Anzahl von Punkten in Ebene < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:23 Mo 18.07.2011 | | Autor: | Biensche |
| Aufgabe | Wir betrachten den Körper [mm] \IF_{p}:= \IZ /p\IZ [/mm] für eine Primzahl p.
1.) Wie viele Punkte besitzt die affine Ebene [mm] \IF^2_{p} [/mm] (mit Begründung)?
2.) Wie viele Punkte besitzt die projektive Ebene [mm] \IF_{p}P^2 [/mm] ?
3. )Wie viele Punkte besitzt eine Gerade in [mm] \IF_{p}P^2 [/mm] ? |
Hallo!
Ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe. Ich weiß, um welchen Körper es sich handelt und dass er p Elemente besitzt.
Allerdings weiß ich nicht, wie ich auf die Anzahl der Punkte in der jeweiligen Ebene kommen soll.
zu 1.)
Ich weiß:
Wenn eine Gerade in der affinen Ebene [mm] \mathcal{A} [/mm] genau n Punkte besitzt, dann gibt es genau [mm] n^2 [/mm] Punkte und [mm] n^2+n [/mm] Geraden in [mm] \mathcal{A}.
[/mm]
Bringt mich diese Überlegung weiter?
zu 2. und 3.)
ich weiß:
Wenn [mm] \mathcal{P} [/mm] eine projektive Ebene mit endlich vielen Punkten ist, dann gibt es ein n [mm] \ge [/mm] 2, so dass
a) jede Gerade genau n+1 Punkte trägt
b) die Anzahl der Punkte in [mm] \mathcal{P} n^2+n+1 [/mm] ist.
Wie komme ich nun auf das gesuchte n, damit ich die Anzahl der Punkte in der Ebene und auf einer Geraden angeben kann?
Vielen Dank schon mal im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:04 Di 19.07.2011 | | Autor: | statler |
Guten Morgen! Und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Wir betrachten den Körper [mm]\IF_{p}:= \IZ /p\IZ[/mm] für eine
> Primzahl p.
>
> 1.) Wie viele Punkte besitzt die affine Ebene [mm]\IF^2_{p}[/mm]
> (mit Begründung)?
>
> 2.) Wie viele Punkte besitzt die projektive Ebene
> [mm]\IF_{p}P^2[/mm] ?
>
> 3. )Wie viele Punkte besitzt eine Gerade in [mm]\IF_{p}P^2[/mm] ?
> Hallo!
>
> Ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe. Ich weiß, um
> welchen Körper es sich handelt und dass er p Elemente
> besitzt.
> Allerdings weiß ich nicht, wie ich auf die Anzahl der
> Punkte in der jeweiligen Ebene kommen soll.
>
> zu 1.)
> Ich weiß:
> Wenn eine Gerade in der affinen Ebene [mm]\mathcal{A}[/mm] genau n
> Punkte besitzt, dann gibt es genau [mm]n^2[/mm] Punkte und [mm]n^2+n[/mm]
> Geraden in [mm]\mathcal{A}.[/mm]
> Bringt mich diese Überlegung weiter?
Die auch, aber in der Aufgabenstellung steht doch die affine Ebene als Punktmenge hingeschrieben: [mm] $\IF^2_{p} [/mm] = [mm] \IF_{p} \times \IF_{p}$. [/mm] Damit solltest du das ausrechnen können. Oder andersrum: Wie sieht denn eine Gerade in [mm] $\IF^2_{p}$ [/mm] aus? Das sind alle Vielfachen eines von 0 verschiedenen (Richtungs-)Vektors plus einem festen (Stütz-)Vektor. Also gibt es wieviele Punkte auf einer Geraden?
> zu 2. und 3.)
> ich weiß:
> Wenn [mm]\mathcal{P}[/mm] eine projektive Ebene mit endlich vielen
> Punkten ist, dann gibt es ein n [mm]\ge[/mm] 2, so dass
> a) jede Gerade genau n+1 Punkte trägt
> b) die Anzahl der Punkte in [mm]\mathcal{P} n^2+n+1[/mm] ist.
>
> Wie komme ich nun auf das gesuchte n, damit ich die Anzahl
> der Punkte in der Ebene und auf einer Geraden angeben
> kann?
Weißt du, wie affine und projektive Ebene zusammenhängen? Dann sollten 2) und 3) klar sein.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Di 19.07.2011 | | Autor: | Biensche |
Vielen Dank für deine Hilfe.
Ich habe noch eine Frage zu 2 und 3.
Mir ist klar, dass es einen Zusammenhang zwischen affinen und projektiven Ebenen gibt; allerdings ist mir nicht ganz klar ( und das wurde es in der Vorlesung allgemein nicht), worin er besteht.
Ich war der Meinung, dass eine affine Ebene [mm] \mathcal{A} [/mm] in eine projektive Ebene [mm] \mathcal{P} [/mm] eingebettet ist. Ist das richtig so oder irre ich mich?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:13 Fr 22.07.2011 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Ich habe noch eine Frage zu 2 und 3.
> Mir ist klar, dass es einen Zusammenhang zwischen affinen
> und projektiven Ebenen gibt; allerdings ist mir nicht ganz
> klar ( und das wurde es in der Vorlesung allgemein nicht),
> worin er besteht.
>
> Ich war der Meinung, dass eine affine Ebene [mm]\mathcal{A}[/mm] in
> eine projektive Ebene [mm]\mathcal{P}[/mm] eingebettet ist. Ist das
> richtig so oder irre ich mich?
Das Wort 'einbetten' würde ich da eher nicht benutzen. Aber der Zusammenhang ist so, daß ich der affinen Ebene für jede Äquivalenzklasse von parallelen Geraden einen 'unendlich fernen' Punkt hinzufüge, der auf allen Geraden dieser Äquivalenzklasse liegt. Und dann bilde ich noch eine 'unendlich ferne' Gerade, die aus genau diesen hinzugefügten Punkten besteht.
Wenn die affine Ebene endlich ist, füge ich also n+1 Punkte und 1 Gerade hinzu. Aus dem affinen Minimalmodell mit 4 Punkten und 6 Geraden wird die projektive ![[]](/images/popup.gif) Fano-Ebene mit 7 Punkten und 7 Geraden.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:32 Fr 22.07.2011 | | Autor: | Biensche |
Vielen Dank für deine Hilfe. Jetzt ist mir das Ganze doch klarer geworden:)
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