Anzahl der günstigen Fälle? < Kombinatorik < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 11:17 Mi 02.03.2011 | | Autor: | qwertyboy |
| Aufgabe | Ein Professor kann sich nur sehr schlecht die Namen seiner Studierenden
merken und ist sich dessen auch vollkommen bewusst. Da er sich um seine Studierenden sorgt, bemüht er sich sehr, sich die Namen seiner Studierenden immer einzuprägen. Eines Tages kommen vier neue Studentinnen in sein Seminar. Sie heißen Paula, Alissa, Julika
und Emma. Der Professor notiert sich die Namen und wiederholt diese den ganzen Abend vor dem nächsten Seminar. Am nächsten Tag als die Studentinnen wieder in seinem Seminar erscheinen, spricht er jede mit einem der vier Namen an, obgleich er nicht die leiseste Idee hat, welcher der vier auswendig gelernten Namen zu welcher Studentin gehört.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Studentinnen bei ihrem richtigen Namen angesprochen wird? |
Aus der Aufgabe ist nicht zu ersehen, ob der Professor die vier Studentinnen mit je unterschiedlichen Namen anspricht (Permutation ohne Wiederholung) oder mehrmals denselben Namen benutzt (Permutation mit Wiederholung). In Lösung der Aufgabe geht der Dozent von unterschiedlichen Namen aus und berechnet die Anzahl der möglichen Fälle der Namenszuweisung als
N(ges) = 24
Für meine Frage ist das aber unerheblich, denn sie betrifft den zweiten Teil der Lösung.
Um die Anzahl der günstigen Fälle zu bestimmen, zeichnet der Dozent einen Ereignisbaum und zählt die Fälle ab, in denen kein Name richtig ist. Aus dieser Zahl N(günstig) berechnet er dann die Wahrscheinlichkeit mit:
P(A) = N(günstig) / N(gesamt) = 9 / 24 = 0.375
Nun meine Frage:
Wie kann ich die Anzahl der günstigen Fälle ohne Abzählen im Ereignisbaum sondern rein rechnerisch bestimmen?
Ich bin für jeden Denkanstoß dankbar 
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Huhu,
rein rechnerisch wird das sicherlich ein wenig komplizierter.
In diesem kleinen endlichen Fall kannst du es dir auch rechnerisch noch herleiten, schön wirds aber trotzdem nicht. Warum nicht:
Bei der ersten Studentin ist die Sache noch recht einfach zu berechnen, dort ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie NICHT mit ihrem richtigen Namen angesprochen wird nämlich noch recht einfach anzugeben mit [mm] $\bruch{3}{4}$
[/mm]
Bei der zweiten sieht die Sache schon anders aus.
Dort hängt die Wahrscheinlichkeit nämlich davon ab, ob ihr Name bei der ersten Studentin genannt wurde, oder nicht.
Hier benötigst du dann die Formel der totalen Wahrscheinlichkeit.
Analog bei Studentin 3 und 4.
Es geht zwar, ist aber ein bisschen Schreibarbeit.
Interessanter ist da der Fall, es für eine beliebige Anzahl n von Studentinnen zu lösen und nicht nur für 4.
Die Frage kann man dann äquivalent formulieren zu: Wie wahrscheinlich ist es, dass eine Permutation von n Elementen (also ein Element aus [mm] S_n) [/mm] KEINEN Fixpunkt besitzt (denn dann würde eine Studentin mit ihrem Namen angesprochen werden).
Dies wird meist in der zweiten Hälfte von Stochastik I berechnet und ist gar nicht soooo trivial.
Aber so hast du schonmal eine Recherchemöglichkeit.
MFG,
Gono.
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