matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra - MatrizenApproximation
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Matrices" - Approximation
Approximation < Matrices < Uni-LinA u. Algebra < University < Maths <
View: [ threaded ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Matrizen"  | ^^ all forums  | ^ Tree of Forums  | materials

Approximation: Aufgabe
Status: (Question) answered Status 
Date: 21:17 Di 22/05/2018
Author: sancho1980

Aufgabe
Das Gleichungssystem

Ax = b mit A = [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 1 & 2 }, [/mm] b = [mm] \pmat{ 1 \\ 3 } [/mm]

ist nicht lösbar. Finden Sie einen Vektor x, für den der Fehler [mm] \parallel [/mm] Ax − b [mm] \parallel [/mm] minimal ist. Ist x eindeutig? (Tipp: Zerlegen Sie b in eine Komponente parallel und orthogonal zu Bild(A).)


Hallo!

Die Lösung zu dieser Aufgabe ist laut Lehrbuch:

x = [mm] \pmat{ 2t + 2 \\ -t }, [/mm] t [mm] \in \IR [/mm]

Für mich leider nicht nachvollziehbar, wie man darauf kommt bzw. wie das die Lösung sein kann.

Egal welchen Vektor ich für x = [mm] \pmat{ x \\ y } [/mm] nehme, das Bild ist doch stets:

Ax = [mm] \pmat{ x + 2y \\ x + 2y } [/mm]

Der Einheitsvektor ist also

e [mm] =\bruch{1}{\wurzel{2}} \pmat{ 1 \\ 1 } [/mm]

Der Abstand zwischen Ax und b ist minimal für Ax = <e, b> e.

Also x = [mm] A^{-1} [/mm] <e, b> e.

Wieso kommt man dann auf die Lösung im Buch? Und was hat es mit t auf sich?

Gruß und Danke,

Martin

        
Bezug
Approximation: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 23:17 Di 22/05/2018
Author: Gonozal_IX

Hiho,

> Egal welchen Vektor ich für x = [mm]\pmat{ x \\ y }[/mm] nehme, das
> Bild ist doch stets:
>  
> Ax = [mm]\pmat{ x + 2y \\ x + 2y }[/mm]

[ok]
Damit ist also [mm] $\text{Bild}(A) [/mm] = [mm] \left\{ t\vektor{1 \\ 1}, t\in\IR\right\}$ [/mm]
Oder anders ausgedrückt, es gilt immer $Ax = [mm] t\vektor{1 \\ 1}$ [/mm] für geeignetes $t [mm] \in \IR$. [/mm]



> Der Abstand zwischen Ax und b ist minimal für Ax = <e, b>
> e.

Das mag sein, wo immer du das her hast.

> Also x = [mm]A^{-1}[/mm] <e, b> e.

Dein A ist doch gar nicht invertierbar, was soll dann [mm] A^{-1} [/mm] sein?
  

> Wieso kommt man dann auf die Lösung im Buch? Und was hat
> es mit t auf sich?

Wieso berücksichtigst du nicht den Hinweis?

Der liefert dir $b = [mm] 2\vektor{1 \\ 1} [/mm] + [mm] \vektor{-1 \\ 1}$ [/mm]

Damit ist:

$||Ax - b|| = [mm] \left|\left|(t-2)\vektor{1 \\ 1} + \vektor{ 1 \\ -1}\right|\right|$ [/mm]

1.) Für welches $t [mm] \in \IR$ [/mm] ist das nun minimal.
2.) Welche x erfüllen für dieses t dann $Ax = [mm] t\vektor{1 \\ 1}$ [/mm] und lösen damit das Minimalitätsproblem?

Gruß,
Gono



Bezug
                
Bezug
Approximation: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 23:35 Di 22/05/2018
Author: sancho1980


>  Dein A ist doch gar nicht invertierbar, was soll dann
> [mm]A^{-1}[/mm] sein?

Ja, voll dumm. Ist mir dann auch aufgefallen.

> > Der Abstand zwischen Ax und b ist minimal für Ax = <e, b>
> > e.
>  Das mag sein, wo immer du das her hast.

Aus meinem Buch. Da geht's in dem Kapitel um die orthogonale Projektion. Dass sich im [mm] \IR^2 [/mm] jeder beliebige Vektor x darstellen lässt als die Summe des Vielfachen [mm] (x_{\parallel}) [/mm] eines beliebigen Einheitsvektors e:

[mm] x_{\parallel} [/mm] = <e, b> e

und der zugehörigen Differenz

[mm] x_{\perp} [/mm] = b - [mm] x_{\parallel} [/mm]

Also b = [mm] x_{\parallel} [/mm] + [mm] x_{\perp} [/mm]

Da sich zeigen lässt, dass [mm] x_{\parallel} [/mm] und [mm] x_{\perp} [/mm] orthogonal zueinander sind, gibt es kein "besseres" Vielfaches von e.

Bezug
                        
Bezug
Approximation: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 23:44 Di 22/05/2018
Author: Gonozal_IX

Hiho,

> Aus meinem Buch. Da geht's in dem Kapitel um die
> orthogonale Projektion. Dass sich im [mm]\IR^2[/mm] jeder beliebige
> Vektor x darstellen lässt als die Summe des Vielfachen
> [mm](x_{\parallel})[/mm] eines beliebigen Einheitsvektors e:
>  
> [mm]x_{\parallel}[/mm] = <e, b> e
>  
> und der zugehörigen Differenz
>  
> [mm]x_{\perp}[/mm] = b - [mm]x_{\parallel}[/mm]
>  
> Also b = [mm]x_{\parallel}[/mm] + [mm]x_{\perp}[/mm]
>  
> Da sich zeigen lässt, dass [mm]x_{\parallel}[/mm] und [mm]x_{\perp}[/mm]
> orthogonal zueinander sind, gibt es kein "besseres"
> Vielfaches von e.

Aha… dann berechne doch mal [mm] $x_{\parallel}$ [/mm] und [mm] $x_{\perp}$! [/mm]
Und… oh wunder… da kommt das raus, was ich dir hingeschrieben hab.

Gruß,
Gono

Bezug
        
Bezug
Approximation: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 07:32 Mi 23/05/2018
Author: fred97

Eine Lösung nur mit Schulmathematik: die Bildmenge der von A vermittelten linearen Abb. ist die Gerade

$ g = [mm] \{ t\vektor{1 \\ 1}: t\in\IR\} [/mm] $.

Der kürzeste Abstand der Punkte auf g zum Punkt (1,3) wird im Punkt (2,2) angenommen. Das Minimierungsproblem [mm] \min ||A\vektor{x \\ y}-b|| [/mm] wird also von allen Vektoren [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] gelöst, die der Gleichung x+2y=2 genügen. Diese Punkte liegen auf einer Geraden [mm] g_0. [/mm]

Eine Parameterdarstellung von [mm] g_0 [/mm] lautet:

   [mm] \{ \pmat{ 2t + 2 \\ -t }: t\in \IR \}. [/mm]


Oder eine weitere Lösung:


$ [mm] ||A\vektor{x \\ y}-b||^2=2(x+2y)^2-8(x+2y) +10=2[(x+2y-2)^2+1]$. [/mm]

Damit wird [mm] ||A\vektor{x \\ y}-b|| [/mm] minimal [mm] \gdw [/mm] x+2y=2.



Bezug
View: [ threaded ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Matrizen"  | ^^ all forums  | ^ Tree of Forums  | materials


Alle Foren
Status vor 13m 5. Dom_89
DiffGlGew/Lösung der DGL bestimmen
Status vor 19m 7. Dom_89
ULinAAb/Kern und Bild bestimmen
Status vor 39m 3. Dom_89
SLinA/Eigenvektor bestimmen
Status vor 39m 6. Dom_89
DiffGlGew/Anfangswertaufgabe lösen
Status vor 45m 8. Dom_89
DiffGlGew/Anfangswertaufgabe lösen
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]