Approximation < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:06 Mo 14.01.2008 | | Autor: | tillll |
| Aufgabe | Ein Gerät enthält ein elektronisches Element, dessen Funktionieren für die Arbeit des Gerätes erforderlich ist. Fällt das Element aus, so wird es sofort durch ein Reserveelement ersetzt dieses ggf. durch ein weiteres Reserveelement usw. Aufgrund langjähriger Erfahrung weiß man, daß die zufälligen Lebensdauern der einzelnen Elemente als stochastisch unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswert µ = 50 Std. und Standardabweichung σ = 10 Std. modelliert werden können.
Bestimmen Sie (approximativ) die kleinstmögliche Anzahl von Reserveelementen, die erforderlich ist, um mit einer Mindestwahrscheinlichkeit von 0,99 eine ununterbrochene Arbeit des Gerätes über einen Zeitraum von 5000 Stunden zu garantieren. |
Leider fehlt mir hier jeglicher Ansatz!
Könnt ihr mir da weiterhelfen....Welchen Satz kann man hier anwenden?
(oder wie geht man hier generell vor?)
Für eure Hilfe wäre ich sehr dankbar ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:27 Mo 14.01.2008 | | Autor: | tillll |
[mm] E[X_i]=50, \sigma=10
[/mm]
-> [mm] Var_(X_i)=100 [/mm] $
[mm] S_n [/mm] = [mm] X_1 +...+X_n, [/mm] ist u.iv.
Gesucht:
n für das gilt: [mm] P[S_n>5000]\geq [/mm] 0.99
Es ist:
$ [mm] P[\bruch{S_n - n \cdot 50}{\wurzel{n\cdot 100}}>\bruch{5000 - n \cdot 50}{\wurzel{n\cdot 100}}]\geq [/mm] 0.99 $
und damit:
$ [mm] 1-\Phi(\bruch{5000 - n \cdot 50}{\wurzel{n\cdot 100}})\geq [/mm] 0.99 [mm] \gdw \Phi(\bruch{5000 - n \cdot 50}{\wurzel{n\cdot 100}})\leq [/mm] 0.01 $
$ [mm] \Phi(\bruch{5000 - 50n}{\wurzel{100n}}) \le [/mm] 0,01 [mm] \gdw \Phi(- \bruch{5000 - 50n}{\wurzel{100n}}) \ge [/mm] 0,99 [mm] \gdw \Phi(\bruch{5n - 500}{\wurzel{n}}) \ge [/mm] 0,99 $
Das gilt ab etwa $ [mm] \Phi(2,33) [/mm] $, also
$ [mm] \bruch{5n - 500}{\wurzel{n}} \ge [/mm] 2,33 $
n = 105
Ist so alles richtig? Kann man das so lassen, oder ist da noch ein (formaler) Fehler)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:39 Mo 14.01.2008 | | Autor: | luis52 |
> Das gilt ab etwa [mm]\Phi(2,33) [/mm], also
>
> [mm]\bruch{5n - 500}{\wurzel{n}} \ge 2,33[/mm]
> n = 105
>
>
> Ist so alles richtig? Kann man das so lassen, oder ist da
> noch ein (formaler) Fehler)
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Kannst du so lassen.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Mo 14.01.2008 | | Autor: | freakish |
Hallo,
ich sitze an derselben Aufgabe und haben deinen Lösungsweg verstanden, bis auf eine Sache: Warum ist es denn [mm] P[S_n>5000] [/mm] und nicht [mm] P[S_n=5000]? [/mm] Das hab ich so aus der Aufgabenstellung herausgelesen..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 Mo 14.01.2008 | | Autor: | luis52 |
> Hallo,
> ich sitze an derselben Aufgabe und haben deinen Lösungsweg
> verstanden, bis auf eine Sache: Warum ist es denn
> [mm]P[S_n>5000][/mm] und nicht [mm]P[S_n=5000]?[/mm] Das hab ich so aus der
> Aufgabenstellung herausgelesen..
Moin,
du willst ja [mm] $(S_n\ge 5000)=\overline{(S_n<5000)}$ [/mm] garantieren...
vg Luis
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