Anzahl reeller Nullstellen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:25 Di 06.09.2011 | | Autor: | JanineH. |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Anzahl der reellen Nullstellen des Polynoms:
p(x) = [mm] \bruch{9}{10}x^{5}+\bruch{15}{16}x^{4}-\bruch{7}{2}x^{3}+\bruch{3}{8}x^{2}+\bruch{3}{2}x [/mm] -1 |
Hallo :)
lerne wieder Mathe :/ und bin bei einer ?"leichten"? Aufgabe hängen geblieben.
Man muss die Anzahl der reellen Nullstellen ermitteln.
Hier im Forum wurde mir damals der Tipp gegeben, dass man zunächst die Teiler der Konstante ermitteln muss.
Dazu muss man das Polynom vorher ganzzahlig machen.
Das habe ich dann getan:
0 = [mm] \bruch{9}{10}x^{5}+\bruch{15}{16}x^{4}-\bruch{7}{2}x^{3}+\bruch{3}{8}x^{2}+\bruch{3}{2}x [/mm] -1 |*80
0 = [mm] 72x^{5}+75x^{4}-280x^{3}+30x^{2}+120x-80
[/mm]
Nun die Polynomdivision, aber vorher eine Nullstelle raten.
Die Teiler der Zahl 80 sind: 1,2,4,5,8,10,16,20,40,80
Aber leider ist keine davon eine Nullstelle!
Kann mir jemand weiterhelfen?
schönen Tag noch!
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Hallo JanineH.
Versuch es doch mal mit Newton-Verfahren!
f ist die gegebne Funktion,
g ist die Ableitung von f,also g = f',
x = x-(f/g)
Hab eine Nullstelle berechnet,sie lautet:
1.314292781.
Hoffe,daß ich helfen konnte.
Grüße MarthaLudwig
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Mi 07.09.2011 | | Autor: | JanineH. |
Hi Ludwig,
erst mal danke für deine Antwort :)
Das Newton Verfahren ist ganz neu für mich.
Gestern abend habe ich es versucht anzuwenden, aber das klappt irgendwie nicht.
Als Ausgangswert habe ich 0 genommen und habe dann am Ende sehr große Zahlen rausbekommen (~95900,13)
Woher weiß man, welchen Anfangswert man nehmen muss? Braucht man dazu Talent oder kann man es erlernen? :D
LG
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Hallo JanineH,
> Das Newton Verfahren ist ganz neu für mich.
>
> Gestern abend habe ich es versucht anzuwenden, aber das
> klappt irgendwie nicht.
> Als Ausgangswert habe ich 0 genommen und habe dann am Ende
> sehr große Zahlen rausbekommen (~95900,13)
Hm. Dann hast Du irgend etwas falsch gemacht. Bei mir führt das Newtonverfahren mit dem Startwert 0 in 12 Schritten zu der Nullstelle, die MarthaLudwig angegeben hat.
Mit den Startwerten -1 bzw. -3 findest Du die beiden anderen Nullstellen, die hier ja auch schon im Thread stehen (von Nisse, meine ich).
> Woher weiß man, welchen Anfangswert man nehmen muss?
> Braucht man dazu Talent oder kann man es erlernen? :D
Nein, dafür kann man völlig untalentiert (oder gar vollkommen dämlich) sein, Hauptsache man hält sich an die Methode. Ein ideales Verfahren für Computer, die erfüllen beides ja ganz hervorragend.
Man darf nur nicht glauben, dass man so die nächstgelegene Nullstelle findet. Mit dem Startwert -1,8 kommst Du hier zur Nullstelle bei -0,813, mit dem Startwert -1,9 dagegen zur Nullstelle bei 1,314, und mit dem Startwert -2,1 zur noch fehlenden Nullstelle bei -2,519.
Das Newton-Verfahren geht von einem Anfangswert für x aus und berechnet dann den Schnittpunkt der Tangente an den Punkt x,f(x) mit der x-Achse. Dieser Schnittpunkt wird dann als neuer x-Wert genommen.
Wenn man nahe an einem Extrempunkt der Funktion startet, kann das eben Probleme verursachen, s.o. Da habe ich einfach mal neben dem lokalen Maximum bei x=-2 angesetzt.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:48 Di 06.09.2011 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie die Anzahl der reellen Nullstellen des
> Polynoms:
>
> p(x) =
> [mm]\bruch{9}{10}x^{5}+\bruch{15}{16}x^{4}-\bruch{7}{2}x^{3}+\bruch{3}{8}x^{2}+\bruch{3}{2}x[/mm]
> -1
> Hallo :)
>
> lerne wieder Mathe :/ und bin bei einer ?"leichten"?
> Aufgabe hängen geblieben.
> Man muss die Anzahl der reellen Nullstellen ermitteln.
> Hier im Forum wurde mir damals der Tipp gegeben, dass man
> zunächst die Teiler der Konstante ermitteln muss.
> Dazu muss man das Polynom vorher ganzzahlig machen.
> Das habe ich dann getan:
>
> 0 =
> [mm]\bruch{9}{10}x^{5}+\bruch{15}{16}x^{4}-\bruch{7}{2}x^{3}+\bruch{3}{8}x^{2}+\bruch{3}{2}x[/mm]
> -1 |*80
>
> 0 = [mm]72x^{5}+75x^{4}-280x^{3}+30x^{2}+120x-80[/mm]
>
> Nun die Polynomdivision, aber vorher eine Nullstelle
> raten.
> Die Teiler der Zahl 80 sind: 1,2,4,5,8,10,16,20,40,80
> Aber leider ist keine davon eine Nullstelle!
Was ist mit -1, -2, ... -80 ?
Gruß Abakus
> Kann mir jemand weiterhelfen?
>
> schönen Tag noch!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:42 Di 06.09.2011 | | Autor: | JanineH. |
hi abakus,
nein, die gehen leider auch nicht :(
Liebe Grüße
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> Bestimmen Sie die Anzahl der reellen Nullstellen des
> Polynoms:
Hallo,
es ist sehr verdächtig, daß hier nicht danach gefragt wird, wo die Nullstellen liegen, sondern lediglich nach ihrer Anzahl...
Bei solchen Fragestellungen sollte man sich generell davor hüten, blindlings loszurechnen bzw. man sollte die Rechnerei schnell abbrechen, wenn man merkt, daß es nicht gut funktioniert.
Ich bin mir sicher, daß Du nicht die Gleichung [mm] $\bruch{9}{10}x^{5}+\bruch{15}{16}x^{4}-\bruch{7}{2}x^{3}+\bruch{3}{8}x^{2}+\bruch{3}{2}x-1=0$ [/mm] lösen sollst.
Ich vermute, daß Du eher die Stetigkeit bedenken und etwas über den Verlauf des Graphen herausfinden sollst (z.B. Steigungsverhalten/Extrema), und anhand dessen Aussagen über die Anzahl der Nullstellen treffen sollst.
> Man muss die Anzahl der reellen Nullstellen ermitteln.
> Hier im Forum wurde mir damals der Tipp gegeben, dass man
> zunächst die Teiler der Konstante ermitteln muss.
Guter Tip - allerdings nur brauchbar bei normierten Polynomen, also bei solchen, bei denen vor der größten x-Potenz der Faktor 1 steht...
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:45 Di 06.09.2011 | | Autor: | Nisse |
Das kann ich nur bestätigen. Ein elektronisches Vögelchen hat mir verraten, dass die Nullstellen in etwa
X1 = -2.5191916219184045
X2 = -0.8131539971074116
X3 = 1.3142927808832305
betragen. Das sind Zahlen, auf die ich nicht durch raten gekommen wäre.
(Ich weiß, dass ich damit jetzt die Antwort "3 Nullstellen" vorweg nehme, aber der Lösungsweg ist hier ja das Interessante.)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 Mi 07.09.2011 | | Autor: | JanineH. |
Hi angela,
danke für deine Antwort.
Gestern hat mein Internet Probleme gemacht, sonst hätte ich schon gestern geantwortet.
Du meinst sicher folgendes:
Die Extremstellen bestimmen und dann mit der ersten Ableitung schauen, ob zwischen den Extremstellen ein Vorzeichenwechsel stattfindet oder nicht.
Dann kann man damit auf die Anzahl der Nullstellen schliesen.
Ich habe gestern abend noch die Lösung von meiner Freundin ausgeliehen und kopiert.
Leider verstehen wir sie nicht so ganz.
http://s1.directupload.net/file/d/2640/f74rh83c_jpg.htm
In der Lösung wurde die erste Ableitung gebildet.
Dann hat man eine Nullstelle der ersten Ableitung gesucht und eine Polynomdivision gemacht. Das hat man dann drei mal gemacht.
Man hat dann die erste Ableitung anders aufgeschrieben und 4 Nullstellen rausbekommen.
Aber diese 4 Nullstellen sind ja nicht die Nullstellen der Stammfunktion, sondern eher die Extremstellen.
Kannst du mir das irgendwie erklären?
Danke =)
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> Gestern hat mein Internet Probleme gemacht, sonst hätte
> ich schon gestern geantwortet.
Ich glaube, da war ein Problem beim Matheraum-Server !
> Du meinst sicher folgendes:
>
> Die Extremstellen bestimmen und dann mit der ersten
> Ableitung schauen, ob zwischen den Extremstellen ein
> Vorzeichenwechsel stattfindet oder nicht.
> Dann kann man damit auf die Anzahl der Nullstellen
> schliesen.
>
> Ich habe gestern abend noch die Lösung von meiner Freundin
> ausgeliehen und kopiert.
> Leider verstehen wir sie nicht so ganz.
>
> http://s1.directupload.net/file/d/2640/f74rh83c_jpg.htm
>
> In der Lösung wurde die erste Ableitung gebildet.
> Dann hat man eine Nullstelle der ersten Ableitung gesucht
> und eine Polynomdivision gemacht. Das hat man dann drei mal
> gemacht.
> Man hat dann die erste Ableitung anders aufgeschrieben und
> 4 Nullstellen rausbekommen.
> Aber diese 4 Nullstellen sind ja nicht die Nullstellen der
> Stammfunktion, sondern eher die Extremstellen.
> Kannst du mir das irgendwie erklären?
Jedenfalls ist es aber sehr gut, dass man diese Nullstellen
leicht bestimmen kann, im Gegensatz zu den Nullstellen
der Funktion p selbst.
Wenn man die Nullstellen von p' hat, kann man die zuge-
hörigen Punkte des Graphen von f berechnen und (z.B. mittels
p'') klassifizieren (Hochpunkte / Tiefpunkte / ev. Terrassenpunkte).
Mit der entstandenen Übersicht (Zeichnung sehr empfehlens-
wert !!) ist dann auch leicht zu entscheiden, wie viele Nullstellen p
haben kann bzw. muss.
LG Al-Chw.
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> Bestimmen Sie die Anzahl der reellen Nullstellen des
> Polynoms:
>
> [mm] p(x)\ =\ \bruch{9}{10}x^{5}+\bruch{15}{16}x^{4}-\bruch{7}{2}x^{3}+\bruch{3}{8}x^{2}+\bruch{3}{2}x-1[/mm]
Hallo Janine,
wie Angela schon bemerkt hat, lohnt es sich hier nicht,
sich gleich auf die Berechnung der Nullstellen zu
stürzen. Diese sind ja gar nicht gefragt, sondern nur
ihre Anzahl. Anstatt die Nullstellen von p sucht man
besser die Nullstellen einer anderen Funktion ...
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:37 Mi 07.09.2011 | | Autor: | JanineH. |
Hi Al-Chwarizmi,
danke für deine Antwort!
Lies dir bitte meine Antwort zu angela´s Beitrag durch. Dort habe ich auch, glaube ich, deinen Tipp beantwortet :)
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Hallo Janina,
> p(x) = [mm]\bruch{9}{10}x^{5}+\bruch{15}{16}x^{4}-\bruch{7}{2}x^{3}+\bruch{3}{8}x^{2}+\bruch{3}{2}x[/mm] -1
Da es nicht darum geht die Nullstellen exakt zu bestimmen, möchte ich hier auch noch ds Stichwort "Vorzeichenregel von Descartes" einwerfen. Diese erleichtert das alles nicht, aber es ist nützlich sie zu kennen:
Die Anzahl aller positiven Nullstellen eines reellen Polynoms ist gleich der Anzahl der Vorzeichenwechsel seiner Koeffizientenfolge oder um eine gerade natürliche Zahl kleiner als diese. Dabei wird jede Nullstelle entsprechend ihrer Vielfachheit gezählt.
Hier ist die Zahl dieser Vorzeichenwechsel 3. Es kann also nur 1 oder 3 reelle positive Nullstellen geben.
Analog kann man durch Betrachten des Polynoms
[mm] p(-x)=-\bruch{9}{10}x^{5}+\bruch{15}{16}x^{4}+\bruch{7}{2}x^{3}+\bruch{3}{8}x^{2}-\bruch{3}{2}x-1
[/mm]
Aussagen über die Anzahl der negativen reellen Nullstellen treffen. Hier kommen also nur 0 oder 2 negative Nullstellen von p(x) in Frage.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Mi 07.09.2011 | | Autor: | JanineH. |
Hi kamaleonti,
danke für den Tipp!
Leider verstehe ich es nicht so ganz.
Was ist, wenn man 7 Vorzeichenwechsel hat?
Das Polynom hat dann entweder 7 Nullstellen oder 7 - x = y Nullstellen?
Welche gerade und positive Zahl muss man denn nun für x einsetzen?
7 - 2 = 5
7 - 4 = 3
7 - 6 = 1
Also entweder 7, 5, 3 oder eine Nullstelle?
Ist das so richtig?
Danke =)
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Hallo Janina,
> danke für den Tipp!
> Leider verstehe ich es nicht so ganz.
>
> Was ist, wenn man 7 Vorzeichenwechsel hat?
> Das Polynom hat dann entweder 7 Nullstellen oder 7 - x = y
> Nullstellen?
Es geht erstmal nur um positive Nullstellen. Für x kannst du nur gerade Zahlen einsetzen.
> Welche gerade und positive Zahl muss man denn nun für x
> einsetzen?
>
> 7 - 2 = 5
> 7 - 4 = 3
> 7 - 6 = 1
>
> Also entweder 7, 5, 3 oder eine Nullstelle?
> Ist das so richtig?
Jo ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") .
Wie auch von Al nochmal ausführlich erläutert, ist das allerdings keine praktikable Methode für diese Aufgabe. Da helfen dir die anderen Antworten besser weiter.
LG
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> Da es nicht darum geht die Nullstellen exakt zu bestimmen,
> möchte ich hier auch noch ds Stichwort "Vorzeichenregel
> von Descartes" einwerfen. Diese erleichtert das alles
> nicht, aber es ist nützlich sie zu kennen:
>
> Die Anzahl aller positiven Nullstellen eines reellen
> Polynoms ist gleich der Anzahl der Vorzeichenwechsel seiner
> Koeffizientenfolge oder um eine gerade natürliche Zahl
> kleiner als diese. Dabei wird jede Nullstelle entsprechend
> ihrer Vielfachheit gezählt.
Hallo kamaleonti,
eine solche Regel anzuwenden, würde Sinn machen,
wenn man sie irgendwann einmal behandelt und ver-
standen hat.
Meines Wissens ist aber diese Regel weitgehend aus
der Mode gekommen und wird kaum noch irgendwo
in der Schule behandelt. Außerdem bestimmt sie die
Anzahl der positiven Nullstellen nur soweit, dass eine
maximale Anzahl und die Parität der Anzahl bestimmt
wird. Ebenso für die negativen Nullstellen.
Im vorliegenden Beispiel könnte man schließen:
[mm] \bullet [/mm] insgesamt max. 5 Nullstellen (Grad)
[mm] \bullet [/mm] minimal eine Nullstelle (weil der Grad 5 ungerade ist)
[mm] \bullet [/mm] Nullstelle x=0 liegt nicht vor
[mm] \bullet [/mm] Descartes: [mm] $\quad\begin{cases} positive\ Nullstellen:\ drei\ oder\ eine\\ negative Nullstellen:\ zwei\ oder\ keine
\end{cases}$
[/mm]
Da die Nullstellen in der Regel von Descartes in ihren
Vielfachheiten gezählt werden, kämen z.B. auch zwei
(verschiedene) positive Nullstellen (eine einfache und
eine doppelte) oder eine einzige (doppelte) negative Null-
stelle in Frage.
Für die gesamte Anzahl der Nullstellen bleiben damit
die Möglichkeiten 1, 2, 3, 4, 5 offen. Eliminiert ist
also einzig und allein die Möglichkeit, dass gar keine
Nullstelle vorliegt. Dies hätte man aber schon ganz
allein daraus schließen können, dass das Polynom p
einen ungeraden Grad hat.
Netto-Nutzen der Regel von Descartes in diesem
Fall also gleich Null ...
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:05 Mi 07.09.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Hallo Al,
> Netto-Nutzen der Regel von Descartes in diesem Fall also gleich Null ...
Ja, das war mir ziemlich klar. Weil ich es zum allgemeinen Problem - Nullstellenbestimmtung - als wissenswert erachtet habe, hab ichs trotzdem mal hier reingeschrieben.
LG
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