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| Aufgabe | | Seien [mm] X_{i}, [/mm] 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n, unabhängige Poisson-verteilte Zufallsvariablen mit [mm] E(X_{i}) [/mm] = 1 für alle 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n. Geben Sie eine Approximation mittels dem Zentralen Grenzwertsatz für P{ [mm] \summe_{i=1}^{n} X_{i} [/mm] > 1.1n } an. Verwenden Sie dabei auch die Stetigkeitskorrektur. (Dabei dürfen Sie 1.1n [mm] \in \IN [/mm] annehmen). Vergleichen Sie diese im Fall n = 10 und n = 100 mit der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit. |
Uns wurde folgende Definition vom Zentralen Grenzwertsatz gegeben:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wir haben leider keinen wirklichen Ansatz, da wir nicht wissen, wie wir P{ [mm] \summe_{i=1}^{n} X_{i} [/mm] > 1.1n } in die gegebene Formel für die Berechnung des Zentralen Grenzwertes einsetzen sollen und ob wir [mm] o^2 (sigma^2) [/mm] überhaupt benötigen. Wir würden für die Varianz nämlich keine reele Zahl herausbekommen.
Wir haben die Aufgabe jetzt so verstanden, dass wir eine Approximation mittels dem Zentralen Grenzwertsatz angeben sollen, dann die Stetigkeitskorrektur verwenden sollen und beide Werte für die beiden unterschiedlichen n(10 und 100) vergleichen sollen.
Da unser Skript lediglich aus Beweisen besteht (also eher eine Formelsammlung ist) und wir im Internet bis jetzt auch nichts gefunden haben, dass uns weiterhilf, stehen wir momentan auf dem Schlauch. Wir haben uns natürlich über die einzelnen Aufgabenteile (Approximation, Stetigkeitskorrektur) im Internet informiert, wurden daraus aber nicht schlauer, da wir durch die verschiedenen Formeln nur noch mehr verwirrt wurden.
Zur Stetigkeitskorrektur fidet man in unserem "Skript" einige Seiten nach der Definition des Zentralen Grenzwertes:
Oft ist die Approximation besonders gut für den mittleren Wert t = [mm] n_{0} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}. [/mm] Diese Wahl nennt man Stetigkeitskorrektur, da die Sprungfunktion t [mm] \to [/mm] P{X [mm] \le [/mm] t} durch eine stetige Funktion approximiert wird.
Es ist für uns bis auf das t kein Zusammenhang zur obigen Definition gegeben, da es sich dort um ein Beispiel handelt, welches in keiner Weise unserer Aufgabe ähnelt. Wir würden jetzt einfach [mm] n_{0} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] für das obige t einsetzen, wobei das sicherlich falsch ist und wir noch klären müssten ob [mm] n_{0} [/mm] dem obigen n entspricht.
Über Hilfe würden wir uns sehr freuen
Vielen Dank im Voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:30 Mo 17.06.2013 | | Autor: | luis52 |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Moin Wischmop123,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Der ZGS besagt, dass
$\lim_{n\to\infty} }P\left(\dfrac{\sum_{i=1}^nX_i/n-\operatorname{E}[X]}{\sqrt{\operatorname{Var}[X]}}\sqrt{n}\le z \right)=\Phi(z)$.
Nach Umstellen wird er fuer die Approximation
$P\left(\sum_{i=1}^nX_i\le \right s)\approx\Phi\left(\dfrac{s-n\operatorname{E}[X]}{\sqrt{n\operatorname{Var}[X]}}}\right)$
genutzt. Diese kann haeufig verbessert werden, wenn man rechts anstatt mit $s$ mit $s+1/2$
rechnet.
vg Luis
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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Luis,
vielen Dank für die schnelle Hilfe!
Für \right s würden wir also noch 1.1n einsetzen, der Erwartungswert ist ja bereits mit 1 gegeben und für die Varianz haben wir folgendes errechnet:
var(x) = E(x^2)-((E(x))^2
= \bruch{1}{n} \summe_{k=1}^{n} k^2 = \bruch{1}{n} \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6} -1^2
= \bruch{1}{6}(n+1)(2n+1) - 1
Eingesetzt in die umgestellte Formel des ZGS ergäbe sich:
$P\left(\sum_{i=1}^nX_i\le \right 1.1n)\approx\Phi\left(\dfrac{1.1n-n*1}{\sqrt{n\bruch{1}{6}(n+1)(2n+1) -1}}\right)$
Wenn wir bis hierhin keine Fehler gemacht haben, könnten wir also n=10 und n=100 einsetzen und das ganze auflösen? Für die Stetigkeitskorrektur wäre es demnach dann
$P\left(\sum_{i=1}^nX_i\le \right 1.1n)\approx\Phi\left(\dfrac{1.1n+\bruch{1}{2}-n*1}{\sqrt{n\bruch{1}{6}(n+1)(2n+1) -1}}\right)$
Vielen Dank nochmal für deine schnelle Hilfe :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 Mo 17.06.2013 | | Autor: | luis52 |
Hier bist du leider gaenzlich auf dem Holzweg. Du musst die Varianz der Poisson-Verteilung benutzen, also [mm] $\operatorname{Var}[X]=1=\lambda$.
[/mm]
Du rechnest anscheinend die Varianz einer diskreten Geichverteilung aus.
vg Luis
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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Oh, das wäre dann natürlich schief gegangen. Während unserer Suche im Internet sind wir im Bezug zur Poisson-Verteilung auf \mu = \sigma^2 = \lambda gestoßen, fanden das aber irgendwie zu "einfach" ^^ Das hätten wir uns dann doch lieber nocheinmal genauer anschauen sollen. Dann hätten wir immerhin die Varianz gehabt. Jetzt ist von der ursprünglichen Formel auch nicht mehr viel übrig:
$P\left(\sum_{i=1}^nX_i\le \right s)\approx\Phi\left(\dfrac{s-n\operatorname{E}[X]}{\sqrt{n\operatorname{Var}[X]}}}\right)$
Einsetzen ergibt (ohne Stetigkeitskorrektur):
$P\left(\sum_{i=1}^nX_i\le \right 1.1n)\approx\Phi\left(\dfrac{1.1n - n*1}{\sqrt{n*1}}}\right)$
Mit Stetigkeitskorrektur:
$P\left(\sum_{i=1}^nX_i\le \right 1.1n)\approx\Phi\left(\dfrac{1.1n +\bruch{1}{2} - n*1}{\sqrt{n*1}}}\right)$
Einsetzen der beiden n ergäbe dann:
Ohne Stetigkeitskorrektur:
Für n=10:
\approx\Phi(0.316228) \approx 0.624085
Für n=100:
\approx\Phi(1) \approx 1
Mit Stetigkeitskorrektur:
Für n=10:
\approx\Phi(0.474342) \approx 0.682372
Für n=100:
\approx\Phi(1.05) \approx 0.853141
Wenn wir bis hierhin nichts mehr falsch gemacht haben, müssten wir nur noch wissen, was uns die Ergebnisse sagen und wie wir sie mit den "tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten" vergleichen sollen. Müssen wir diese Wahrscheinlichkeiten noch mit
P_{\lambda}(k) = \bruch{\lambda^k}{k!}e^-\lambda
ausrechnen, wobei \lambda = 1 und n jeweils 10 und 100 ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:08 Mo 17.06.2013 | | Autor: | luis52 |
> Müssen wir diese
> Wahrscheinlichkeiten noch mit
>
> [mm]P_{\lambda}(k)[/mm] = [mm]\bruch{\lambda^k}{k!}e^-\lambda[/mm]
>
> ausrechnen, wobei [mm]\lambda[/mm] = 1 und n jeweils 10 und 100 ist?
Nicht ganz. Du musst $ [mm] P(\sum_{i=1}^{10}X_i\le [/mm] 11)$ bzw. [mm] $P(\sum_{i=1}^{100}X_i\le [/mm] 110)$ exakt berechnen. Nutze dazu, dass [mm] $\sum_{i=1}^nX_i$ [/mm] Poisson-verteilt ist mit [mm] $\lambda=n\cdot1=n$.
[/mm]
vg Luis
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Vielen vielen Dank, damit wurde uns unglaublich geholfen. Wir wären nichteinmal darauf gekommen, dass man den ZGS noch umformen muss für die Approximation. In unserem "Skript" ist dies leider auch nicht zu finden oder für Stochastik-Anfänger zu versteckt.
Nochmal vielen lieben Dank!
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