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Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Approximation: Taylor-Polynom
Approximation: Taylor-Polynom < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Approximation: Taylor-Polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:33 Do 29.10.2020
Autor: Mathemurmel

Aufgabe
Approximation mit Taylor-Polynom in der Mathe-Vorlesung für Wirtschaft

a) Warum benutze ich ein Taylor-Polynom, um einen Funktionswert in der Nähe eines bekannten Funktionswertes zu berechnen/abzuschätzen? Ich kann das doch mit dem Taschenrechner berechnen.

b) Wie weit dürfen die Werte vom bekannten Wert weg sein?

c) Wozu brauche ich die Werte ganz in der Nähe des bekannten Wertes?


Besonders wichtig ist mir die Antwort auf die erste Frage a), das andere ist vielleicht zu fachspezifisch.

        
Bezug
Approximation: Taylor-Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:11 Do 29.10.2020
Autor: statler

Hi!
> Approximation mit Taylor-Polynom in der Mathe-Vorlesung
> für Wirtschaft
>  a) Warum benutze ich ein Taylor-Polynom, um einen
> Funktionswert in der Nähe eines bekannten Funktionswertes
> zu berechnen/abzuschätzen? Ich kann das doch mit dem
> Taschenrechner berechnen.
>  

Die zynische Erklärung ist, daß die Wirtschaftswissenschaftler (besonders die VWLer) vor etwa 50 Jahren den Wunsch verspürten, eine exakte Wissenschaft im Hertzschen Sinne zu betreiben und deswegen in der Folge ihren Stoff mathematisiert haben. Wer einen älteren VWL-Klassiker von Adam Smith oder Wilhelm Röpke aufschlägt, findet dort keine einzige Formel. Und mathematische Modelle, die Analysis erfordern, erfordern eben oft auch die Taylor-Formel. Seitdem kriegen sie auch sogenannte Nobel-Preise, selbst wenn ihre mathematischen Modelle nichts taugen.

Davon abgesehen hat ein zu einer Funktion gehöriges Taylor-Polynom den Vorteil, eine allgemeine Abschätzung zu geben, die man gegebenenfalls in dieser Form weiterverwenden kann. Mit dem TR kannst du immer nur endlich viele Werte in einem Arbeitsgang 'exakt' berechen. Und was meinst du wohl, wie dein TR [mm] $e^{1,05}$ [/mm] berechnet?

Soweit erstmal :)
Dieter

Bezug
        
Bezug
Approximation: Taylor-Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:05 Do 29.10.2020
Autor: chrisno

a) Mit dem Taylorpolynom bekommst du oft eine einfachere Beschreibung der Funktion, zum Beispiel als Parabel. Damit kann man dann weitere Untersuchungen vornehmen, zum Beispiel eine Umkehrfunktion aufstellen. Natürlich kannst du auch mit dem Taschenrechner eine Tabelle machen und dir dann anschauen, wie so eine Umkehrfunktion aussehen könnte.
Auch können andere abgeleitete Größen, zum Beispiel die Elastizität, einfacher ausgerechnet werden.
Auch das geht nummerisch. Wenn du nun aber betrachten willst, was passiert, wenn eine Parmater geändert wird, dann kannst du natürlich einen dynamischen Funktionenplotter benutzen (geogebra), oder du schaust auf den Funktionsterm und schließt daraus.
Es könnte auch um eine Differentialgleichung gehen, die du gerade nicht lösen kannst. Mit dem Taylorpolynom wäre eine lokale Näherungslösung vielleicht auffindbar.

b) Wie genau du approximierst, musst du vorgeben. "5% Abweichung ist für mich in dieser Situation noch in Ordnung ..."

c) Oft ist man nicht an einem Wert interessiert, sondern am Funktionsverlauf.

Bezug
                
Bezug
Approximation: Taylor-Polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:17 Do 29.10.2020
Autor: Mathemurmel

Aufgabe
Approximation mit Taylor-Polynom in der Mathe-Vorlesung für Wirtschaft

Die Taylor-Approximation ist ja nur eine lokale Näherung. Woher weiß ich, wie weit ich mich da in den x-Werten vom Entwicklungspunkt x0 entfernen darf?

Bezug
                        
Bezug
Approximation: Taylor-Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:35 Fr 30.10.2020
Autor: statler


>  Die Taylor-Approximation ist ja nur eine lokale Näherung.
> Woher weiß ich, wie weit ich mich da in den x-Werten vom
> Entwicklungspunkt x0 entfernen darf?

Dabei helfen die Restglieder, benannt nach Lagrange, Cauchy und Schlömilch.


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