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Appr. stet. Fkt. d. Treppenfkt: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:04 So 08.06.2014
Autor: Lustique

Aufgabe
Sei $X$ ein Banachraum, $I = [a, b] [mm] \subset \mathbb{R}$ [/mm] ein Intervall, sowie $B(I, X)$ ausgestattet mit der Norm

[mm] $\lVert f\rVert_\infty [/mm] = [mm] \sup_{t\in [a, b]} \lVert f(t)\rVert_X$ [/mm]

der Banachraum der beschränkten Funktionen [mm] $f\colon [/mm] I [mm] \to [/mm] X$. Weiterhin sei $C(I, X) = [mm] \{f \in B(I, X) : f \text{ ist stetig} \}$ [/mm] der abgeschlossene Unterraum der stetigen Funktionen [...]

Aufgabe:

Sei $D [mm] \subset [/mm] B(I, X)$ der Raum aller Treppenfunktionen

$f(t) = [mm] \sum_{k=1}^n x_k \chi_{[a_{k-1}, a_k]}(t), \quad t\in[a, [/mm] b]$

mit [mm] $n\in \mathbb{N}_0,\; x_1,\dotsc, x_n \in [/mm] X$ (wohl eher $n [mm] \in \mathbb{N}^\times$?), [/mm] sowie [mm] $a=a_0 Zeigen Sie, dass jede stetige Funktion sich durch Funktionen aus $D$ approximieren lässt, d.h. es gilt $C(I, [mm] X)\subset \overline{D}$. [/mm]



Hallo zusammen,
ich habe vielleicht eine Lösung für die Aufgabe gefunden, denke aber, dass ich mir da das Ganze wohl viel zu einfach mache, da ich irgendwie bspw. gar nicht benutze, dass $C(I, X)$ ein BR ist (zumindest nicht direkt).

Meine Lösung geht wie folgt:

Sei [mm] $f\in [/mm] C(I, X)$ beliebig aber fest, [mm] $a=a_0
[mm] $f_n(t) [/mm] := [mm] \sum_{k=1}^n f(\xi_k) \chi_{[a_{k-1}, a_k]}(t)$ [/mm] für irgendwelche [mm] $\xi_k \in (a_{k-1}, a_k]$. [/mm]

Dann gilt

[mm] $\lVert f-f_n\rVert_\infty [/mm] = [mm] \sup_{t\in [a, b]} \lVert [/mm] f(t) - [mm] f_n(t)\rVert_X [/mm] = [mm] \max_{t\in [a, b]} \lVert [/mm] f(t) - [mm] f_n(t)\rVert_X$, [/mm] denn $[a, b]$ ist kompakt und $f$ ist stetig, also ist $f([a, b])$ kompakt, und [mm] $f_n$ [/mm] nimmt nur endlich viele Werte an. Also

[mm] $\exists t'\in [/mm] [a, b], [mm] \exists [/mm] k'(n) = k' = 0, [mm] \dotsc, [/mm] n$, so dass [mm] $t'\in (a_{k'-1}, a_{k'}] \ni \xi_{k'} \quad \forall n\in\mathbb{N}$, [/mm] und damit

[mm] $\max_{t\in [a, b]} \lVert [/mm] f(t) - [mm] f_n(t)\rVert_X= \lVert [/mm] f(t') - [mm] f_n(t')\rVert_X [/mm] = [mm] \lVert [/mm] f(t') - [mm] f(\xi_{k'})\rVert_X \to [/mm] 0, [mm] \quad n\to\infty$, [/mm] da $f [mm] \in [/mm] C(I, X)$. Damit ist (vielleicht) alles gezeigt.

Nun meine Fragen: Ist meine Vorgehensweise so grundsätzlich in Ordnung? Muss ich tatsächlich keine weiteren Voraussetzungen benutzen? Ich sehe so spontan kein wirkliches Problem mit meiner Argumentation, denke aber, dass es so (einfach) wohl (garantiert) nicht funktionieren wird. Ich hoffe mal, ich habe mir hier keine allzu großen Fauxpas geleistet und hoffe auf eure Hilfe.

        
Bezug
Appr. stet. Fkt. d. Treppenfkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:39 So 08.06.2014
Autor: hippias


> Sei [mm]X[/mm] ein Banachraum, [mm]I = [a, b] \subset \mathbb{R}[/mm] ein
> Intervall, sowie [mm]B(I, X)[/mm] ausgestattet mit der Norm
>  
> [mm]\lVert f\rVert_\infty = \sup_{t\in [a, b]} \lVert f(t)\rVert_X[/mm]
>
> der Banachraum der beschränkten Funktionen [mm]f\colon I \to X[/mm].
> Weiterhin sei [mm]C(I, X) = \{f \in B(I, X) : f \text{ ist stetig} \}[/mm]
> der abgeschlossene Unterraum der stetigen Funktionen [...]
>
> Aufgabe:
>
> Sei [mm]D \subset B(I, X)[/mm] der Raum aller Treppenfunktionen
>
> [mm]f(t) = \sum_{k=1}^n x_k \chi_{[a_{k-1}, a_k]}(t), \quad t\in[a, b][/mm]
>
> mit [mm]n\in \mathbb{N}_0,\; x_1,\dotsc, x_n \in X[/mm] (wohl eher [mm]n \in \mathbb{N}^\times[/mm]?),
> sowie [mm]a=a_0
> Zeigen Sie, dass jede stetige Funktion sich durch
> Funktionen aus [mm]D[/mm] approximieren lässt, d.h. es gilt [mm]C(I, X)\subset \overline{D}[/mm].
>  
>
> Hallo zusammen,
> ich habe vielleicht eine Lösung für die Aufgabe gefunden,
> denke aber, dass ich mir da das Ganze wohl viel zu einfach
> mache, da ich irgendwie bspw. gar nicht benutze, dass [mm]C(I, X)[/mm]
> ein BR ist (zumindest nicht direkt).
>
> Meine Lösung geht wie folgt:
>
> Sei [mm]f\in C(I, X)[/mm] beliebig aber fest, [mm]a=a_0
> eine Partition von [mm][a, b][/mm]. Definiere:
>
> [mm]f_n(t) := \sum_{k=1}^n f(\xi_k) \chi_{[a_{k-1}, a_k]}(t)[/mm]
> für irgendwelche [mm]\xi_k \in (a_{k-1}, a_k][/mm].
>
> Dann gilt
>
> [mm]\lVert f-f_n\rVert_\infty = \sup_{t\in [a, b]} \lVert f(t) - f_n(t)\rVert_X = \max_{t\in [a, b]} \lVert f(t) - f_n(t)\rVert_X[/mm],
> denn [mm][a, b][/mm] ist kompakt und [mm]f[/mm] ist stetig, also ist [mm]f([a, b])[/mm]
> kompakt,

Wozu brauchst du die Kompaktheit des Bildes von $f$?

> und [mm]f_n[/mm] nimmt nur endlich viele Werte an.

Ja.

> Also
>
> [mm]\exists t'\in [a, b], \exists k'(n) = k' = 0, \dotsc, n[/mm], so
> dass [mm]t'\in (a_{k'-1}, a_{k'}] \ni \xi_{k'} \quad \forall n\in\mathbb{N}[/mm],
> und damit

Das verstehe ich ueberhaupt nicht. Dem nachfolgenden entnehme ich, dass du sagen moechtest, dass das Maximum angenommen wird. Das ist richtig.

>
> [mm]\max_{t\in [a, b]} \lVert f(t) - f_n(t)\rVert_X= \lVert f(t') - f_n(t')\rVert_X = \lVert f(t') - f(\xi_{k'})\rVert_X \to 0, \quad n\to\infty[/mm],
> da [mm]f \in C(I, X)[/mm]. Damit ist (vielleicht) alles gezeigt.

Warum sollte dies gelten? Nur weil die maximale Differenz angenommen wird? Da muesste sich so gut wie jede Funktion [mm] $:[0,1]\to [/mm] [0,1]$ durch eine Treppenfunktion approximieren lassen. Beachte auch, dass $t'$ von $n$ abhaengt.

Deine Idee finde ich aber gut. Du wirst das Problem in den Griff bekommen,  wenn du dich daran erinnerst, dass stetige Funktionen auf kompakten Intervall "besonders stetig" sind.  

>
> Nun meine Fragen: Ist meine Vorgehensweise so
> grundsätzlich in Ordnung? Muss ich tatsächlich keine
> weiteren Voraussetzungen benutzen? Ich sehe so spontan kein
> wirkliches Problem mit meiner Argumentation, denke aber,
> dass es so (einfach) wohl (garantiert) nicht funktionieren
> wird. Ich hoffe mal, ich habe mir hier keine allzu großen
> Fauxpas geleistet und hoffe auf eure Hilfe.  


Bezug
                
Bezug
Appr. stet. Fkt. d. Treppenfkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:45 So 08.06.2014
Autor: Lustique

Hallo,

> > denn [mm][a, b][/mm] ist kompakt und [mm]f[/mm] ist stetig, also ist [mm]f([a, b])[/mm]
> > kompakt,
> Wozu brauchst du die Kompaktheit des Bildes von [mm]f[/mm]?

Ich habe mir gedacht, die benötige ich, damit ich argumentieren kann, dass das Supremum angenommen wird.

> > und [mm]f_n[/mm] nimmt nur endlich viele Werte an.
> Ja.
>  > Also

> >
> > [mm]\exists t'\in [a, b], \exists k'(n) = k' = 0, \dotsc, n[/mm], so
> > dass [mm]t'\in (a_{k'-1}, a_{k'}] \ni \xi_{k'} \quad \forall n\in\mathbb{N}[/mm],
> > und damit
> Das verstehe ich ueberhaupt nicht. Dem nachfolgenden
> entnehme ich, dass du sagen moechtest, dass das Maximum
> angenommen wird. Das ist richtig.

Hier habe ich nur versucht möglichst formal aufzuschreiben, dass das Supremum angenommen wird, indem ich für $f$ ein $t'$ finde, was dann wohl tatsächlich von $n$ abhängt, und ein entsprechendes Intervall [mm] $(a_{k-1}, a_k]$ [/mm] zur gegebenen Zerlegung von $[a, b]$, so dass $t'$ in dem Intervall liegt.

> > [mm]\max_{t\in [a, b]} \lVert f(t) - f_n(t)\rVert_X= \lVert f(t') - f_n(t')\rVert_X = \lVert f(t') - f(\xi_{k'})\rVert_X \to 0, \quad n\to\infty[/mm],
> > da [mm]f \in C(I, X)[/mm]. Damit ist (vielleicht) alles gezeigt.

> Warum sollte dies gelten? Nur weil die maximale Differenz
> angenommen wird? Da muesste sich so gut wie jede Funktion
> [mm]:[0,1]\to [0,1][/mm] durch eine Treppenfunktion approximieren
> lassen. Beachte auch, dass [mm]t'[/mm] von [mm]n[/mm] abhaengt.

Die Idee war, dass mit $t'$ nahe an [mm] $\xi_{k'}$ [/mm] (da ja für [mm] $n\to \infty$ [/mm] die Partition immer "feiner" wird, da ja [mm] $\lVert [/mm] t' - [mm] \xi_{k'}\rVert_X \leqslant \max_{k=1, \dotsc, n} |a_{k-1} [/mm] - [mm] a_k|$) [/mm] auch $f(t')$ nahe an [mm] $f(\xi_{k'})$ [/mm] gilt, und das ist ja für Funktionen, die nicht stetig sind, nicht unbedingt der Fall.

Muss ich hier vielleicht noch irgendwie den Satz von Banach-Steinhaus (Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit) verwenden? Das würde zumindest erklären, dass $X$ als BR vorausgesetzt ist, es sei denn das ist nur für die folgenden Aufgaben noch vonnöten, in denen es um banachraumwertige Riemann-Integrale und Differenzierbarkeit geht.

> Deine Idee finde ich aber gut. Du wirst das Problem in den
> Griff bekommen,  wenn du dich daran erinnerst, dass stetige
> Funktionen auf kompakten Intervall "besonders stetig" sind.

Ich nehme mal stark an, du meinst, dass $f$ auf $I$ gleichmäßig stetig ist. Wo denkst du denn, wäre das hier anwendbar?

Bezug
                        
Bezug
Appr. stet. Fkt. d. Treppenfkt: Zusatzfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:33 So 08.06.2014
Autor: Lustique

Ich habe da gerade noch eine Frage zur Aufgabe:

Da ich in den folgenden Aufgaben auf meinem Aufgabenzettel noch mehrmals diese Approximation benutzen muss, frage ich mich, ob es sinnvoll ist, die Approximation so allgemein zu formulieren, oder ob es besser wäre, eine konkrete Zerlegung des Intervalls zur Approximation heranzuziehen, beispielsweise in folgender Form:

[mm] $a_k [/mm] = a + [mm] k\cdot \frac{b-a}{2^n}$ [/mm] und dann [mm] $\xi_k [/mm] = [mm] f(a_k)$. [/mm]

Bezug
                                
Bezug
Appr. stet. Fkt. d. Treppenfkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:05 Mo 09.06.2014
Autor: hippias

Das ist ohne weitere Informationen schwer zu sagen. Ich vermute, dass irgendeine Approximation ausreichend sein word.

Bezug
                                
Bezug
Appr. stet. Fkt. d. Treppenfkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:05 Mo 09.06.2014
Autor: fred97


> Ich habe da gerade noch eine Frage zur Aufgabe:
>
> Da ich in den folgenden Aufgaben auf meinem Aufgabenzettel
> noch mehrmals diese Approximation benutzen muss, frage ich
> mich, ob es sinnvoll ist, die Approximation so allgemein zu
> formulieren, oder ob es besser wäre, eine konkrete
> Zerlegung des Intervalls zur Approximation heranzuziehen,
> beispielsweise in folgender Form:
>
> [mm]a_k = a + k\cdot \frac{b-a}{2^n}[/mm] und dann [mm]\xi_k = f(a_k)[/mm].  

Das ist völlig egal !  Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0. Dann gibt es ein [mm] \delta [/mm] > 0 mit

   |f(x)-f(z)| < [mm] \varepsilon [/mm]  für alle x,z [mm] \in [/mm] [a,b]  mit -z|< [mm] \delta. [/mm]

Wähle die Partition [mm] a_0,....,a_n [/mm] so fein , dass [mm] a_j-a_{j-1} [/mm] < [mm] \delta [/mm]  für j=1,....,n.

Setze nun

[mm] t(x):=f(a_{j-1}), [/mm] falls x [mm] \in [a_{j-1},a_j) [/mm]  und t(b)=f(b).

Zeige, dass t das Gewünschte leistet.

FRED


Bezug
                        
Bezug
Appr. stet. Fkt. d. Treppenfkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:03 Mo 09.06.2014
Autor: hippias


> Ich nehme mal stark an, du meinst, dass [mm]f[/mm] auf [mm]I[/mm]
> gleichmäßig stetig ist. Wo denkst du denn, wäre das hier
> anwendbar?  

Genau. Diese liefert dir naemlich die Konvergenz der zu konstruierenden Folge von Treppenfunktionen gegen $f$. Sei z.B. [mm] $\delta>0$ [/mm] so, dass $|f(x)-f(y)|<1$ falls [mm] $|x-y|<\delta$. [/mm] Sei [mm] $(a_{i})_{i=1}^{n}$ [/mm] Partition des Intervalls mit [mm] $a_{i+1}-a_{i}<\delta$, $i=1,\ldots, [/mm] n-1$. Definiere Treppenfunktion $g:= [mm] \sum_{i=1}^{n-1} f(a_{i})\chi_{[a_{i}, a_{i+1}]}$. [/mm] Sei $x$ beliebig. Dann gibt genau ein $i$ mit [mm] $x\in[a_{i},a_{i+1}]$ [/mm] und daher [mm] $|f(x)-g(x)|\ldots <\ldots$. [/mm]  

Bezug
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