Anzahl der Untergruppen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:57 Di 21.05.2013 | | Autor: | dawn1987 |
| Aufgabe | Ich habe die Gruppe G=SL(2,F7) mit der Ordnung [mm] 336=2^4*3*7 [/mm] gegeben.
Frage: Wie viele Untergruppen der Ordnung 7 gibt es in der Gruppe G? |
Also so weit bin ich gekommen:
Habe mit Hilfe der Sylow-Sätze die Anzahl der 7-Sylowuntergruppen auf 1 und 8 begrenzt.
Mir ist von einer vorherigen Teilaufgabe eine Untergruppe der Ordnung 7 bekannt.
Wenn ich zeige, dass es eine weitere Untergruppe der Ordnung 7 gibt, kann ich dann automatisch schon sagen, dass es 8 Untergruppen der Ordnung 7 gibt?
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moin,
ja, das ist eine gute Idee.
Alternativ kannst du auch verwenden, dass du genau eine $7$-Sylowgruppe hast, wenn diese ein Normalteiler ist.
Kannst du also ein $g [mm] \in [/mm] G$ und ein $h [mm] \in [/mm] H$ (deiner bereits gefundenen Untergruppe mit 7 Elementen) finden, sodass [mm] $ghg^{-1} \not\in [/mm] H$, so weißt du auch, dass du 8 Untergruppen mit 7 Elementen hast.
lg
Schadow
PS: Wenn du gar nicht weiter kommst gib am besten mal deine bereits gefundene UG mit 7 Elementen an. ;)
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