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Forum "Interpolation und Approximation" - Approximation 1. Ableitung
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Approximation 1. Ableitung: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 06:21 Mo 04.02.2019
Autor: Belserich

Aufgabe
Sei [mm] $p_2(x)$ [/mm] das quadratische Interpolationspolynom in der Lagrangeschen Darstellung zu einer hinreichend glatten Funktion $f(x)$ and den Stützstellen [mm] $x_0, [/mm] \ [mm] x_0 [/mm] + h$ und [mm] $x_0 [/mm] + 2h$. Bestimmen Sie die erste Ableitung für [mm] ${p_2}'(x_0)$ [/mm]



Hallo,

Zum Kontext: [mm] $p_2$ [/mm] ist ein Polynom zweiten Grades. Wenn ich es also ableite, bekomme ich eine lineare Funktion.

In voherigen Aufgaben ist die Rede von einer Approximation von [mm] $p_2(x)$ [/mm] mittels zentraler Differenzen [mm] $\left ( p_2(x) = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h) }{2h}\right [/mm] )$. So wie ich es verstanden habe ist die zentrale Differenz quasi nur eine alternative Schreibweise des klassischen Differenzenquotienten in Bezug auf eine $h$-Umgebung von [mm] $x_0$. [/mm] Meine Vorgehensweise wäre nun, [mm] $x_0 [/mm] + h$ einfach nicht zu beachten und den zentralen Differenzenquotient mit [mm] $\frac{f(x_0 + 2h) - f(x_0)}{2h}$ [/mm] zu bilden. Dann würde ich für $f(x)$ das allgemeine Lagrange-Polynom zweiten Grades einsetzen und so weit wie möglich vereinfachen. ich bin mir jedoch ziemlich unsicher über die Korrektheit dieser Vorgehensweise. Kann das bitte jemand überprüfen und mir ggf. einen Denkanstoß geben?

        
Bezug
Approximation 1. Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:15 Mo 04.02.2019
Autor: fred97


> Sei [mm]p_2(x)[/mm] das quadratische Interpolationspolynom in der
> Lagrangeschen Darstellung zu einer hinreichend glatten
> Funktion [mm]f(x)[/mm] and den Stützstellen [mm]x_0, \ x_0 + h[/mm] und [mm]x_0 + 2h[/mm].
> Bestimmen Sie die erste Ableitung für [mm]{p_2}'(x_0)[/mm]
>  
>
> Hallo,
>  
> Zum Kontext: [mm]p_2[/mm] ist ein Polynom zweiten Grades. Wenn ich
> es also ableite, bekomme ich eine lineare Funktion.
>
> In voherigen Aufgaben ist die Rede von einer Approximation
> von [mm]p_2(x)[/mm] mittels zentraler Differenzen [mm]\left ( p_2(x) = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h) }{2h}\right )[/mm].


Das kann ja nicht sein ! Denn [mm] \frac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h) }{2h} [/mm] hängt doch gar nicht von x ab !

Es gilt [mm] \frac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h) }{2h} \to f'(x_0) [/mm]  für h [mm] \to [/mm] 0.


> So wie ich es verstanden habe ist die zentrale Differenz
> quasi nur eine alternative Schreibweise des klassischen
> Differenzenquotienten in Bezug auf eine [mm]h[/mm]-Umgebung von [mm]x_0[/mm].
> Meine Vorgehensweise wäre nun, [mm]x_0 + h[/mm] einfach nicht zu
> beachten und den zentralen Differenzenquotient mit
> [mm]\frac{f(x_0 + 2h) - f(x_0)}{2h}[/mm] zu bilden. Dann würde ich
> für [mm]f(x)[/mm] das allgemeine Lagrange-Polynom zweiten Grades
> einsetzen und so weit wie möglich vereinfachen. ich bin
> mir jedoch ziemlich unsicher über die Korrektheit dieser
> Vorgehensweise.



Dass das nicht korrekt ist, habe ich Dir oben gesagt.

>  Kann das bitte jemand überprüfen und mir
> ggf. einen Denkanstoß geben?


Du hast die Stützstellen [mm] (x_0, f(x_0)), (x_0+h, f(x_0+h)) [/mm] und [mm] (x_0+2h, f(x_0+2h)). [/mm]

Das gesuchte Polynom ist von der Form [mm] p_2(x)=a_0+a_1x+a_2x^2 [/mm] und damit

[mm] p_2'(x)=a_1+2a_2x. [/mm]

Du hast nun verschiedene Möglichkeuten die Koeffizienten [mm] a_0,a_1 [/mm] , [mm] a_2 [/mm] zu finden.  Was habt Ihr dazu gelernt ?

Schau mal hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Polynominterpolation

Es gilt doch

[mm] p_2(x_0+ih)=f(x_0+ih) [/mm]  für i=0,1,2.

Bezug
                
Bezug
Approximation 1. Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:12 Mo 04.02.2019
Autor: Belserich

Das hat mir schon den richtigen Denkanstoß gegeben. Vielen Dank!

Bezug
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