Anzahl der Teiler bis n < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:49 Mi 05.10.2011 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | Sei $j [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] und bezeichne $t(j)$ die Anzahl der Teiler von $j$. Bezeichne weiters $t'(n)$ die durchschnittliche Anzahl der Teiler von 1 bis n.
Man zeige nun die Gültigkeit der folgenden Implikation:
t'(n) := [mm] \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n [/mm] t(i) [mm] \Rightarrow [/mm] t'(n) = [mm] \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\left[ \frac{n}{i} \right] [/mm] |
Eigentlich scheint dieser Sachverhalt ziemlich klar zu sein, denn:
Sei dazu [mm] $a\in \mathbb{N}$ [/mm] beliebig (aber fest), von welcher wir wissen wollen, wie oft sie durch i teilbar ist. Dann ist doch klar, dass t(i) = a/i, bei i|a gilt. Wenn i nicht a teilt, dann muss man natürlich auf die nächstkleinere ganze Zahl abrunden, also gilt i.A. $t(i) = [mm] \left[ \frac{a}{i} \right] [/mm] $ . Einsetzten von t(i) in die Prämisse liefert doch sofort die Behauptung.
Es ist doch nichts mehr (wesentliches) zu zeigen. Jedoch wurde die Aufgabe mit (**) versehen (d.h. mittelschwer); dies kann ich nicht nachvollziehen.
Gibt es denn einen exakteren bzw. nicht so anschaulich-intuitiven Beweis dieser Tatsache?
Das ist doch so elemntar, dass man die Argumentationsketten doch nicht mehr weiter logisch zerlegen kann. Wer kann mich widerlegen? 
Würde mich über Hilfe freuen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:53 Do 06.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
anscheinend hast du "Anzahl der Teiler von i" nicht verstanden
was ist für dich die anzahl der Teiler von 6, von 7? und was hat die mit [n/i] zu tun ? n>7
Gruss leduart
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