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Anzahl von p - Sylowgruppen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:47 Mo 11.05.2020
Autor: Andrejtrikolor

Aufgabe
Sei $G$ eine Gruppe.


a) Bestimmen Sie mit Hilfe der Sylowsätze für

i) [mm] $\vert [/mm] G [mm] \vert [/mm] = 40$

ii) [mm] $\vert [/mm] G [mm] \vert [/mm] = 56$


die Anzahl der $p$ - Sylowgruppen für alle $p$ Primteiler der Gruppenordnung.


b) Eine Gruppe heißt einfach, wenn sie nur die trivialen Normalteiler [mm] $\{e_{G} \}$ [/mm] und $G$ enthält.

Zeigen Sie unter Verwendung von Aufgabenteil a), dass Gruppen $G$ der Ordnung


i) [mm] $\vert [/mm] G [mm] \vert [/mm] = 40$

ii) [mm] $\vert [/mm] G [mm] \vert [/mm] = 56$


nicht einfach sind.

Hallo Matheraum!


Ich bräuchte Hilfe bei einer Aufgabe (oben). Ich habe versucht, so weit es geht, einen anständigen Ansatz zu bekommen.

Ich komme leider bei  der Bestimmung der Anzahl der $p$ - Sylowgruppen nicht weiter.

So weit bin ich bis jetzt gekommen:

a)


i)

Durch Primfaktorzerlegung ergibt sich $40 = [mm] 2^{3} \cdot [/mm] 5$.


Nach dem 3. Sylowsatz gilt:


[mm] $s_{2} \vert [/mm] 40$, d.h. [mm] $\exists k_{1} \in \mathbb{N}: [/mm] 40 = [mm] s_{2} \cdot k_{1}$ [/mm]

[mm] $s_{2} \equiv 1\; mod\; [/mm] 2$, d.h. $ [mm] s_{2} [/mm] = 2 [mm] \cdot s_{2} [/mm] + 1 $


[mm] $s_{5} \vert [/mm] 40$, d.h. [mm] $\exists k_{2} \in \mathbb{N}: [/mm] 40 = [mm] s_{5} \cdot k_{2}$ [/mm]

[mm] $s_{5} \equiv 1\; mod\; [/mm] 5$, d.h. $ [mm] s_{5} [/mm] = 5 [mm] \cdot s_{5} [/mm] + 1 $


Die Lösungen für die oberen zwei Gleichungen sind  [mm] $s_{2} [/mm] = 5 $ und [mm] $s_{2} [/mm] = 1$.

Es gibt also entweder $5$ $2$ - Sylowgruppen oder nur eine $2$ - Sylowgruppe ? Oder können auch beide Fälle eintreten, wobei ich mich dann frage, wie soll das gehen ?


Wie kann man denn entscheiden, welcher Fall tatsächlich auftritt ?





Die Lösung für die unteren zwei Gleichungen ist [mm] $s_{5} [/mm] = 1 $.


Das heißt, es gibt nur eine $5$ - Sylowgruppe.




Die ii) wird ja dann analog gehen, wenn ich einmal verstanden habe, die man die Anzahl der $2$ - Sylowgruppen bestimmt.


Zu b)


In a) habe ich herausgefunden, dass die Gruppe $G$ mit [mm] $\vert [/mm] G [mm] \vert [/mm] = 40$ eine einzige $3$ - Sylowgruppe besitzt.

Und ich weiß, dass wenn es nur eine $3$ - Sylowgruppe gibt, dann muss diese $3$ - Sylowgruppe ein Normalteiler von $G$ sein.

Aber dieser Normalteiler hat $3$ Elemente und kann also nicht ein trivialer Normalteiler sein.

Also ist $G$ mit [mm] $\vert [/mm] G [mm] \vert [/mm] = 40$ nicht einfach.



Die ii) wird hier ebenfalls analog gehen.


Ich würde mich auf eine Antwort freuen!


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Anzahl von p - Sylowgruppen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:39 Mo 11.05.2020
Autor: hippias


> Sei [mm]G[/mm] eine Gruppe.
>  
>
> a) Bestimmen Sie mit Hilfe der Sylowsätze für
>  
> i) [mm]\vert G \vert = 40[/mm]
>  
> ii) [mm]\vert G \vert = 56[/mm]
>  
>
> die Anzahl der [mm]p[/mm] - Sylowgruppen für alle [mm]p[/mm] Primteiler der
> Gruppenordnung.
>  
>
> b) Eine Gruppe heißt einfach, wenn sie nur die trivialen
> Normalteiler [mm]\{e_{G} \}[/mm] und [mm]G[/mm] enthält.
>
> Zeigen Sie unter Verwendung von Aufgabenteil a), dass
> Gruppen [mm]G[/mm] der Ordnung
>
>
> i) [mm]\vert G \vert = 40[/mm]
>  
> ii) [mm]\vert G \vert = 56[/mm]
>  
>
> nicht einfach sind.
>  Hallo Matheraum!
>  
>
> Ich bräuchte Hilfe bei einer Aufgabe (oben). Ich habe
> versucht, so weit es geht, einen anständigen Ansatz zu
> bekommen.
>  
> Ich komme leider bei  der Bestimmung der Anzahl der [mm]p[/mm] -
> Sylowgruppen nicht weiter.
>  
> So weit bin ich bis jetzt gekommen:
>  
> a)
>  
>
> i)
>  
> Durch Primfaktorzerlegung ergibt sich [mm]40 = 2^{3} \cdot 5[/mm].
>  
>
> Nach dem 3. Sylowsatz gilt:
>  
>
> [mm]s_{2} \vert 40[/mm], d.h. [mm]\exists k_{1} \in \mathbb{N}: 40 = s_{2} \cdot k_{1}[/mm]
>  
> [mm]s_{2} \equiv 1\; mod\; 2[/mm], d.h. [mm]s_{2} = 2 \cdot s_{2} + 1[/mm]
>  

Du darfst hier keinesfalls [mm] $s_{2}$ [/mm] auf der rechten Seite der Gleichung verwenden.

>
> [mm]s_{5} \vert 40[/mm], d.h. [mm]\exists k_{2} \in \mathbb{N}: 40 = s_{5} \cdot k_{2}[/mm]
>  
> [mm]s_{5} \equiv 1\; mod\; 5[/mm], d.h. [mm]s_{5} = 5 \cdot s_{5} + 1[/mm]
>  

dito

>
> Die Lösungen für die oberen zwei Gleichungen sind  [mm]s_{2} = 5[/mm]
> und [mm]s_{2} = 1[/mm].
>  
> Es gibt also entweder [mm]5[/mm] [mm]2[/mm] - Sylowgruppen oder nur eine [mm]2[/mm] -
> Sylowgruppe ? Oder können auch beide Fälle eintreten,
> wobei ich mich dann frage, wie soll das gehen ?

Ja, es gibt Gruppen der Ordnung $40$, die genau eine $2$-Sylowgruppe besitzen; aber auch solche, die genau $5$ $2$-Sylowgruppen besitzen.

Kannst Du ein Beispiel für jeden der Fälle angeben? Dies ist bei dieser Aufgabe mit "bestimmen" gemeint. Beispielsweise hat im Fall $|G|=6$ die zyklische Gruppe [mm] $C_{6}$ [/mm] genau eine $2$-Sylowgruppe und die symmetrische Gruppe [mm] $S_{3}$ [/mm] genau $3$ $2$-Sylowgruppen.

>  
>
> Wie kann man denn entscheiden, welcher Fall tatsächlich
> auftritt ?
>  

s.o.

>
>
>
>
> Die Lösung für die unteren zwei Gleichungen ist [mm]s_{5} = 1 [/mm].
>  
>
> Das heißt, es gibt nur eine [mm]5[/mm] - Sylowgruppe.
>

Richtig.

>
>
>
> Die ii) wird ja dann analog gehen, wenn ich einmal
> verstanden habe, die man die Anzahl der [mm]2[/mm] - Sylowgruppen
> bestimmt.
>  
>
> Zu b)
>  
>
> In a) habe ich herausgefunden, dass die Gruppe [mm]G[/mm] mit [mm]\vert G \vert = 40[/mm]
> eine einzige [mm]3[/mm] - Sylowgruppe besitzt.

Vertippt?

>  
> Und ich weiß, dass wenn es nur eine [mm]3[/mm] - Sylowgruppe gibt,
> dann muss diese [mm]3[/mm] - Sylowgruppe ein Normalteiler von [mm]G[/mm]
> sein.
>  
> Aber dieser Normalteiler hat [mm]3[/mm] Elemente und kann also nicht
> ein trivialer Normalteiler sein.
>  
> Also ist [mm]G[/mm] mit [mm]\vert G \vert = 40[/mm] nicht einfach.
>  
>
>
> Die ii) wird hier ebenfalls analog gehen.
>  

Richtig.

>
> Ich würde mich auf eine Antwort freuen!
>  
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


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