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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:41 Mi 16.04.2008 | | Autor: | medion |
| Aufgabe | Approximiere die Funktion f in einer Umgebung des Punktes P durch eine affine Funktion und berechne damit einen Näherungswert für [mm] f|_{Q}.
[/mm]
f(x,y)= [mm] \bruch{\wurzel{x}}{1+2\wurzel{y}}
[/mm]
P=(25 , 4) Q=(25.5 , 3.9) |
Hallo!
Weiß leider nicht, was hier mit "...berechne damit einen Näherungswert..." gemeint ist.
Hab es (meiner Meinung nach) soweit gelöst:
partielle Ableitung nach x: [mm] \bruch{\bruch{1}{2\wurzel{x}}}{(1+2\wurzel{y})²}
[/mm]
partielle Ableitung nach y: [mm] -\bruch{\bruch{\wurzel{x}}{\wurzel{y}}}{(1+2\wurzel{y})²}
[/mm]
[mm] f(x_{0},y_{0})= [/mm] 1
[mm] fx(x_{0},y_{0})= \bruch{1}{250}
[/mm]
[mm] fy(x_{0},y_{0})= -\bruch{1}{10}
[/mm]
affine Fkt:
z= [mm] \bruch{x}{250}-\bruch{y}{10}+\bruch{13}{10}
[/mm]
So, und wie stelle ich jetzt das mit dem Näherungswert an?
Bitte um Hilfe!
mfg
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Hi,
> Approximiere die Funktion f in einer Umgebung des Punktes P
> durch eine affine Funktion und berechne damit einen
> Näherungswert für [mm]f|_{Q}.[/mm]
> f(x,y)= [mm]\bruch{\wurzel{x}}{1+2\wurzel{y}}[/mm]
> P=(25 , 4) Q=(25.5 , 3.9)
> Hallo!
>
> Weiß leider nicht, was hier mit "...berechne damit einen
> Näherungswert..." gemeint ist.
>
> Hab es (meiner Meinung nach) soweit gelöst:
>
> partielle Ableitung nach x:
> [mm]\bruch{\bruch{1}{2\wurzel{x}}}{(1+2\wurzel{y})²}[/mm]
> partielle Ableitung nach y:
> [mm]-\bruch{\bruch{\wurzel{x}}{\wurzel{y}}}{(1+2\wurzel{y})²}[/mm]
>
> [mm]f(x_{0},y_{0})=[/mm] 1
> [mm]fx(x_{0},y_{0})= \bruch{1}{250}[/mm]
> [mm]fy(x_{0},y_{0})= -\bruch{1}{10}[/mm]
>
> affine Fkt:
> z= [mm]\bruch{x}{250}-\bruch{y}{10}+\bruch{13}{10}[/mm]
>
du hast hier das taylorpolynom erster ordnung berechnet, das ist der richtige weg. vielleicht stehe ich auf der leitung, aber wie kommst du auf $13/10$ statt einfach 1?
> So, und wie stelle ich jetzt das mit dem Näherungswert an?
> Bitte um Hilfe!
du sollst jetzt mit deiner affinen funktion den funktionswert von f an der stelle Q approximieren. Setze also Q einfach in deine funktion z ein. Interessehalber kannst du Q auch noch in f einsetzen und dann schauen, wie gross der entstandene fehler ist. Sollte nicht allzu gross sein, da P und Q nah beieinander liegen.
>
> mfg
gruss
matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Do 17.04.2008 | | Autor: | medion |
Zuerst, Danke für Deine Hilfe!
> vielleicht stehe ich auf der
> leitung, aber wie kommst du auf [mm]13/10[/mm] statt einfach 1?
Nun, ich bin nach folgender Formel vorgegangen:
z = [mm] f(x_{0} [/mm] , [mm] y_{0}) [/mm] + [mm] fx(x_{0} [/mm] , [mm] y_{0})*(x-x_{0}) [/mm] + [mm] fy(x_{0} [/mm] , [mm] y_{0})*(y-y_{0}) [/mm]
z = 1 + [mm] \bruch{1}{250}*(x-25) [/mm] + [mm] (-\bruch{1}{10})*(y-4)
[/mm]
z = 1 + [mm] \bruch{x}{250} [/mm] - [mm] \bruch{25}{250} [/mm] - [mm] \bruch{y}{10} [/mm] + [mm] \bruch{4}{10}
[/mm]
z = [mm] \bruch{x}{250} [/mm] - [mm] \bruch{y}{10} [/mm] + [mm] \bruch{10}{10} [/mm] + [mm] \bruch{4}{10} [/mm] - [mm] \bruch{1}{10}
[/mm]
z = [mm] \bruch{x}{250} [/mm] - [mm] \bruch{y}{10} [/mm] + [mm] \bruch{13}{10}
[/mm]
> du sollst jetzt mit deiner affinen funktion den
> funktionswert von f an der stelle Q approximieren. Setze
> also Q einfach in deine funktion z ein. Interessehalber
> kannst du Q auch noch in f einsetzen und dann schauen, wie
> gross der entstandene fehler ist. Sollte nicht allzu gross
> sein, da P und Q nah beieinander liegen.
ok, dh:
[mm] z|_{Q} [/mm] = [mm] \bruch{25,5}{250} [/mm] - [mm] \bruch{3,9}{10} [/mm] + [mm] \bruch{13}{10}
[/mm]
[mm] z|_{Q} [/mm] = [mm] \bruch{253}{250} [/mm] = 1,012
[mm] f|_{Q} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{25,5}}{1+2*\wurzel{3,9}}
[/mm]
[mm] f|_{Q} [/mm] = 1,02021724 [mm] \approx [/mm] 1,02
passt das so?
mfg
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> Zuerst, Danke für Deine Hilfe!
>
> > vielleicht stehe ich auf der
> > leitung, aber wie kommst du auf [mm]13/10[/mm] statt einfach 1?
>
> Nun, ich bin nach folgender Formel vorgegangen:
> z = [mm]f(x_{0}[/mm] , [mm]y_{0})[/mm] + [mm]fx(x_{0}[/mm] , [mm]y_{0})*(x-x_{0})[/mm] +
> [mm]fy(x_{0}[/mm] , [mm]y_{0})*(y-y_{0})[/mm]
>
> z = 1 + [mm]\bruch{1}{250}*(x-25)[/mm] + [mm](-\bruch{1}{10})*(y-4)[/mm]
>
> z = 1 + [mm]\bruch{x}{250}[/mm] - [mm]\bruch{25}{250}[/mm] - [mm]\bruch{y}{10}[/mm] +
> [mm]\bruch{4}{10}[/mm]
>
> z = [mm]\bruch{x}{250}[/mm] - [mm]\bruch{y}{10}[/mm] + [mm]\bruch{10}{10}[/mm] +
> [mm]\bruch{4}{10}[/mm] - [mm]\bruch{1}{10}[/mm]
>
> z = [mm]\bruch{x}{250}[/mm] - [mm]\bruch{y}{10}[/mm] + [mm]\bruch{13}{10}[/mm]
ok, sieht gut aus. da stand ich tatsaechlich auf der leitung!
>
> > du sollst jetzt mit deiner affinen funktion den
> > funktionswert von f an der stelle Q approximieren. Setze
> > also Q einfach in deine funktion z ein. Interessehalber
> > kannst du Q auch noch in f einsetzen und dann schauen, wie
> > gross der entstandene fehler ist. Sollte nicht allzu gross
> > sein, da P und Q nah beieinander liegen.
>
> ok, dh:
>
> [mm]z|_{Q}[/mm] = [mm]\bruch{25,5}{250}[/mm] - [mm]\bruch{3,9}{10}[/mm] +
> [mm]\bruch{13}{10}[/mm]
>
> [mm]z|_{Q}[/mm] = [mm]\bruch{253}{250}[/mm] = 1,012
>
> [mm]f|_{Q}[/mm] = [mm]\bruch{\wurzel{25,5}}{1+2*\wurzel{3,9}}[/mm]
>
> [mm]f|_{Q}[/mm] = 1,02021724 [mm]\approx[/mm] 1,02
>
> passt das so?
>
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") wie vermutet, ist der fehler relativ klein.
> mfg
vg
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