Anzahl erzeugenden Element < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:33 Fr 13.02.2015 | | Autor: | Orchis |
Hallo zusammen :),
ich frage mich das schon ziemlich lange, daher muss es jetzt mal raus: Ich habe festgestellt, dass es beim Suchen nach Isomorphismen hilfreich sein kann nach Erzeugern der Gruppen Ausschau zu halten. Nun frage ich mich:
(1) Gibt es ein Kriterium, woran man erkennt wie viele Erzeuger eine
Gruppe hat (zyklische Gruppen -> 1 Erzeuger, klar). z.B. könnte ich bei
der symmetrischen Gruppe [mm] S_8 [/mm] nicht ad-hoc sagen wie viele Erzeuger
die denn nun hat. (Oder ist das eine Sache der Erfahrung???)
(2) Wahrscheinlich eine sehr doofe Frage: Haben isomorphe Gruppen
immer die selbe Anzahl von Erzeugern?
Ich hoffe ihr könnt mit den Fragen etwas anfangen und ich bedanke mich schon mal im Voraus!!!
Orchis
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Hallo,
die kleinstmögliche Anzahl von Erzeugern nennt man den Rang einer Gruppe. Diesen zu berechnen, ist im Allgemeinen äußerst komplex. Informationen und Beispiele findest du etwa ![[]](/images/popup.gif) hier. Isomorphe Gruppen haben offensichtlich denselben Rang, das kannst du ja einmal versuchen, zu zeigen 
Um zu deinem Beispiel zu kommen: Man kann zeigen, dass $ [mm] S_n=\langle [/mm] (1,2), [mm] (1,2,3,\dots, [/mm] n) [mm] \rangle$, [/mm] also [mm] $\operatorname {rank}(S_n)=2$ [/mm] für $ [mm] n\ge [/mm] 3$.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:29 Sa 14.02.2015 | | Autor: | Orchis |
Vielen lieben Dank für die Antwort. Ich muss mir das mal eben durchlesen. Ich habe bisher nur vom Rang einer freien abelschen Gruppe gehört, was ja wieder nur ein Spezialfall gewesen wäre.
Zur Frage, warum isomorphe Gruppen gleich viele Erzeuger haben:
(Ich versuche das mal in Textform, so fällt es mir erst mal leichter)
Isomorphe Gruppen G und H haben gleiche Ordnung, also gleich viele Elemente. Jedes Element von G wird auf genau ein Element von H abgebildet (Bijektivität).
Angenommen Rang(G)=:m < n := Rang(H).
Zunächst mal weiß man ja, dass die minimale Anzahl an (verschiedenen!) Erzeugern gewählt werden muss, damit die ganze Gruppe erzeugt werden kann. Nimmt man weniger Erzeuger heraus, trifft man nicht mehr die ganze Gruppe.
Wenn wir nun also alle m Erzeuger von G auf m Erzeuger von H abbilden, (dann bleiben noch n-m Erzeuger aus H übrig) so werden Vielfache und Kombinationen von Erzeugern von G auf Vielfache und Kombinationen von Erzeugern von H abgebildet. Auf die letzten n-m Erzeuger wurde aber nicht abgebildet, da diese per Def. kein Vielfaches von anderen Erzeugern von H sind! Wegen der Bijektivität haben wir nun aber genau alle |G| Elemente von G auf |G| viele Elemente von H geschickt, obwohl noch nicht alle Elemente von H (nämlich zumind. die n-m verbleibenden Erzeuger) getroffen wurden. Widerspruch!
Somit muss m=n gelten.
Ich hoffe, das kann man so ungefähr entschlüsseln :D.
Das mit der symmetrischen Gruppe ist aber wirklich sehr, sehr hilfreich! Das ist zum Basteln von Isomorphismen wirklich sehr stark, wobei das aber für Untergruppen von [mm] S_n [/mm] nicht so einfach zu übernehmen ist.
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Ich würde einfach zeigen: Ist $ H $ ein Quotient von $ G $, so gilt [mm] $\operatornsme [/mm] {rank} [mm] H\le\operatorname [/mm] {rank} G $. Im Falle der Isomorphie erhält man [mm] $\operatorname{rank} G\le\operatorname [/mm] {rank} [mm] H\le\operatorname [/mm] {rank} G $ und damit Gleichheit.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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