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| Aufgabe | Es soll ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] bestimmt werden, sodass die folgende Differenz kleiner als 0.01 ist:
[mm] $\left| \left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n} - \left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n+1} \right|.$
[/mm]
Beweisen Sie Ihr Ergebnis.
Für dieses n erhalten Sie eine Näherung für die Zahl e mit einem Fehler kleiner 0.01 vermittels:
[mm] $\left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n}$ [/mm] |
Hallo,
ich habe ehrlich gesagt keinen blaßen Schimmer, wie die Rechnung aussehen muss, deshalb versuche ich mir das zu erschließen und bitte um etwas Hilfe.
Ich glaube mein Hauptproblem ist der letzte Satz und es wäre sehr nett, wenn jemand kurz erklären könnte, was damit gemeint ist. Meine Verständnisprobleme:
- Ist mit "e" die Eulersche Zahl gemeint?
- Was sagt dieser "Hilfssatz" eigentlich aus?
In Wikipedia steht für die Eulersche Zahl u.a.:
$e = [mm] \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$
[/mm]
Die Gemeinsamkeit zu dieser Aufgabe sehe selbst ich, aber der obige Hilfssatz bereitet mir leider noch zu starke Probleme...
Vielen Dank.
Gruß
el_grecco
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> Es soll ein [mm]n \in \IN[/mm] bestimmt werden, sodass die folgende
> Differenz kleiner als 0.01 ist:
>
> [mm]\left| \left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n} - \left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n+1} \right|.[/mm]
>
> Beweisen Sie Ihr Ergebnis.
>
> Für dieses n erhalten Sie eine Näherung für die Zahl e
> mit einem Fehler kleiner 0.01 vermittels:
>
> [mm]\left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n}[/mm]
( das sollte wohl hier heißen: [mm]\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n\ =\ e[/mm] )
> Hallo,
>
> ich habe ehrlich gesagt keinen blaßen Schimmer, wie die
> Rechnung aussehen muss, deshalb versuche ich mir das zu
> erschließen und bitte um etwas Hilfe.
>
> Ich glaube mein Hauptproblem ist der letzte Satz und es
> wäre sehr nett, wenn jemand kurz erklären könnte, was
> damit gemeint ist. Meine Verständnisprobleme:
> - Ist mit "e" die Eulersche Zahl gemeint?
> - Was sagt dieser "Hilfssatz" eigentlich aus?
>
> In Wikipedia steht für die Eulersche Zahl u.a.:
>
> [mm]e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n[/mm]
Dies ist die übliche Definition der Eulerschen Zahl. Um zu
beweisen, dass dieser Grenzwert überhaupt existiert, zeigt
man beispielsweise, dass für die Folgen [mm] [/mm] und [mm] [/mm]
mit
$\ [mm] a_n\ [/mm] =\ [mm] \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$
[/mm]
$\ [mm] b_n\ [/mm] =\ [mm] \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$
[/mm]
folgende Aussagen gelten:
1.) Die Folge [mm] [/mm] ist streng monoton steigend.
2.) Die Folge [mm] [/mm] ist streng monoton fallend.
3.) [mm] a_n
3.) Die Differenzen [mm] b_n-a_n [/mm] streben gegen Null.
Daraus kann man schließen, dass die Folge [mm] [/mm] nach
oben und die Folge [mm] [/mm] nach unten beschränkt ist.
Beide Folgen haben denselben Grenzwert, den man dann
mit e bezeichnet. Für alle [mm] n\in\IN [/mm] gilt dann [mm] a_n
Wenn man also ein n findet mit [mm] b_n-a_n<0.01 [/mm] , so hat man
quasi die Zahl e in einem kleinen Intervall der Länge 0.01
"eingefangen" und damit auch den Zahlenwert von e mit
einem Fehler von maximal 0.01 bestimmt.
Für die praktische Suche nach einem geeigneten (genügend
großen) n würde ich dann einfach den Taschenrechner
benützen.
Der theoretisch wichtigere Teil der Aufgabe besteht im
Nachweis der oben erwähnten (nummerierten) Eigen-
schaften der Zahlenfolgen [mm] [/mm] und [mm] [/mm] .
LG Al-Chwarizmi
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| Aufgabe | Es soll ein [mm]n \in \IN[/mm] bestimmt werden, sodass die folgende Differenz kleiner als 0.01 ist:
[mm]\left| \left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n} - \left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n+1} \right|.[/mm]
Beweisen Sie Ihr Ergebnis.
Für dieses n erhalten Sie eine Näherung für die Zahl e mit einem Fehler kleiner 0.01 vermittels:
[mm]\left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n}[/mm] |
Vielen Dank, Al.
> > In Wikipedia steht für die Eulersche Zahl u.a.:
> >
> > [mm]e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n[/mm]
>
> Dies ist die übliche Definition der Eulerschen Zahl. Um
> zu
> beweisen, dass dieser Grenzwert überhaupt existiert,
> zeigt
> man beispielsweise, dass für die Folgen [mm][/mm] und
> [mm][/mm]
> mit
>
> [mm]\ a_n\ =\ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n[/mm]
>
> [mm]\ b_n\ =\ \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}[/mm]
>
> folgende Aussagen gelten:
>
> 1.) Die Folge [mm][/mm] ist streng monoton steigend.
>
> 2.) Die Folge [mm][/mm] ist streng monoton fallend.
>
> 3.) [mm]a_n
>
> 3.) Die Differenzen [mm]b_n-a_n[/mm] streben gegen Null.
Zur Sicherheit frage ich besser nach: verwendest Du hier das Erste Hauptkriterium?
Den Beweis mache ich so:
1.) [mm] $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n [/mm] < [mm] \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}$ [/mm] Ist das hiermit bereits erledigt?
2.) [mm] $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n [/mm] > [mm] \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}$
[/mm]
3.) Wenn ich das richtig verstanden habe, dann soll ich hier zeigen, dass die beiden Folgen [mm] $a_{n}$ [/mm] und [mm] $b_{n}$ [/mm] konvergieren. Das Erste Hauptkriterium sagt ja, dass "eine monoton wachsende (fallende) und nach oben (unten) beschränkte Folge stets konvergent ist, wobei der Grenzwert kleiner (größer) gleich der oberen (unteren) Schranke ist."
In 1.) und 2.) habe ich die Monotonie gezeigt, somit müsste ich also nur noch zeigen, dass [mm] $a_{n}$ [/mm] nach oben beschränkt und [mm] $b_{n}$ [/mm] nach unten beschränkt ist?
Falls ja, wie mache ich das?
4.) Ich muss also zeigen, dass [mm] $a_{n}-b_{n} \to [/mm] 0.$ Warum bilde ich hier die Differenz der beiden Folgen?
> Für die praktische Suche nach einem geeigneten (genügend
> großen) n würde ich dann einfach den Taschenrechner
> benützen.
> Der theoretisch wichtigere Teil der Aufgabe besteht im
> Nachweis der oben erwähnten (nummerierten) Eigen-
> schaften der Zahlenfolgen [mm][/mm] und [mm][/mm] .
Das Ende ist mir dann denke ich soweit klar und das habe ich in Wikipedia gefunden:
"Beispielsweise ergibt sich für den Grenzwert [mm] $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1{n}\right)^n=e$ [/mm] wegen der Abschätzung [mm] $\left(1+\frac1{n}\right)^n [/mm] < e < [mm] \left(1+\frac1{n}\right)^{n+1}$ [/mm] für $n=1000$ die Abschätzung [mm] $2{,}7169\ldots [/mm] < e < [mm] 2{,}7196\ldots$"
[/mm]
> LG Al-Chwarizmi
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:51 Fr 14.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
die Logik ist z.B. die:
Wenn man gezeigt hat, dass [mm] <$a_n$> [/mm] (mit [mm] $a_n:=(1+\;1/n)^n$ [/mm] für alle $n$) streng wächst, [mm] <$b_n$> [/mm] (mit [mm] $b_n:=(1+\;1/n)^{n+1}$) [/mm] streng fällt und [mm] $a_n \le b_n$ [/mm] für alle [mm] $n\,$ [/mm] gilt, kann man z.B. auf die Konvergenz von [mm] <$a_n$> [/mm] so schließen:
[mm] <$a_n$> [/mm] ist dann nach oben beschränkt, und zwar durch [mm] $b_1=2^2=4:$
[/mm]
Denn dann gilt doch für jedes [mm] $N\,,$ [/mm] dass [mm] $a_N \le b_N\,,$ [/mm] und weil [mm] <$b_n$> [/mm] streng fällt, gilt [mm] $b_N [/mm] < [mm] b_1\,,$ [/mm] also auch [mm] $a_N [/mm] < [mm] b_1=4\,.$ [/mm] Nach dem Hauptsatz über monotone Folgen konvergiert die streng wachsende und durch [mm] $b_1=4$ [/mm] nach oben beschränkte Folge [mm] <$a_n$>. [/mm] Analog siehst Du, dass [mm] <$b_n$> [/mm] durch [mm] $a_1=2\,$ [/mm] nach unten beschränkt ist. Und dass [mm] <$a_n$> [/mm] und [mm] <$b_n$> [/mm] auch gegen die gleiche Zahl konvergieren, folgt dann, wenn Du [mm] $a_n-b_n \to [/mm] 0$ gezeigt hast: Denn aus [mm] $a_n \to [/mm] a$ und [mm] $b_n \to [/mm] b$ folgt dann für jedes natürliche [mm] $n\,$ [/mm] vermittels Dreiecksungleichung $|a-b| [mm] \le |a-a_n|+|a_n-b_n|+|b_n-b|\,,$ [/mm] weil die rechte Seite dann gegen [mm] $0\,$ [/mm] strebt bei $n [mm] \to \infty\,,$ [/mm] die linke aber unabhängig von [mm] $n\,$ [/mm] ist, und dann aus [mm] $|a-b|=0\,$ [/mm] sofort [mm] $a=b\,$ [/mm] folgt.
(Das sollte einige der unten auftauchende Fragen beantworten.)
> Den Beweis mache ich so:
>
> 1.) [mm]\left(1+\frac{1}{n}\right)^n < \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}[/mm]
> Ist das hiermit bereits erledigt?
Nein. Du willst zeigen, dass [mm] <$a_n$> [/mm] streng monoton wächst. D.h. für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] ist doch
[mm] $$a_n [/mm] < [mm] a_{n+1}$$
[/mm]
zu zeigen. Das kann man nicht machen, indem man einfach sagt:
Ich schreibe das konkret hin und behaupte, dass die Ungleichung offensichtlich ist.
Die Ungleichung
[mm] $$(1+\;1/n)^n [/mm] < [mm] (1+\;1/(n+1))^{n+1}$$
[/mm]
hast Du ja gerade zu begründen. Und das ist nicht banal. Hier sind zwar die Basen auf beiden Seiten stets $> [mm] 1\,$ [/mm] und die Exponenten sind $> [mm] 0\,,$ [/mm] nur:
Bei der Ungleichung steht zwar rechterhand ein größerer Exponent, dafür ist aber die Basis linkerhand auch größer als die rechterhand. Und dann muss nicht zwingend ein [mm] $<\,$ [/mm] bei solchen Ausdrücken stehen, z.B. wäre etwas wie
[mm] $$3^2 [/mm] < [mm] 2^3$$
[/mm]
Unsinn. Da musst Du Dir schon mehr Gedanken machen.
> 2.) [mm]\left(1+\frac{1}{n}\right)^n > \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}[/mm]
Genau das gleiche Problem wie bei 1.).Eine Umformulierung der Aufgabe ohne Begründung, warum "das Umformulierte" dann gilt, ist kein Beweis der entsprechenden Aufgabe.
> 3.) Wenn ich das richtig verstanden habe, dann soll ich
> hier zeigen, dass die beiden Folgen [mm]a_{n}[/mm] und [mm]b_{n}[/mm]
> konvergieren. Das Erste Hauptkriterium sagt ja, dass "eine
> monoton wachsende (fallende) und nach oben (unten)
> beschränkte Folge stets konvergent ist, wobei der
> Grenzwert kleiner (größer) gleich der oberen (unteren)
> Schranke ist."
>
> In 1.) und 2.) habe ich die Monotonie gezeigt, somit
> müsste ich also nur noch zeigen, dass [mm]a_{n}[/mm] nach oben
> beschränkt und [mm]b_{n}[/mm] nach unten beschränkt ist?
> Falls ja, wie mache ich das?
Naja, zunächst:
Für jedes [mm] $n\,$ [/mm] ist
[mm] $$a_n=(1+\;1/n)^n [/mm] < [mm] (1+\;1/n)^{n+1}=b_n\,,$$
[/mm]
weil die Exponenten echt positiv sind und [mm] $(1+\;1/n)$ [/mm] stets auch $> 1$ ist. (Man sollte sich auch hier schon ein wenig Mühe machen, zu begründen, warum die Ungleichung so gilt. Sonst sagt jmd. einfach: Naja, aber [mm] $(1/2)^2 [/mm] < [mm] (1/2)^3$ [/mm] stimmt doch auch nicht. Warum stimmt das da denn? Man kann diese Ungleichung auf vielen Wegen begründen, mit Monotonie-Eigenschaften von gewissen Funktionen (z.B. ist für festes $r > 1$ die Funktion $x [mm] \mapsto r^x$ [/mm] auf [mm] $(0,\infty)$ [/mm] streng wachsend) und und und; ich habe oben Argumente für den Wahrheitsgehalt der Ungleichung geliefert, aber eine sehr einfache, andere und vielleicht bessere und überschaubarere Begründung scheint mir die folgende einfache Überlegung zu sein:
[mm] $$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n [/mm] < [mm] \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$$
[/mm]
[mm] $$\underset{\text{ da linke Seite }>0}{\gdw} [/mm] 1 < [mm] \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=1+\frac{1}{n}$$
[/mm]
und da die letzte Ungleichung offenbar für jedes natürliche [mm] $n\,$ [/mm] stimmt, folgt aus ihr durch Lesen des [mm] $\Leftarrow$'s [/mm] sofort die Behauptung.)
Dass und warum nun daraus für jedes natürliche [mm] $n\,$ [/mm] sofort [mm] $a_n \le b_1$ [/mm] folgt und dass daher [mm] <$a_n$> [/mm] durch [mm] $b_1=4$ [/mm] nach oben beschränkt ist, steht ja schon ganz oben.
> 4.) Ich muss also zeigen, dass [mm]a_{n}-b_{n} \to 0.[/mm] Warum
> bilde ich hier die Differenz der beiden Folgen?
S.o.
Wenn einem das gelingt, so kann man folgern, dass die beiden konvergenten Folgen [mm] <$a_n$> [/mm] und [mm] <$b_n$> [/mm] auch den gleichen Grenzwert haben!
> > Für die praktische Suche nach einem geeigneten (genügend
> > großen) n würde ich dann einfach den Taschenrechner
> > benützen.
> > Der theoretisch wichtigere Teil der Aufgabe besteht im
> > Nachweis der oben erwähnten (nummerierten) Eigen-
> > schaften der Zahlenfolgen [mm][/mm] und [mm][/mm] .
>
> Das Ende ist mir dann denke ich soweit klar und das habe
> ich in Wikipedia gefunden:
>
> "Beispielsweise ergibt sich für den Grenzwert
> [mm]\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1{n}\right)^n=e[/mm] wegen der
> Abschätzung [mm]\left(1+\frac1{n}\right)^n < e < \left(1+\frac1{n}\right)^{n+1}[/mm]
> für [mm]n=1000[/mm] die Abschätzung [mm]2{,}7169\ldots < e < 2{,}7196\ldots[/mm]"
>
> > LG Al-Chwarizmi
>
> Gruß
> el_grecco
>
P.S.:
Zur Monotonie von etwa [mm] <$a_n$>: [/mm] Siehe die Begründung in ![[]](/images/popup.gif) Beispiel 5.13. (Analog kann man auch die von [mm] <$b_n$> [/mm] nachrechnen.)
Gruß,
Marcel
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| Aufgabe | Es soll ein $ n [mm] \in \IN [/mm] $ bestimmt werden, sodass die folgende Differenz kleiner als 0.01 ist:
$ [mm] \left| \left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n} - \left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n+1} \right|. [/mm] $
Beweisen Sie Ihr Ergebnis.
Für dieses n erhalten Sie eine Näherung für die Zahl e mit einem Fehler kleiner 0.01 vermittels:
$ [mm] \left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n} [/mm] $ |
Vielen Dank Marcel, für Deinen starken Einsatz,
ich habe diese Aufgabe nach langer Suche in einem Lehrbuch gefunden, habe da aber teilweise Schwierigkeiten, die Rechnungen zu verstehen.
1.) Behauptung: Die Folge [mm] $a_{n}:=\left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n}$ [/mm] ist (streng) monoton steigend.
Beweis:
[mm] $\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n}=\left(\bruch{n+1}{n}\right)^{n}<\left(1+\bruch{1}{n+1}\right)^{n+1}=\left(\bruch{n+2}{n+1}\right)^{n+1}$
[/mm]
[mm] $\gdw \bruch{n}{n+1}=1-\bruch{1}{n+1}<\left( \bruch{n(n+2)}{(n+1)^{2}} \right)^{n+1}=\left( 1-\bruch{1}{(n+1)^{2}} \right)^{n+1}$
[/mm]
Der Teil vor dem Äquivalenzzeichen ist mir klar. Ich sehe dann aber nicht, wie man zu [mm] $\bruch{n}{n+1}$ [/mm] und [mm] \left( \bruch{n(n+2)}{(n+1)^{2}} \right)^{n+1} [/mm] gelangt?
Aber: [mm] $x:=-\bruch{1}{(n+1)^{2}}>-1,$ [/mm] also gilt nach der Bernoulli-Ungleichung [mm] $(1+x)^{n+1}>1+(n+1)x=1-\bruch{1}{n+1}$ [/mm] und die Behauptung folgt.
Ab dem "Aber" mus ich leider kapitulieren. Wozu braucht man noch dieses "Aber" und wieso definiert man das x ausgerechnet mit diesem Bruch? Eine kurze Erklärung in einfachen Worten wäre sehr nett.
2.) Behauptung: Die Folge [mm] $b_{n}:=\left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n+1}$ [/mm] ist (streng) monoton fallend.
Beweis:
Ähnlich wie oben gilt für $n [mm] \ge [/mm] 2:$
[mm] $\left( 1+\bruch{1}{n-1} \right)^{n}=\left( \bruch{n}{n-1} \right)^{n}>\left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n+1}=\left( \bruch{n+1}{n} \right)^{n+1}$
[/mm]
[mm] $\gdw \bruch{n+1}{n}=1+\bruch{1}{n}<\left( \bruch{n}{n-1}*\bruch{n}{n+1} \right)^{n}=\left( 1+\bruch{1}{n^{2}-1} \right)^{n}$
[/mm]
Auch hier sehe ich leider nicht, was nach dem Äquivalenzzeichen gemacht wurde...?
Aus der Bernoullischen Ungleichung folgt aber
[mm] $\left( 1+\bruch{1}{n^{2}-1} \right)^{n}>\left( 1+\bruch{1}{n^{2}} \right)^{n}>1+\bruch{1}{n}$ [/mm] und die Behauptung ist damit bewiesen.
3.) Behauptung: Die beiden Folgen [mm] $a_{n}$ [/mm] und [mm] $b_{n}$ [/mm] konvergieren.
Der Beweis ist mir hier dank Marcel klar.
4.) Behauptung: Die beiden Grenzwerte sind gleich.
Beweis:
> Und dass <[mm]a_n[/mm]>
> und <[mm]b_n[/mm]> auch gegen die gleiche Zahl konvergieren, folgt
> dann, wenn Du [mm]a_n-b_n \to 0[/mm] gezeigt hast: Denn aus [mm]a_n \to a[/mm]
> und [mm]b_n \to b[/mm] folgt dann für jedes natürliche [mm]n\,[/mm]
> vermittels Dreiecksungleichung [mm]|a-b| \le |a-a_n|+|a_n-b_n|+|b_n-b|\,,[/mm]
> weil die rechte Seite dann gegen [mm]0\,[/mm] strebt bei [mm]n \to \infty\,,[/mm]
> die linke aber unabhängig von [mm]n\,[/mm] ist, und dann aus
> [mm]|a-b|=0\,[/mm] sofort [mm]a=b\,[/mm] folgt.
Hierzu habe ich noch zwei Fragen:
1. Warum kann man nicht einfach zeigen, dass [mm] $a_{n}$ [/mm] gegen 0 konvergiert und [mm] $b_{n}$ [/mm] gegen 0 konvergiert?
2. (Etwas peinlich:) Ich kann leider nicht nachvollziehen, wie Du in die Dreiecksungleichung eingesetzt hast...?
> Gruß,
> Marcel
Nochmals vielen Dank, Marcel! 
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:24 So 16.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es soll ein [mm]n \in \IN[/mm] bestimmt werden, sodass die folgende
> Differenz kleiner als 0.01 ist:
>
> [mm]\left| \left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n} - \left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n+1} \right|.[/mm]
>
> Beweisen Sie Ihr Ergebnis.
>
> Für dieses n erhalten Sie eine Näherung für die Zahl e
> mit einem Fehler kleiner 0.01 vermittels:
>
> [mm]\left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n}[/mm]
> Vielen Dank Marcel, für
> Deinen starken Einsatz,
>
> ich habe diese Aufgabe nach langer Suche in einem Lehrbuch
> gefunden, habe da aber teilweise Schwierigkeiten, die
> Rechnungen zu verstehen.
>
> 1.) Behauptung: Die Folge [mm]a_{n}:=\left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n}[/mm]
> ist (streng) monoton steigend.
>
> Beweis:
>
> [mm]\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n}=\left(\bruch{n+1}{n}\right)^{n}<\left(1+\bruch{1}{n+1}\right)^{n+1}=\left(\bruch{n+2}{n+1}\right)^{n+1}[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{n}{n+1}=1-\bruch{1}{n+1}<\left( \bruch{n(n+2)}{(n+1)^{2}} \right)^{n+1}=\left( 1-\bruch{1}{(n+1)^{2}} \right)^{n+1}[/mm]
>
> Der Teil vor dem Äquivalenzzeichen ist mir klar. Ich sehe
> dann aber nicht, wie man zu [mm]\bruch{n}{n+1}[/mm] und [mm]\left( \bruch{n(n+2)}{(n+1)^{2}} \right)^{n+1}[/mm]
> gelangt?
das hast Du jetzt aber aus dem Buch so übernommen, oder? In dem von mir verlinkten Skript steht es nicht genauso...
Aber okay: Wenn Du die obere Ungleichung mit [mm] $\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}$ [/mm] multiplizierst, gelangst Du zu der darunterstehenden (daher gilt [mm] "$\Rightarrow$"), [/mm] und wenn Du die darunterstehende durch [mm] $\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}$ [/mm] teilst (bzw. mit [mm] $\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1}$ [/mm] miutliplizierst, was das gleiche ist), gelangst Du zu der darüberstehenden (daher gilt [mm] "$\Leftarrow$"). [/mm] Daher gilt die Äquivalenz. (Rechne es sicherheitshalber nochmal nach. Beachte auch sowas wie die Rechenregeln "für's Rechnen mit Potenzen".)
> Aber: [mm]x:=-\bruch{1}{(n+1)^{2}}>-1,[/mm] also gilt nach der
> Bernoulli-Ungleichung [mm](1+x)^{n+1}>1+(n+1)x=1-\bruch{1}{n+1}[/mm]
> und die Behauptung folgt.
>
> Ab dem "Aber" mus ich leider kapitulieren. Wozu braucht man
> noch dieses "Aber" und wieso definiert man das x
> ausgerechnet mit diesem Bruch? Eine kurze Erklärung in
> einfachen Worten wäre sehr nett.
Das [mm] $x\,$ [/mm] definiert man mit diesem Bruch, weil man dann anhand der Bernoulli-Ungleichung "eine wahre Aussage erkennt, die Dir hier weiterhilft". Ich mache Dir mal die Logik dahinter klar:
Nehmen wir an, wir wollen zeigen, dass eine Aussage [mm] $A\,$ [/mm] wahr ist. Jetzt formulieren wir diese um, indem wir irgendwas rechnen oder logisch folgern:
$$A [mm] \gdw A_1 \gdw A_2 \gdw... \gdw A_n\,.$$
[/mm]
Jetzt ist es zwar schön, dass wir das getan haben, wenn die Aussage [mm] $A_n$ [/mm] offensichtlich wahr ist (denn dann können wir folgern:
Wegen [mm] $A_n \Rightarrow A_{n-1} \Rightarrow \ldots \Rightarrow A_1 \Rightarrow [/mm] A$ gilt [mm] $A\,$), [/mm] aber es kann sein, dass der Wahrheitsgehalt der Aussage [mm] $A_n\,$ [/mm] auch noch nicht offensichtlich ist. Nun kann es aber sein, dass man (aus den Voraussetzungen und einem zusätzlichen Wissen evtl.) weiß, dass eine andere Aussage [mm] $B\,$ [/mm] offensichtlich gilt, und dass es eine Folgerungskette
$$B [mm] \Rightarrow B_1 \Rightarrow \ldots \Rightarrow B_m$$
[/mm]
gibt, und zudem
[mm] $$B_m \Rightarrow A_n$$
[/mm]
(einfach) zu erkennen ist. Dann hat man gewonnen, denn dann folgt die Aussage [mm] $A\,:$ [/mm]
Denn wegen
$$B [mm] \Rightarrow B_1 \Rightarrow \ldots B_m \Rightarrow A_n \Rightarrow A_{n-1} \Rightarrow \ldots \Rightarrow A_1 \Rightarrow [/mm] A$$
gilt dann [mm] $A\,.$ [/mm]
Bei Dir sieht dass dann so aus:
$$A [mm] \gdw A_1\,.$$
[/mm]
Aber die Aussage [mm] $A_1$ [/mm] ist nicht ganz trivial. Aber sie folgt aus der Bernoulli-Ungleichung.
Der eigentliche Beweis am Ende sieht dann so aus:
Wegen Bernoulli gilt [mm] $A_1$ [/mm] und wegen [mm] $A_1 \Rightarrow [/mm] A$ folgt daraus auch [mm] $A\,.$
[/mm]
Übrigens:
Strenggenommen sollte bei dem Beweis von Dir stehen:
Für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] definieren wir [mm] $x:=x_n:=\frac{1}{(n+1)^2}\,.$ [/mm] Dann gilt [mm] $x=x_n [/mm] > -1$ für jedes $n [mm] \in \IN\,,$ [/mm] so dass wir für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] nun auf [mm] $x_n$ [/mm] die Bernoulli-Ungleichung anwenden können (dort benötigt man ja die Voraussetzung $x > [mm] -1\,$). [/mm] Daraus folgt dann, dass in der obenstehenden Äquivalenzumformung die untere Ungleichung gilt, und durch lesen des [mm] "$\Leftarrow$" [/mm] liefert diese den Wahrheitsgehalt der oberen Ungleichung
[mm] $$\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n}=\left(\bruch{n+1}{n}\right)^{n}<\left(1+\bruch{1}{n+1}\right)^{n+1}=\left(\bruch{n+2}{n+1}\right)^{n+1}\,,$$
[/mm]
welche (nach Definition von [mm] <$a_n$>) [/mm] gleichwertig mit [mm] $a_n [/mm] < [mm] a_{n+1}$ [/mm] ist. Da $n [mm] \in \IN$ [/mm] beliebig war, ist [mm] <$a_n$> [/mm] (sogar streng) monoton steigend.
> 2.) Behauptung: Die Folge [mm]b_{n}:=\left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n+1}[/mm]
> ist (streng) monoton fallend.
>
> Beweis:
> Ähnlich wie oben gilt für [mm]n \ge 2:[/mm]
>
> [mm]\left( 1+\bruch{1}{n-1} \right)^{n}=\left( \bruch{n}{n-1} \right)^{n}>\left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n+1}=\left( \bruch{n+1}{n} \right)^{n+1}[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{n+1}{n}=1+\bruch{1}{n}<\left( \bruch{n}{n-1}*\bruch{n}{n+1} \right)^{n}=\left( 1+\bruch{1}{n^{2}-1} \right)^{n}[/mm]
>
> Auch hier sehe ich leider nicht, was nach dem
> Äquivalenzzeichen gemacht wurde...?
>
> Aus der Bernoullischen Ungleichung folgt aber
>
> [mm]\left( 1+\bruch{1}{n^{2}-1} \right)^{n}>\left( 1+\bruch{1}{n^{2}} \right)^{n}>1+\bruch{1}{n}[/mm]
> und die Behauptung ist damit bewiesen.
Analog zu 1.). (Wenn Du beachtest, dass der Autor bei der oberen Ungleichung [mm] $>\,$ [/mm] und bei der unteren [mm] $<\,$ [/mm] stehen hat und ein wenig guckst, siehst Du, dass er von oberen zur unteren Ungleichung kommt, indem er diese mit [mm] $\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}$ [/mm] multipliziert.)
Ich hoffe, dass es nun klar(er) ist?
> 3.) Behauptung: Die beiden Folgen [mm]a_{n}[/mm] und [mm]b_{n}[/mm]
> konvergieren.
>
> Der Beweis ist mir hier dank Marcel klar.
>
>
> 4.) Behauptung: Die beiden Grenzwerte sind gleich.
>
> Beweis:
>
> > Und dass <[mm]a_n[/mm]>
> > und <[mm]b_n[/mm]> auch gegen die gleiche Zahl konvergieren, folgt
> > dann, wenn Du [mm]a_n-b_n \to 0[/mm] gezeigt hast: Denn aus [mm]a_n \to a[/mm]
> > und [mm]b_n \to b[/mm] folgt dann für jedes natürliche [mm]n\,[/mm]
> > vermittels Dreiecksungleichung [mm]|a-b| \le |a-a_n|+|a_n-b_n|+|b_n-b|\,,[/mm]
> > weil die rechte Seite dann gegen [mm]0\,[/mm] strebt bei [mm]n \to \infty\,,[/mm]
> > die linke aber unabhängig von [mm]n\,[/mm] ist, und dann aus
> > [mm]|a-b|=0\,[/mm] sofort [mm]a=b\,[/mm] folgt.
>
> Hierzu habe ich noch zwei Fragen:
> 1. Warum kann man nicht einfach zeigen, dass [mm]a_{n}[/mm] gegen 0
> konvergiert und [mm]b_{n}[/mm] gegen 0 konvergiert?
Tun sie doch auch gar nicht. Dass beide gegen den gleichen Grenzwert konvergieren, heißt doch nicht, dass beide auch Nullfolgen sind. Hier konvergieren beide zudem auch gegen $e > [mm] 0\,.$
[/mm]
Es folgt auch nicht aus der Dreiecksungleichung, denn [mm] $a\,$ [/mm] war der Grenzwert von [mm] <$a_n$>, $b\,$ [/mm] der von [mm] <$b_n$> [/mm] und
[mm] $$|a-b|=0\,$$
[/mm]
sagt ja nur, dass [mm] $a-b=0\,$ [/mm] und damit [mm] $a=b\,$ [/mm] gelten muss. Nicht mehr und nicht weniger.
> 2. (Etwas peinlich:) Ich kann leider nicht nachvollziehen,
> wie Du in die Dreiecksungleichung eingesetzt hast...?
Sie wurde zweimal angewendet. Für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt erstmal:
[mm] $$|a-b|=|a-a_n+a_n-b| \le |a-a_n|+|a_n-b|$$
[/mm]
und zudem
[mm] $$|a_n-b|=|a_n-b_n+b_n-b| \le |a_n-b_n|+|b_n-b\,.|$$
[/mm]
Also insgesamt:
$$|a-b| [mm] \le |a-a_n|+|a_n-b| \le |a-a_n|+|a_n-b_n|+|b_n-b\,.|$$
[/mm]
> Nochmals vielen Dank, Marcel!
Gerne. 
Gruß,
Marcel
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| Aufgabe | Es soll ein $ n [mm] \in \IN [/mm] $ bestimmt werden, sodass die folgende Differenz kleiner als 0.01 ist:
$ [mm] \left| \left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n} - \left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n+1} \right|. [/mm] $
Beweisen Sie Ihr Ergebnis.
Für dieses n erhalten Sie eine Näherung für die Zahl e mit einem Fehler kleiner 0.01 vermittels:
$ [mm] \left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n} [/mm] $ |
Hallo Marcel,
ich habe die Beweise zu den Behauptungen 1.) und 2.) deshalb aus dem Buch übernommen, weil sie mir einfacher erschienen und weil die 2.) Behauptung im Gegensatz zum Skript hier schon ausformuliert ist.
Bei 1.) und 2.) habe ich leider noch immer Schwierigkeiten bei der Rechnung (zur besseren Übersicht habe ich die Zitatzeichen teilweise entfernt):
1.) Behauptung: Die Folge [mm]a_{n}:=\left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n}[/mm] ist (streng) monoton steigend.
Beweis:
[mm]\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n}=\left(\bruch{n+1}{n}\right)^{n}<\left(1+\bruch{1}{n+1}\right)^{n+1}=\left(\bruch{n+2}{n+1}\right)^{n+1}[/mm]
[mm]\gdw \bruch{n}{n+1}=1-\bruch{1}{n+1}<\left( \bruch{n(n+2)}{(n+1)^{2}} \right)^{n+1}=\left( 1-\bruch{1}{(n+1)^{2}} \right)^{n+1}[/mm]
> > Der Teil vor dem Äquivalenzzeichen ist mir klar. Ich sehe dann aber nicht, wie man zu [mm]\bruch{n}{n+1}[/mm] und [mm]\left( \bruch{n(n+2)}{(n+1)^{2}} \right)^{n+1}[/mm] gelangt?
> Wenn Du die obere Ungleichung mit
> [mm]\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}[/mm] multiplizierst, gelangst
> Du zu der darunterstehenden (daher gilt "[mm]\Rightarrow[/mm]"), und
> wenn Du die darunterstehende durch
> [mm]\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}[/mm] teilst (bzw. mit
> [mm]\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1}[/mm] miutliplizierst, was das
> gleiche ist), gelangst Du zu der darüberstehenden (daher
> gilt "[mm]\Leftarrow[/mm]"). Daher gilt die Äquivalenz. (Rechne es
> sicherheitshalber nochmal nach. Beachte auch sowas wie die
> Rechenregeln "für's Rechnen mit Potenzen".)
Wenn ich die obere Ungleichung also mit $ [mm] \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1} [/mm] $ (BTW: dient dieser Schritt "nur" dazu, um später im Beweis die Bernoulli-Ungleichung benutzen zu können...? Und warum multipliziert man mit diesem Faktor?) multipliziere, steht dann zunächst da:
[mm] $\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{2n+1}=\left(\bruch{n+1}{n}\right)^{2n+1}<\left(1+\bruch{1}{n+1}\right)^{n+1}*\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}=\left(\bruch{n+2}{n+1}\right)^{n+1}*\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}$
[/mm]
Ab hier komme ich leider nicht weiter... :-(
2.) Behauptung: Die Folge [mm]b_{n}:=\left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n+1}[/mm] ist (streng) monoton fallend.
Beweis:
Ähnlich wie oben gilt für [mm]n \ge 2:[/mm]
[mm]\left( 1+\bruch{1}{n-1} \right)^{n}=\left( \bruch{n}{n-1} \right)^{n}>\left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n+1}=\left( \bruch{n+1}{n} \right)^{n+1}[/mm]
[mm]\gdw \bruch{n+1}{n}=1+\bruch{1}{n}<\left( \bruch{n}{n-1}*\bruch{n}{n+1} \right)^{n}=\left( 1+\bruch{1}{n^{2}-1} \right)^{n}[/mm]
> > Auch hier sehe ich leider nicht, was nach dem Äquivalenzzeichen gemacht wurde...?
> Analog zu 1.). (Wenn Du beachtest, dass der Autor bei der
> oberen Ungleichung [mm]>\,[/mm] und bei der unteren [mm]<\,[/mm] stehen hat
> und ein wenig guckst, siehst Du, dass er von oberen zur
> unteren Ungleichung kommt, indem er diese mit
> [mm]\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}[/mm] multipliziert.)
> Ich hoffe, dass es nun klar(er) ist?
Wenn ich das Multiplizieren in der 1.) Behauptung kapiere, wird das kein Problem mehr sein. Ich wundere mich aber nur, warum sich das Gleichheitszeichen hier umdreht, obwohl man mit einem positiven Faktor multipliziert?
Ich bedanke mich (hoffentlich das letzte Mal in diesem Thread ) nochmals vielmals für Deine starke Hilfe bisher!
Gruß
el_grecco
P.S. Sollte weightgainer Recht haben (siehe seinen Beitrag in diesem Thread-Baum) wäre es wirklich äußerst Schade um die große Zeitinvestition. Meinst Du der Beweis dieser 4 Behauptungen ist überhaupt notwendig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:04 Mi 19.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es soll ein [mm]n \in \IN[/mm] bestimmt werden, sodass die folgende
> Differenz kleiner als 0.01 ist:
>
> [mm]\left| \left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n} - \left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n+1} \right|.[/mm]
>
> Beweisen Sie Ihr Ergebnis.
>
> Für dieses n erhalten Sie eine Näherung für die Zahl e
> mit einem Fehler kleiner 0.01 vermittels:
>
> [mm]\left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n}[/mm]
> Hallo Marcel,
>
> ich habe die Beweise zu den Behauptungen 1.) und 2.)
> deshalb aus dem Buch übernommen, weil sie mir einfacher
> erschienen und weil die 2.) Behauptung im Gegensatz zum
> Skript hier schon ausformuliert ist.
okay. Die 2. Behauptung wird im Skript ja auch nicht explizit bewiesen.
> Bei 1.) und 2.) habe ich leider noch immer Schwierigkeiten
> bei der Rechnung (zur besseren Übersicht habe ich die
> Zitatzeichen teilweise entfernt):
>
>
> 1.) Behauptung: Die Folge [mm]a_{n}:=\left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n}[/mm]
> ist (streng) monoton steigend.
>
> Beweis:
>
> [mm]\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n}=\left(\bruch{n+1}{n}\right)^{n}<\left(1+\bruch{1}{n+1}\right)^{n+1}=\left(\bruch{n+2}{n+1}\right)^{n+1}[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{n}{n+1}=1-\bruch{1}{n+1}<\left( \bruch{n(n+2)}{(n+1)^{2}} \right)^{n+1}=\left( 1-\bruch{1}{(n+1)^{2}} \right)^{n+1}[/mm]
>
> > > Der Teil vor dem Äquivalenzzeichen ist mir klar. Ich sehe
> dann aber nicht, wie man zu [mm]\bruch{n}{n+1}[/mm] und [mm]\left( \bruch{n(n+2)}{(n+1)^{2}} \right)^{n+1}[/mm]
> gelangt?
>
> > Wenn Du die obere Ungleichung mit
> > [mm]\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}[/mm] multiplizierst, gelangst
> > Du zu der darunterstehenden (daher gilt "[mm]\Rightarrow[/mm]"), und
> > wenn Du die darunterstehende durch
> > [mm]\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}[/mm] teilst (bzw. mit
> > [mm]\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1}[/mm] miutliplizierst, was das
> > gleiche ist), gelangst Du zu der darüberstehenden (daher
> > gilt "[mm]\Leftarrow[/mm]"). Daher gilt die Äquivalenz. (Rechne es
> > sicherheitshalber nochmal nach. Beachte auch sowas wie die
> > Rechenregeln "für's Rechnen mit Potenzen".)
>
> Wenn ich die obere Ungleichung also mit
> [mm]\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}[/mm] (BTW: dient dieser Schritt
> "nur" dazu, um später im Beweis die Bernoulli-Ungleichung
> benutzen zu können...? Und warum multipliziert man mit
> diesem Faktor?) multipliziere, steht dann zunächst da:
>
> [mm]\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{2n+1}=\left(\bruch{n+1}{n}\right)^{2n+1}<\left(1+\bruch{1}{n+1}\right)^{n+1}*\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}=\left(\bruch{n+2}{n+1}\right)^{n+1}*\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Ab hier komme ich leider nicht weiter... :-(
Ich habe gerade nicht soviel Zeit. Aber vielleicht klären sich die anderen Fragen ja auch, wenn sich diese hier geklärt hat:
Ich verstehe Deine Rechnung nämlich nicht, wie Du zu Deinen Ergebnissen kommst. Ausgangspunkt ist ja
$$\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n}=\left(\bruch{n+1}{n}\right)^{n}<\left(1+\bruch{1}{n+1}\right)^{n+1}=\left(\bruch{n+2}{n+1}\right)^{n+1}$$
Multipliziere ich diese Ungleichung nun beidseitig mit $\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1} > 0$, so folgt die Ungleichung
$$\left(\bruch{n+1}{n}\right)^{n}* \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}<\left(\bruch{n+2}{n+1}\right)^{n+1}*\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}\,,$$
welche zur Ausgangsungleichung sogar äquivalent ist. (Bzgl. der Ausgangsungleichung gilt also insbesondere die Folgerung "$\Leftarrow$".)
Diese kann man umschreiben zu
$$\left(\bruch{n+1}{n}\right)^{n}* \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}=\frac{(n+1)^{n}}{n^{n}}*\frac{n^{n+1}}{(n+1)^{n+1}} =\frac{n+1}{n}<\left(\bruch{n+2}{n+1}\right)^{n+1}*\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}=\left(\frac{n+2}{n+1}*\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}=\left(\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}\right)^{n+1}\,.$$
Benutzt wurden dabei nur Rechenregeln der Art $\frac{a}{b}*\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\,,$ $\frac{a^n}{a^{n+1}}=\frac{1}{a}$ bzw. $\frac{a^{n+1}}{a^n}=a\,,$ insbesondere auch $(a*b)^n=a^n*b^n$ bzw, $\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n\,;$ also im Wesentlichen Rechenregeln für Potenzen.
Also ist die Ausgangsungleichung äquivalent zu
$$(\star)\;\;\;\frac{n}{n+1}=\red{1-\frac{1}{n+1} < \left(1-\frac{1}{(n+1)^2} \right)^{n+1}}=\left(\frac{n^2+2n+1-1}{(n+1)^2}\right)^{n+1}=\left(\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}\right)^{n+1}\,,$$
insbesondere gilt bzgl. der letzten Ungleichung "$\Leftarrow$", d.h. wenn wir beweisen können bzw. bewiesen haben, dass die letzte Ungleichung gilt, dann gilt auch die Ungleichung, "von der wir es wissen wollen, ob sie denn gilt": Unsere Ausgangsungleichung.
Jetzt braucht man ein Argument, warum denn $(\star)$ gilt. Eigentlich bringt man dazu, in der Hoffenung, dass Bernoulli hilft, durch Umformungen beide Seiten in eine entsprechende Form (links vom $\red{<}$ sind diese Umformungen von links nach rechts, und rechts vom $\red{<}$ sind diese von rechts nach links zu lesen), in der Hoffnung, dass sich der rotmarkierte Teil der Ungleichung aus Bernoulli folgern läßt.
Durch Anwendung von Bernoulli auf
$$ \left(1-\frac{1}{(n+1)^2} \right)^{n+1}}= \left(1+\frac{-1}{(n+1)^2} \right)^{n+1}}\,,$$
unter Beachtung von $-1/(n+1)^2 > -1$ ($n \in \IN_{\ge 1}$) liefert Bernoulli in der Tat
$$\left(1+\frac{-1}{(n+1)^2} \right)^{n+1}} > 1+(n+1)*\frac{-1}{(n+1)^2}=1-\frac{1}{n+1}\,.$$
Daher gilt $(\star)$ und aus $(\star)$ folgt schlussendlich die Behauptung.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 Mi 19.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
doch noch kurz hierzu:
> 2.) Behauptung: Die Folge [mm]b_{n}:=\left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n+1}[/mm]
> ist (streng) monoton fallend.
>
> Beweis:
> Ähnlich wie oben gilt für [mm]n \ge 2:[/mm]
>
> [mm]\left( 1+\bruch{1}{n-1} \right)^{n}=\left( \bruch{n}{n-1} \right)^{n}>\left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n+1}=\left( \bruch{n+1}{n} \right)^{n+1}[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{n+1}{n}=1+\bruch{1}{n}<\left( \bruch{n}{n-1}*\bruch{n}{n+1} \right)^{n}=\left( 1+\bruch{1}{n^{2}-1} \right)^{n}[/mm]
>
> > > Auch hier sehe ich leider nicht, was nach dem
> Äquivalenzzeichen gemacht wurde...?
>
> > Analog zu 1.). (Wenn Du beachtest, dass der Autor bei der
> > oberen Ungleichung [mm]>\,[/mm] und bei der unteren [mm]<\,[/mm] stehen hat
> > und ein wenig guckst, siehst Du, dass er von oberen zur
> > unteren Ungleichung kommt, indem er diese mit
> > [mm]\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}[/mm] multipliziert.)
> > Ich hoffe, dass es nun klar(er) ist?
>
> Wenn ich das Multiplizieren in der 1.) Behauptung kapiere,
> wird das kein Problem mehr sein. Ich wundere mich aber nur,
> warum sich das Gleichheitszeichen hier umdreht, obwohl man
> mit einem positiven Faktor multipliziert?
lies' das bitte sorgfältig(er). Dort wird nicht das Ungleichheitszeichen herumgedreht, sondern der Autor schreibt nur zunächst die Ungleichung
$$a < [mm] b\,$$
[/mm]
um in
$$b > [mm] a\,\,,$$
[/mm]
und danach multipiziert er da eine Konstante $c > [mm] 0\,$ [/mm] beidseitig heran. (Die Reihenfolge der Rechenschritte könnte auch anders herum gewesen sein: Aus $a < [mm] b\,$ [/mm] folgt mit $c > 0$ die Ungleichung $a*c < [mm] b*c\,,$ [/mm] welche man zu $b*c > [mm] a*c\,$ [/mm] umschreiben kann. Aber das Ergebnis ist natürlich das gleiche - d.h. die Reihenfolge der Rechnung ist unerheblich bzgl. dieser beiden Rechenschritte.) So entsteht aus
$$a < [mm] b\,$$
[/mm]
halt
$$b*c > [mm] a*c\,,$$
[/mm]
was der Autor aber natürlich auch in der Form
$$a*c < [mm] b*c\,$$
[/mm]
hätte stehen lassen können; daran erkennst Du, dass hier kein Ungleichheitszeichen verdreht worden ist.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:42 Fr 21.01.2011 | | Autor: | el_grecco |
Hallo Marcel,
ich möchte mich mit dieser Mitteilung recht herzlich für Deine Mühe bei Dir bedanken.
Nachdem ich wie Du immer alles in LaTeX tippe, weiß ich wie mühselig das bei längeren Texten ist und obendrein ist das sogar noch extrem zeitaufwändig.
Von daher hast Du wirklich meinen größten ![[respekt2]](/images/smileys/respekt2.gif "[respekt2]") !
Gruß
el_grecco
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> Es soll ein [mm]n \in \IN[/mm] bestimmt werden, sodass die folgende
> Differenz kleiner als 0.01 ist:
>
> [mm]\left| \left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n} - \left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n+1} \right|.[/mm]
>
> Beweisen Sie Ihr Ergebnis.
Ist nicht das hier die Aufgabenstellung, die "überhaupt nichts" mit dem Beweis der Existenz des Grenzwerts zu tun hat? Denn selbst wenn man all das beweist, was in der Parallelantwort verfolgt wird, hat man doch immer noch kein solches n gefunden, oder täusche ich mich da?
Das hier ist ja einfach nur eine Rechnung - wobei mich irritiert, dass im zweiten Term im Betrag im Nenner n steht und nicht n+1.
Falls das oben stimmt, dann musst du eigentlich "nur" diese Ungleichung nach n auflösen:
[mm] $\left| \left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n} - \left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n+1} \right| [/mm] < 0,01$
>
> Für dieses n erhalten Sie eine Näherung für die Zahl e
> mit einem Fehler kleiner 0.01 vermittels:
>
> [mm]\left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n}[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe ehrlich gesagt keinen blaßen Schimmer, wie die
> Rechnung aussehen muss, deshalb versuche ich mir das zu
> erschließen und bitte um etwas Hilfe.
>
> Ich glaube mein Hauptproblem ist der letzte Satz und es
> wäre sehr nett, wenn jemand kurz erklären könnte, was
> damit gemeint ist. Meine Verständnisprobleme:
> - Ist mit "e" die Eulersche Zahl gemeint?
> - Was sagt dieser "Hilfssatz" eigentlich aus?
>
> In Wikipedia steht für die Eulersche Zahl u.a.:
>
> [mm]e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n[/mm]
>
> Die Gemeinsamkeit zu dieser Aufgabe sehe selbst ich, aber
> der obige Hilfssatz bereitet mir leider noch zu starke
> Probleme...
lg weightgainer
>
> Vielen Dank.
>
> Gruß
> el_grecco
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:35 So 16.01.2011 | | Autor: | el_grecco |
Hallo weightgainer,
Deine Antwort klingt plausibel und ich weiß leider auch nicht (das wäre auch ein "Wunder" gewesen ), welcher Weg vom Aufgabensteller als Lösung gewünscht wird.
Hoffe jemand im Forum hier, klärt des "Rätsels" Lösung.
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:21 Mi 19.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Es soll ein [mm]n \in \IN[/mm] bestimmt werden, sodass die folgende
> > Differenz kleiner als 0.01 ist:
> >
> > [mm]\left| \left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n} - \left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n+1} \right|.[/mm]
>
> >
> > Beweisen Sie Ihr Ergebnis.
>
> Ist nicht das hier die Aufgabenstellung, die "überhaupt
> nichts" mit dem Beweis der Existenz des Grenzwerts zu tun
> hat? Denn selbst wenn man all das beweist, was in der
> Parallelantwort verfolgt wird, hat man doch immer noch kein
> solches n gefunden, oder täusche ich mich da?
nein, Du täuschst Dich nicht. In dieser Formulierung kann man sogar durchaus auch ein [mm] $n\,$ [/mm] durch probieren finden; dennoch muss man dann begründen, dass dieses $n [mm] \in \IN$ [/mm] auch passt - also nochmal einsetzen und denn Bruch konkret ausrechnen, oder halt eine geeignete Abschätzung benutzen.
Etwas interessanter wäre die Aufgabe gewesen, wenn denn ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] so zu bestimmen gewesen wäre, so dass ab diesem die obenstehende betragliche Differenz kleiner als eine konkret vorgegebene Zahl bleibt. Eine Existenzbegründung würde man mit der Konvergenzeigenschaft beider Folgen gegen den gleichen Grenzwert geben können, und dass man ein solches dann auch "leicht" angeben kann, wenn man sich hier klarmacht, dass die "betragliche Differenzfolge" [mm] $(|a_n-b_n|)_n$ [/mm] (streng) gegen [mm] $0\,$ [/mm] fällt. (Wenn man letzteres auch anders begründen kann, so ist das natürlich auch ausreichend.)
Gruß,
Marcel
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| Aufgabe | Es soll ein $ n [mm] \in \IN [/mm] $ bestimmt werden, sodass die folgende Differenz kleiner als 0.01 ist:
$ [mm] \left| \left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n} - \left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n+1} \right|. [/mm] $
Beweisen Sie Ihr Ergebnis. |
Hallo Marcel,
> > Ist nicht das hier die Aufgabenstellung, die "überhaupt
> > nichts" mit dem Beweis der Existenz des Grenzwerts zu tun
> > hat? Denn selbst wenn man all das beweist, was in der
> > Parallelantwort verfolgt wird, hat man doch immer noch kein
> > solches n gefunden, oder täusche ich mich da?
>
> nein, Du täuschst Dich nicht. In dieser Formulierung kann
> man sogar durchaus auch ein [mm]n\,[/mm] durch probieren finden;
> dennoch muss man dann begründen, dass dieses [mm]n \in \IN[/mm]
> auch passt - also nochmal einsetzen und denn Bruch konkret
> ausrechnen, oder halt eine geeignete Abschätzung
> benutzen.
habe ich das richtig verstanden, dass die folgenden Zeilen als Lösung ausreichend sind?
Z.B. [mm] $n=1000,\!\$ [/mm] denn:
$ [mm] \left| \left( 1+\bruch{1}{1000} \right)^{1000} - \left( 1+\bruch{1}{1000} \right)^{1000+1} \right|=$
[/mm]
$= [mm] \left| \left( \bruch{1000}{1000}+\bruch{1}{1000} \right)^{1000} - \left( \bruch{1000}{1000}+\bruch{1}{1000} \right)^{1001} \right|=$
[/mm]
$= [mm] \left| \left( \bruch{1001}{1000} \right)^{1000} - \left( \bruch{1001}{1000} \right)^{1001} \right|=$
[/mm]
$= [mm] \left| 2.7169... - 2.7196... \right|<0.01$
[/mm]
Sollte das als Lösung für diese Aufgabe wirklich genügen, wäre es um die parallele Antwort und Deine große Mühe insofern schade, als dass es nicht hätte sein müssen. Andererseits habe ich aber sehr viel dazugelernt und nochmals ein großes DANKE dafür an dieser Stelle.
> Gruß,
> Marcel
Gruß
el_grecco
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> Es soll ein [mm]n \in \IN[/mm] bestimmt werden, sodass die folgende
> Differenz kleiner als 0.01 ist:
>
> [mm]\left| \left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n} - \left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n+1} \right|.[/mm]
>
>
> Beweisen Sie Ihr Ergebnis.
> Hallo Marcel,
>
> > > Ist nicht das hier die Aufgabenstellung, die "überhaupt
> > > nichts" mit dem Beweis der Existenz des Grenzwerts zu tun
> > > hat? Denn selbst wenn man all das beweist, was in der
> > > Parallelantwort verfolgt wird, hat man doch immer noch kein
> > > solches n gefunden, oder täusche ich mich da?
> >
> > nein, Du täuschst Dich nicht. In dieser Formulierung kann
> > man sogar durchaus auch ein [mm]n\,[/mm] durch probieren finden;
> > dennoch muss man dann begründen, dass dieses [mm]n \in \IN[/mm]
> > auch passt - also nochmal einsetzen und denn Bruch konkret
> > ausrechnen, oder halt eine geeignete Abschätzung
> > benutzen.
>
> habe ich das richtig verstanden, dass die folgenden Zeilen
> als Lösung ausreichend sind?
>
> Z.B. [mm]n=1000,\!\[/mm] denn:
>
> [mm]\left| \left( 1+\bruch{1}{1000} \right)^{1000} - \left( 1+\bruch{1}{1000} \right)^{1000+1} \right|=[/mm]
>
> [mm]= \left| \left( \bruch{1000}{1000}+\bruch{1}{1000} \right)^{1000} - \left( \bruch{1000}{1000}+\bruch{1}{1000} \right)^{1001} \right|=[/mm]
>
> [mm]= \left| \left( \bruch{1001}{1000} \right)^{1000} - \left( \bruch{1001}{1000} \right)^{1001} \right|=[/mm]
>
> [mm]= \left| 2.7169... - 2.7196... \right|<0.01[/mm]
>
>
> Sollte das als Lösung für diese Aufgabe wirklich
> genügen, wäre es um die parallele Antwort und Deine
> große Mühe insofern schade, als dass es nicht hätte sein
> müssen. Andererseits habe ich aber sehr viel dazugelernt
> und nochmals ein großes DANKE dafür an dieser Stelle.
>
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Gruß
> el_grecco
>
Das ist in der Tat unbefriedigend, erfüllt aber den Wortlaut der Aufgabe: irgendein N suchen, und das Nachrechnen BEWEISt ja, dass es für dieses n gilt.
Gefühlt würde ich sagen, dass es möglicherweise um die Berechnung des kleinsten n geht, für das die Bedingung erfüllt ist, aber das steht da halt nicht.
Das wäre dann also so eine Rechnung wie:
[mm]\left| \left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n} - \left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n+1} \right|[/mm]
[mm] $=\left| \left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n} * \left( 1 - \left( 1+\bruch{1}{n} \right)\right) \right|$
[/mm]
[mm] $=\left| \frac{1}{n}*\left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n} \right|$
[/mm]
$= [mm] \frac{(n+1)^{n}}{n^{n+1}}$
[/mm]
Aber das könnte ich jetzt nicht weiter sinnvoll umformen - das sieht aber für mich wie so ein Standardweg zur Berechnung eines solchen n aus.
Du wirst doch bestimmt irgendwann eine Musterlösung dazu bekommen - darauf bin ich schon gespannt.
lg weightgainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:48 Fr 21.01.2011 | | Autor: | el_grecco |
Hallo weightgainer,
> Das ist in der Tat unbefriedigend, erfüllt aber den
> Wortlaut der Aufgabe: irgendein N suchen, und das
> Nachrechnen BEWEISt ja, dass es für dieses n gilt.
naja Mathematik für Informatiker ist scheinbar doch nur Mathematik für Dummys.
> Gefühlt würde ich sagen, dass es möglicherweise um die
> Berechnung des kleinsten n geht, für das die Bedingung
> erfüllt ist, aber das steht da halt nicht.
>
> Das wäre dann also so eine Rechnung wie:
>
> [mm]\left| \left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n} - \left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n+1} \right|[/mm]
>
> [mm]=\left| \left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n} * \left( 1 - \left( 1+\bruch{1}{n} \right)\right) \right|[/mm]
>
> [mm]=\left| \frac{1}{n}*\left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n} \right|[/mm]
>
> [mm]= \frac{(n+1)^{n}}{n^{n+1}}[/mm]
>
> Aber das könnte ich jetzt nicht weiter sinnvoll umformen -
> das sieht aber für mich wie so ein Standardweg zur
> Berechnung eines solchen n aus.
>
> Du wirst doch bestimmt irgendwann eine Musterlösung dazu
> bekommen - darauf bin ich schon gespannt.
Wahrscheinlich irgendwann nächste Woche. Es sollte mich aber stark wundern, wenn die Musterlösung wie in der parallelen Antwort ist, denn ich glaube kaum, dass die uns soviel zutrauen (davon mal abgesehen, dass die Angabe das ja anscheinend wirklich nicht gefordert hat). Ich werde die Musterlösung aber auf jeden Fall als Mitteilung hier abtippen.
> lg weightgainer
Ein schönes Wochenende!
Gruß
el_grecco
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Hallo el-grecco,
den ganzen Aufwand mit der "Parallel-Antwort" habe wohl
ich angezettelt mit meiner allerersten Antwort. Die Suche
nach einem passenden n für die Ungleichung sah ich als
eine einfache Taschenrechneraufgabe.
Den eigentlich interessanten Aspekt der Aufgabe (wo es
wirklich ernsthaft etwas zu beweisen gilt) sah ich in dem
Nachweis der Existenz des Grenzwerts der vorgegebenen
Zahlenfolgen.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:06 Fr 21.01.2011 | | Autor: | el_grecco |
Hallo Al,
> Hallo el-grecco,
>
> den ganzen Aufwand mit der "Parallel-Antwort" habe wohl
> ich angezettelt mit meiner allerersten Antwort. Die Suche
> nach einem passenden n für die Ungleichung sah ich als
> eine einfache Taschenrechneraufgabe.
> Den eigentlich interessanten Aspekt der Aufgabe (wo es
> wirklich ernsthaft etwas zu beweisen gilt) sah ich in dem
> Nachweis der Existenz des Grenzwerts der vorgegebenen
> Zahlenfolgen.
da Du ja als Diplom-Mathematiker ein Mathematiker mit "Leib und Seele" bist, ist es für mich nur nachvollziehbar, dass Du einen großen Wert auf die Hintergründe legst.
Für uns Informatiker werden aber anscheinend andere (nämlich viel niedrigere) Messlatten gesetzt und dazu gehören auch solche Taschenrechneraufgaben (bin darüber aber selbst etwas verwundert).
Naja mir tut's nur um den Marcel Leid, der sich in diesem Thread wie immer richtig viel Mühe gegeben hat.
> LG Al-Chw.
el_grecco
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:19 Sa 22.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo el,
> Naja mir tut's nur um den Marcel Leid, der sich in diesem
> Thread wie immer richtig viel Mühe gegeben hat.
ach Quatsch, da braucht Dir nichts leid tun. Ich bereue auch nichts, denn selbst, wenn der Aufgabensteller hier wirklich "nur" eigentlich eine Taschenrechneraufgabe gestellt hat, so hast Du alleine durch das mitverfolgen der Antworten schon einiges zusätzlich gelernt. Ob das wirklich für Dich notwendig ist bzw. auch für Dein Informatikstudium wichtig, das weiß ich nicht. Vor noch ein paar Jahren aber war das Informatikstudium mathematiklastiger, und ich finde es nicht verkehrt, wenn Informatikstudenten dann, wenn sie's im Studium nicht machen müssen, in ihrer "Freizeit" sich trotzdem mit anderen Mathematikaufgaben befassen. Denn ob die "Mathematikreduzierung" im Informatikstudium wirklich so sinnvoll ist, sei mal dahingestellt. Momentan ist's halt so, daher muss man es akzeptieren und hoffen, dass - auch wenn die Mathematik bei vielen Informatikern eher als "Belastung" empfunden wird - man nicht irgendwann mal feststellt, dass man ihr Mathematikverständnis nicht doch besser stärker beanspruchen und zu fördern hätte.
Jedenfalls keine Sorge: Alleine schon die Tatsache, dass Du Dich weiter mit der Aufgabe befasst hast, rechtfertigt jeden Zeitaufwand meinerseits diesbezüglich. Abgesehen davon bin ich hier nicht der einzige Schreiber, auch andere haben sich viel Mühe gegeben.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:14 Sa 22.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo el,
> Hallo Marcel,
> dann bin ich beruhigt.
>
> Mathematik spielt selbst im Bachelor Informatik eigentlich
> noch eine große Rolle:
> - Lineare Algebra
> - Analysis (nur I)
> - Wahlmöglichkeit zwischen "Logik für Informatiker" und
> "Diskrete Strukturen" (Finger weg von "Logik für
> Informatiker", denn die hat mit der mathematischen Logik
> nur sehr wenig zu tun und besitzt eine der höchsten
> Durchfallquoten! )
> - Stochastik
ja klar. Ich wollte nicht suggerieren, dass die Informatik mathematikfrei geworden ist. Nur früher gab es neben diesen Anforderungen noch einige mehr. Übrigens wird die Informatik auch niemals mathematikfrei sein können, wo dort doch oft Fragen der diskreten Mathematik behandelt werden.
> Allerdings gibt es zwischen den Dozenten sehr große
> Anforderungsunterschiede - genauso wie in den
> nichtmathematischen Vorlesungen auch. Ich würde behaupten,
> je älter der Dozent, desto höher das Anforderungslevel -
> zumindest habe ich bisher diese Erfahrung gemacht.
In den meisten Fällen ist das so. Das ist meist aber noch nicht mal beabsichtigt: Je länger sich jemand sich mit einer Materie befasst, desto einfacher empfindet man es ja. Und man merkt dann oft erst sehr spät, dass man so leicht und locker mit den Dingen umgehen kann, weil man es halt "gewohnt" ist, und jemand, der sich quasi da erst neu einarbeiten muss, halt auch eine gewisse Eingewöhnungszeit braucht.
Ich kenne aber durchaus auch das Gegenteil: Es gibt auch ältere Dozenten, die einfach Wert darauf legen, dass die Dinge, die sie erklären verstanden werden und entsprechend auch Aufgaben stellen und die Zeit dafür geben. Und dann gibt es ganz ehrgeizige junge Dozenten, die wollen, dass die Studenten den Stoff so schnell intus haben, wie sie es seinerzeit hatten - obwohl das evtl. einfach nur daran lag', das sie halt gerade auf dem Gebiet spezielle Fähigkeiten (entwickelt?) hatten.
Wie dem auch sei: Ich finde es wichtig, dass man neben dem, was man im Studium macht, auch versucht, sich auf anderen Interessensgebieten einzuarbeiten, wenn man den Spaß und Wille dafür hat. Und das Gute ist dann ja: Wenn's keine Pflichtvorlesung laut Studium gibt, so kann man das locker machen, immer dann, wenn man mal Zeit dafür hat. Ich finde es auch für Dich gut, dass Du jetzt nebenher hier nochmal ein wenig Mathematik bzgl. Folgen gelernt hast. Schließlich wirst Du irgendwann auch mal Rekursionen und Schleifen etc. programmieren (bzw. hast das schon), und je nach Aufgabe wirst Du dann auch schnell erkennen, was da gemacht wird und was sich vll. ein Mathematiker, der diese Aufgabe gestellt hat, sich dabei gedacht hat. Es macht Dich in dem Sinne auch ein wenig teamfähiger - jedenfalls in dem Sinne, dass Du so auch die Kompetenz hast, Dich mit Mathematikern zu verständigen, weil es dann einfach eine größere Schnittmenge zwischen Dir als Informatiker und einem Mathematiker geben wird. Diese Fähigkeit ist nicht zu verachten und nicht immer selbstverständlich, sollte aber für eine vernünftige Zusammenarbeit vorhanden sein.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:02 Sa 22.01.2011 | | Autor: | el_grecco |
Hallo Marcel,
> In den meisten Fällen ist das so. Das ist meist aber noch
> nicht mal beabsichtigt: Je länger sich jemand sich mit
> einer Materie befasst, desto einfacher empfindet man es ja.
> Und man merkt dann oft erst sehr spät, dass man so leicht
> und locker mit den Dingen umgehen kann, weil man es halt
> "gewohnt" ist, und jemand, der sich quasi da erst neu
> einarbeiten muss, halt auch eine gewisse Eingewöhnungszeit
> braucht.
ich muss sagen, dass ich diesen Gesichtspunkt gar nicht bedacht hatte. Ich habe mir das immer so erklärt, dass diese Leute noch von der "alten Schule" sind und genau deshalb so hohe Maßstäbe setzen.
> Wie dem auch sei: Ich finde es wichtig, dass man neben dem,
> was man im Studium macht, auch versucht, sich auf anderen
> Interessensgebieten einzuarbeiten, wenn man den Spaß und
> Wille dafür hat. Und das Gute ist dann ja: Wenn's keine
> Pflichtvorlesung laut Studium gibt, so kann man das locker
> machen, immer dann, wenn man mal Zeit dafür hat.
Ich kann es leider nicht beurteilen, wie es früher bei den Diplomstudiengängen war, aber im Bachelor ist es leider so, dass für andere Vorlesungen keine Zeit bleibt. Da geht es aber so gut wie allen Kommilitonen so, vor allem, denjenigen, die wie ich nebenbei noch arbeiten müssen. Aber ich stimme Dir vollkommen zu, dass es immer gut ist, seinen Horizont zu erweitern.
> Ich finde es auch für Dich gut, dass Du jetzt nebenher hier nochmal
> ein wenig Mathematik bzgl. Folgen gelernt hast.
> Schließlich wirst Du irgendwann auch mal Rekursionen und
> Schleifen etc. programmieren (bzw. hast das schon), und je
> nach Aufgabe wirst Du dann auch schnell erkennen, was da
> gemacht wird und was sich vll. ein Mathematiker, der diese
> Aufgabe gestellt hat, sich dabei gedacht hat.
Das hatten wir in der Java-Vorlesung bis "zum Erbrechen" und vor allem in der Vorlesung über die funktionale Programmiersprache Standard ML. Aller Anfang ist schwer, aber inzwischen geht es.
> Es macht Dich in dem Sinne auch ein wenig teamfähiger - jedenfalls in
> dem Sinne, dass Du so auch die Kompetenz hast, Dich mit
> Mathematikern zu verständigen, weil es dann einfach eine
> größere Schnittmenge zwischen Dir als Informatiker und
> einem Mathematiker geben wird. Diese Fähigkeit ist nicht
> zu verachten und nicht immer selbstverständlich, sollte
> aber für eine vernünftige Zusammenarbeit vorhanden sein.
Das sehe ich absolut genauso. Wobei eine weitere und sehr große Hürde für funktionierende Teamarbeit wohl die mangelnde Kommunikationsfähigkeit der Teammitglieder sein dürfte. Ich finde es im Studium ziemlich heftig, wie viele Leute total in sich gekehrt sind und sich vor Kommunikation regelrecht scheuen. Von Freunden, die schon seit etlichen Jahren in der Softwareentwicklung arbeiten, habe ich mir sagen lassen, dass wenn Projekte scheitern, das nicht an mangelnden Programmierskills der Teammitglieder liegt, sondern an der nicht vorhandenen/chaotischen Kommunikation untereinander. Kleine Anekdote: In einer Mathe-Vorlesung gab es einen, der hat während den Vorlesungen auf seinem Notebook tatsächlich "Doom 3" gespielt und das mit einer Besessenheit, die jenseits von "Gut und Böse" war.
> Gruß,
> Marcel
Gruß
el_grecco
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Dem was Marcel hier schreibt, kann ich nur voll zustimmen !
Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:13 Mi 26.01.2011 | | Autor: | el_grecco |
Hallo,
wie versprochen die Musterlösung:
Betrachten Sie die folgende Abschätzung des obigen Terms:
[mm] $\left| \left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n} - \left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n+1} \right|=\bruch{1}{n}\left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n}<\bruch{1}{n}\left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n+1}<\bruch{4}{n}.$
[/mm]
Hierbei ist der 2. Term von rechts eine in n monoton fallende Folge, die somit für n = 1 sehr grob gegen den rechten Term abgeschätzt ist. Wählt man also n > 400 so ist der Ausdruck, wie gewünscht, kleiner 0.01.
Scheinbar ging es also doch darum, ab welchem n dann < 0.01 gilt. Ich weiß zwar nicht, wie die auf die obere Lösung gekommen sind bzw. was die da gemacht haben, aber wenn ich das richtig sehe, ist meine Lösung falsch.
Euer Kommentar zur Musterlösung?
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:41 Do 27.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> wie versprochen die Musterlösung:
>
>
> Betrachten Sie die folgende Abschätzung des obigen Terms:
>
> [mm]\left| \left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n} - \left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n+1} \right|=\bruch{1}{n}\left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n}<\bruch{1}{n}\left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n+1}\red{<}\bruch{4}{n}.[/mm]
>
> Hierbei ist der 2. Term von rechts eine in n monoton
> fallende Folge, die somit für n = 1 sehr grob gegen den
> rechten Term abgeschätzt ist. Wählt man also n > 400 so
> ist der Ausdruck, wie gewünscht, kleiner 0.01.
>
>
> Scheinbar ging es also doch darum, ab welchem n dann < 0.01
> gilt. Ich weiß zwar nicht, wie die auf die obere Lösung
> gekommen sind bzw. was die da gemacht haben, aber wenn ich
> das richtig sehe, ist meine Lösung falsch.
wieso soll Deine Lösung falsch sein, bzw. was genau war denn Deine Lösung? Wenn Du nur ein konkretes [mm] $n\,$ [/mm] angegeben hast und es dafür nachgerechnet hast, darf ein Korrektor das nicht als falsch ansehen. Es ist nicht Deine Schuld, wenn sie eine andere Lösung erwarten; aber die Aufgabe so formulieren, dass eine solche Lösung der Formulierung der Aufgabe entspricht.
> Euer Kommentar zur Musterlösung?
Ich kann Dir sagen, was gemacht wurde. Wegen [mm] $(1+\;1/n)^{n+1} [/mm] > [mm] (1+\;1/n)^n$ [/mm] ist
[mm] $$\left| \left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n} - \left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n+1} \right|=\left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n+1} [/mm] - [mm] \left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n}=\left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n}\left( \left( 1+\bruch{1}{n} \right)-1\right)= \left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n}\frac{1}{n}\,.$$
[/mm]
Danach benutzt man wieder [mm] $(1+\;1/n)^{n+1} [/mm] > [mm] (1+\;1/n)^n\;\;(> [/mm] 0)$ und am Ende den Fakt, dass die Folge
[mm] $$\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}\right)_{n \in \IN_{\ge 1}}$$
[/mm]
monoton fallend ist, und daher alle Folgenglieder [mm] $\le$ [/mm] dem ersten sind, welches sich zu
[mm] $$\left(1+\frac{1}{1}\right)^{1+1}=2^2=4$$
[/mm]
berechnet.
Das oben von mir rotmarkierte [mm] $\red{<}$ [/mm] muss man also durch [mm] $\blue{\le}$ [/mm] ersetzen, was aber nichts daran ändert, dass die Abschätzung
[mm] $$\left| \left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n} - \left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n+1} \right| [/mm] < 4/n$$
dennoch gilt. Denn aus
$$a < b [mm] \le [/mm] c$$
folgt natürlich
$$a < [mm] c\,.$$
[/mm]
P.S.:
Warum man in der Lösung dann nicht einfach den Fakt nutzt, dass
$$e [mm] \leftarrow \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \le e < 3\,,$$
und man somit
$$|\ldots| < 3/n$$
erhält, frage ich mich allerdings. Es ist eher bekannt, dass $\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)_{n \in \IN_{\ge 1}}$ (streng) monoton gegen $e\,$ wächst, als dass $\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}\right)_{n \in \IN_{\ge 1}}$ (streng) monoton gegen $e\,$ fällt. Und bei beiden Folgen ist's gerade die Monotonie, die nicht ganz trivial einzusehen ist.
Gruß,
Marcel
[/mm]
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> Hallo,
>
> wie versprochen die Musterlösung:
>
>
> Betrachten Sie die folgende Abschätzung des obigen Terms:
>
> [mm]\left| \left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n} - \left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n+1} \right|=\bruch{1}{n}\left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n}<\bruch{1}{n}\left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n+1}<\bruch{4}{n}.[/mm]
>
> Hierbei ist der 2. Term von rechts eine in n monoton
> fallende Folge, die somit für n = 1 sehr grob gegen den
> rechten Term abgeschätzt ist. Wählt man also n > 400 so
> ist der Ausdruck, wie gewünscht, kleiner 0.01.
>
>
> Scheinbar ging es also doch darum, ab welchem n dann < 0.01
> gilt. Ich weiß zwar nicht, wie die auf die obere Lösung
> gekommen sind bzw. was die da gemacht haben, aber wenn ich
> das richtig sehe, ist meine Lösung falsch.
>
> Euer Kommentar zur Musterlösung?
>
> Gruß
> el_grecco
------------------------------------------------------------
Hallo el_grecco und alle Interessierten,
für diese "Musterlösung" werden also doch erhebliche
nicht triviale Vorkenntnisse einfach so erwartet und nicht
wirklich bewiesen, nämlich dass die Folge [mm] _{n\in\IN} [/mm] mit
$\ [mm] b_n\ [/mm] =\ [mm] \left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n+1}$
[/mm]
monoton fallend ist.
Das kleinstmögliche n, für welches die Ungleichung erfüllt
ist (das war aber in der Aufgabe gar nicht gefragt !), wäre
übrigens [mm] n_{min}=272 [/mm] . Dies entspricht übrigens ziemlich exakt
dem Wert $\ 100* e\ =\ [mm] \frac{e}{0.01}$ [/mm] .
Als Lösung für die gestellte Aufgabe kommt natürlich n=1000
ebenso gut in Frage wie n=400 , da eben gar nicht nach dem
kleinsten möglichen n gefragt wurde.
Der Aufgabensteller könnte also allenfalls noch das eine
oder andere dazulernen ...
LG Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:19 Do 27.01.2011 | | Autor: | el_grecco |
Hallo Marcel, Hallo Al,
vielen Dank für Eure Kommentare und Ausführungen. Ich bin mal auf die Korrektur gespannt bzw. wieviele Punkte es geben wird.
Einen schönen Tag!
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:17 Do 27.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
> Hallo el_grecco und alle Interessierten,
>
> für diese "Musterlösung" werden also doch erhebliche
> nicht triviale Vorkenntnisse einfach so erwartet und nicht
> wirklich bewiesen, nämlich dass die Folge [mm]_{n\in\IN}[/mm]
> mit
>
> [mm]\ b_n\ =\ \left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n+1}[/mm]
>
> monoton fallend ist.
genau das finde ich in der "Musterlösung" auch etwas merkwürdig. Ich kann es mir nur so erklären, dass der Aufgabensteller davon ausgeht, dass die Studenten es (vor kurzem) in der Analysis gelernt haben oder es nachschlagen können.
Denn der Beweis ist zwar auch nicht so schwer, aber er ist auch nicht ganz trivial. Da muss man an wenigstens einer Stelle einen "kleinen Trick" anzuwenden wissen, nämlich die Bernoulli-Ungleichung. (Jedenfalls bei [mm] <$a_n$> [/mm] mit [mm] $a_n=(1+\;1/n)^n$ [/mm] benutzt man die; wir hatten aber mal die Aufgabe für die obige Folge [mm] <$b_n$> [/mm] und wenn ich mich recht erinnere, geht der Beweis dann ziemlich analog.)
Gruß,
Marcel
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