Anzahl der Nullstellen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:54 Mi 15.08.2007 | | Autor: | Wehm |
| Aufgabe | Sei $V = [p [mm] \in \IR[/mm] [t]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
: \mbox{grad p} \le 3 ] $ der Raum der reellen Polynome vom Grad \le 3
Zeigen Sie, dass durch <p,q> := p(0)q(0) + p(1)q(1) + p(2)q(2) + p(3)q(3) ein Skalarprodukt auf V definiert ist |
Hoi. Ich hab hier die unklare Lösung
$<p,q> = \sum^3_{i=0) p(i) q(i) $
<.,.> ist symmetrische Bilinearform auf V
$<p,p> = \sum^3_{i=0} (p(i))^2 > 0 \forall p \not= 0 $
$<p,p> = 0 \Leftrightarrow p(i) = 0 \forall i$
\Rightarrow p hat vier Nullstellen, aber der Grad \le 3. \Rightarrow p=0 und somit <.,.> auch positiv definit.
Verstehe ich nicht, warum sollen das den vier Nullstellen sein?
Ist das nicht eher ein Schreibfehler von mir und heißt $<p,p> = \sum^3_{i=0} (p(i)^2)^2 $
Ansonsten bitte ich um erklärung Danke
Wehm
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> Sei $V = [p [mm]\in \IR[/mm] [t]: [mm]\mbox{grad p} \le[/mm] 3 ] $ der Raum der reellen Polynome vom Grad [mm]\le[/mm] 3
> Zeigen Sie, dass durch <p,q> := p(0)q(0) + p(1)q(1) + p(2)q(2) + p(3)q(3) ein Skalarprodukt auf V definiert ist
> Hoi. Ich hab hier die unklare Lösung
>
> [mm] = \sum^3_{i=0) p(i) q(i)[/mm]
> <.,.> ist symmetrische Bilinearform auf V
> [mm] = \sum^3_{i=0} (p(i))^2 > 0 \forall p \not= 0[/mm]
>
> [mm] = 0 \Leftrightarrow p(i) = 0 \forall i[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] p hat vier Nullstellen, aber der Grad [mm]\le[/mm] 3. [mm]\Rightarrow[/mm] p=0 und somit <.,.> auch positiv definit.
> Verstehe ich nicht, warum sollen das den vier Nullstellen sein?
Gemäss Definition ist
[mm]=p(0)^2+p(1)^2+p(2)^2+p(3)^2[/mm]
wie Du weiter oben ja selbst geschrieben hast. Die rechte Seite dieser Gleichung kann doch sicherlich nur $0$ werden, wenn $p(0)=p(1)=p(2)=p(3)=0$ ist (die Werte von $p$ sind [mm] $\in \IR$, [/mm] daher sind die Quadrate dieser Werte jedenfalls [mm] $\geq [/mm] 0$; ist die Summe der Quadrate aber $=0$, so müssen alle diese Quadrate $=0$ sein). Also folgt, dass $p$ vier Nullstellen hat: eine bei 0, eine bei 1, eine bei 2 und eine bei 3.
> Ist das nicht eher ein Schreibfehler von mir und heißt [mm] = \sum^3_{i=0} (p(i)^2)^2[/mm]
Nein, das ist falsch. Was Du weiter oben geschrieben hast war durchaus richtig. Nur hast Du aus irgend einem Grund nicht die gewünschte Konsequenz draus ziehen mögen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:53 Mi 15.08.2007 | | Autor: | Wehm |
Hallo
> [mm]=p(0)^2+p(1)^2+p(2)^2+p(3)^2[/mm]
> wie Du weiter oben ja selbst geschrieben hast. Die rechte Seite dieser Gleichung kann doch sicherlich nur [mm]0[/mm] werden, wenn [mm]p(0)=p(1)=p(2)=p(3)=0[/mm] ist (die Werte von [mm]p[/mm] sind [mm]\in \IR[/mm], daher sind die Quadrate dieser Werte jedenfalls [mm]\geq 0[/mm]; ist die Summe der Quadrate aber [mm]=0[/mm], so
Das macht alles durchaus Sinn mit deiner guten Erklärung. Danke
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> > Ist das nicht eher ein Schreibfehler von mir und heißt [mm] = \sum^3_{i=0} (p(i)^2)^2[/mm]
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> Nein, das ist falsch. Was Du weiter oben geschrieben hast war durchaus richtig. Nur hast Du aus irgend einem Grund nicht die gewünschte Konsequenz draus ziehen mögen.
Problemfach Mathe halt ![[heul]](/images/smileys/heul.gif "[heul]")
Gruß,
Wehm
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