst, dann mußt Du den Chefs sagen, daß das nicht klappen kann.
>
> > > Für
> > > den
> > > zweiten Eigenwert kann ich keinen Eigenvektor finden,
> > > weswegen [mm]E_{\lambda_2}=\vektor{0\\
0\\
0}[/mm] ist.
> > Nein, das ist kraus.
> > Es ist [mm]Eig_2,[/mm] der Eigenraum zum Eigenwert 2, der Raum
> > [mm]<\vektor{1\\
2\\
3}>=\vektor{1\\
2\\
3}\IR.[/mm]
>
> Ok. Dann gibt man in dem Fall einfach den Eigenraum für
> den entsprechenden Eigenwert an, in dem dann alle
> Eigenvektoren liegen.
Ja.
Gruß v. Angela
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