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Forum "Kombinatorik" - Anzahl regulärer Matrizen
Anzahl regulärer Matrizen < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Anzahl regulärer Matrizen: Ideenmangel
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:01 Mi 15.02.2012
Autor: clemenum

Aufgabe
(a) Wie viele [mm] $n\times [/mm] n $ - Matrizen mit Einträgen $Q:= [mm] \{1,2,\ldots, q-1\}$ [/mm] gibt es?  
(b) Sei [mm] $q\in \mathbb{P} [/mm] .$ Wie viele reguläre Matrizen gibt es über Q? (Mit anderen Worten: Wie viele Matrizen aus (a) haben eine Determinante, welche nicht durch $q$ teilbar ist?


Zu (a).
Dies ist recht einfach:
Für jede einzelne Eintragung gibt es genau $|Q|$  Möglichkeiten. Da es [mm] $n^2$ [/mm]  Eintragungen in den besagten Matrizen gibt, gibt es insgesamt [mm] $q^{n^2}$ [/mm] Matrizen mit Eintragungen aus $Q$.

Zu (b).
Ahm, ich betrachte der Anschauung/Einfachheit halber einmal [mm] $2\times [/mm] 2 $ Matrizen.  Ich versuche die Frage indirekt zu beantworten und zwar: Seien $a,b,c,d [mm] \in \Q$ [/mm]  die Eintragungen der Matrix.  Wie viele singuläre Matrizen gibt es? Wann ist also ad = bc ? Die Differenz zu meiner vorigen Überlegung liefert dann natürlich die Antwort.

Die Frage ist nur, wie finde ich die Anzahl der Lösungen der Gleichung heraus? Ich muss sie ja in Q lösen... habe leider keine Idee und bitte euch um einen kleinen Hinweis. :-)


        
Bezug
Anzahl regulärer Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:56 Mi 15.02.2012
Autor: wieschoo

Eine Matrix ist regulär <=> ihre Spaltenvektoren (Zeilenvektoren) sind linear unabhängig.

Daher ist die äquivalente Fragestellung
Wie viel Möglichkeiten gibt es n linear unabhängig Vektoren über Q zu wählen.

Das ist der Ansatz.

gruß
wieschoo

Bezug
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