Approximationsproblem < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Man gebe den approximativen Ausdruck für die W, dass unter den 365 Hörern einer Anfängervorlesung mindestens 2 am ersten Vorlesungstag Geburtstag haben. Dazu nehmen wir an, dass die W, an einem bestimmten Tag Geburtstag zu haben, gleichverteilt ist über alle 365 Tage. |
Hi eine Lösung dazu, die ich im Netz gefunden habe.
Das Ganze ist Binomialverteilt, also
[mm] P(A)=\summe_{k=2}^{365}\vektor{365 \\ k}*(\bruch{1}{365})^k(1-\bruch{1}{365})^{365-k}
[/mm]
= 1 - [mm] \summe_{k=0}^{1}\vektor{365 \\ k}*(\bruch{1}{365})^k(1-\bruch{1}{365})^{365-k}
[/mm]
= 1 - [mm] (\bruch{729}{364})(\bruch{729}{364})^{365}
[/mm]
wegen [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1- 1/n)^n=\bruch{1}{e} [/mm] folgt:
[mm] P(A)=1-\bruch{729}{364*e}
[/mm]
so diese Rechnung habe ich noch nicht so ganz verstanden.
Ich weiß, dass [mm] \summe_{k=0}^{365}\vektor{365 \\ k}*(\bruch{1}{365})^k(1-\bruch{1}{365})^{365-k}=1 [/mm] gelten muss. bringe ich die 1 dann auf die andere Seite, so bekommt man ja [mm] \summe_{k=0}^{365}\vektor{365 \\ k}*(\bruch{1}{365})^k(1-\bruch{1}{365})^{365-k} [/mm] - 1.
Schaue ich mir jedoch die zweite Zeile dort an, so verstehe ich deren Summe nicht. Wieso gehen die nur noch von k=0 bis 1??? [mm] \summe_{k=0}^{1}
[/mm]
Dann versteh ich auch nicht, wie die von
= 1 - [mm] \summe_{k=0}^{1}\vektor{365 \\ k}*(\bruch{1}{365})^k(1-\bruch{1}{365})^{365-k} [/mm] auf
= 1 - [mm] (\bruch{729}{364})(\bruch{729}{364})^{365} [/mm] kommen.
kann mir das vielleicht jemand erklären. Wäre echt nett.
Grüße
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Hallo jaruleking,
> Man gebe den approximativen Ausdruck für die W, dass unter
> den 365 Hörern einer Anfängervorlesung mindestens 2 am
> ersten Vorlesungstag Geburtstag haben. Dazu nehmen wir an,
> dass die W, an einem bestimmten Tag Geburtstag zu haben,
> gleichverteilt ist über alle 365 Tage.
> Hi eine Lösung dazu, die ich im Netz gefunden habe.
>
> Das Ganze ist Binomialverteilt, also
>
> [mm]P(A)=\summe_{k=2}^{365}\vektor{365 \\ k}*(\bruch{1}{365})^k(1-\bruch{1}{365})^{365-k}[/mm]
>
> = 1 - [mm]\summe_{k=0}^{1}\vektor{365 \\ k}*(\bruch{1}{365})^k(1-\bruch{1}{365})^{365-k}[/mm]
>
> = 1 - [mm](\bruch{729}{364})(\bruch{729}{364})^{365}[/mm]
>
> wegen [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1- 1/n)^n=\bruch{1}{e}[/mm]
> folgt:
>
> [mm]P(A)=1-\bruch{729}{364*e}[/mm]
>
>
> so diese Rechnung habe ich noch nicht so ganz verstanden.
>
> Ich weiß, dass [mm]\summe_{k=0}^{365}\vektor{365 \\ k}*(\bruch{1}{365})^k(1-\bruch{1}{365})^{365-k}=1[/mm]
> gelten muss. bringe ich die 1 dann auf die andere Seite, so
> bekommt man ja [mm]\summe_{k=0}^{365}\vektor{365 \\ k}*(\bruch{1}{365})^k(1-\bruch{1}{365})^{365-k}[/mm]
> - 1.
>
> Schaue ich mir jedoch die zweite Zeile dort an, so verstehe
> ich deren Summe nicht. Wieso gehen die nur noch von k=0 bis
> 1??? [mm]\summe_{k=0}^{1}[/mm]
>
>
Das Gegenereignis zu dem Ereignis, daß mindestens 2 Hörer am selben Tag Geburtstag haben, ist, daß höchstens 1 Hörer an diesem Tag Geburtstag hat.
Das schliesst ein, daß an diesem Tag kein Hörer Geburtstag hat.
> Dann versteh ich auch nicht, wie die von
>
> = 1 - [mm]\summe_{k=0}^{1}\vektor{365 \\ k}*(\bruch{1}{365})^k(1-\bruch{1}{365})^{365-k}[/mm]
> auf
>
> = 1 - [mm](\bruch{729}{364})(\bruch{729}{364})^{365}[/mm] kommen.
>
> kann mir das vielleicht jemand erklären. Wäre echt nett.
>
> Grüße
Gruss
MathePower
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Achso, ok danke.
Und bei der zweiten Frage, ich weiß nicht, ob ich es falsch mache, aber ich komme da auf:
= 1 - [mm] \summe_{k=0}^{1}\vektor{365 \\ k}\cdot{}(\bruch{1}{365})^k(1-\bruch{1}{365})^{365-k}
[/mm]
= 1 - [mm] \vektor{365 \\ 0}\cdot{}(\bruch{1}{365})^0(1-\bruch{1}{365})^{365-0} [/mm] - [mm] \vektor{365 \\ 1}\cdot{}(\bruch{1}{365})^1(1-\bruch{1}{365})^{365-1}
[/mm]
= 1- [mm] (\bruch{364}{365})^{365} [/mm] - [mm] (\bruch{364}{365})^{364}
[/mm]
so, aber wie kommen die jetzt auf:
= 1 - $ [mm] (\bruch{729}{364})(\bruch{729}{364})^{365} [/mm] $
das versteh ich nicht...
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Hallo jaruleking,
> Achso, ok danke.
>
> Und bei der zweiten Frage, ich weiß nicht, ob ich es
> falsch mache, aber ich komme da auf:
>
>
> = 1 - [mm]\summe_{k=0}^{1}\vektor{365 \\ k}\cdot{}(\bruch{1}{365})^k(1-\bruch{1}{365})^{365-k}[/mm]
>
> = 1 - [mm]\vektor{365 \\ 0}\cdot{}(\bruch{1}{365})^0(1-\bruch{1}{365})^{365-0}[/mm]
> - [mm]\vektor{365 \\ 1}\cdot{}(\bruch{1}{365})^1(1-\bruch{1}{365})^{365-1}[/mm]
>
> = 1- [mm](\bruch{364}{365})^{365}[/mm] - [mm](\bruch{364}{365})^{364}[/mm]
>
> so, aber wie kommen die jetzt auf:
>
> = 1 - [mm](\bruch{729}{364})(\bruch{729}{364})^{365}[/mm]
>
Ersetze zunächst
[mm]\bruch{364}{365}=1-\bruch{1}{365}[/mm]
Dann steht zunächst da
[mm]1 -(\bruch{729}{365})(1-\bruch{1}{365})^{364}[/mm]
Um das jetzt auf die Form [mm]\left(1-\bruch{1}{n}\right)^{n}[/mm] zu bringen
wird der Ausdruck
[mm](1-\bruch{1}{365})^{364}[/mm]
so geschrieben:
[mm]\bruch{(1-\bruch{1}{365})^{365}}{1-\bruch{1}{365}}=\bruch{(1-\bruch{1}{365})^{365}}{{\bruch{364}{365}}}=\bruch{364}{365}*(1-\bruch{1}{365})^{365}[/mm]
Einsetzen und Grenzübergang liefert dann das gewünschte.
> das versteh ich nicht...
>
Gruss
MathePower
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hi mathepower,
so ganz habe ich es leider immer noch nicht verstanden....
> Ersetze zunächst
> $ [mm] \bruch{364}{365}=1-\bruch{1}{365} [/mm] $
was meinst du hiermit? an welcher stelle ersetzen??
> Dann steht zunächst da
> $ 1 [mm] -(\bruch{729}{365})(1-\bruch{1}{365})^{364} [/mm] $
wo kommen jetzt hier auf einmal die [mm] \bruch{729}{365} [/mm] her??
> [mm] \bruch{(1-\bruch{1}{365})^{365}}{1-\bruch{1}{365}}=\bruch{(1-\bruch{1}{365})^{365}}{{\bruch{364}{365}}}=\bruch{364}{365}\cdot{}(1-\bruch{1}{365})^{365}
[/mm]
hier versteh ich gerade auch nicht, wie du überhaupt darauf kommst, das ganze so zu dividieren? ist dir zum schluss eigentlich nicht auch ein kleiner fehler unterlaufen? muss man nicht mit dem kehrwert multiplizieren? also:
[mm] \bruch{365}{364}\cdot{}(1-\bruch{1}{365})^{365}????
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:55 Do 25.03.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
$ 1- [mm] (\bruch{364}{365})^{365} [/mm] - [mm] (\bruch{364}{365})^{364} [/mm] $
Betrachten wir mal nur das hintere:
[mm] $(\bruch{364}{365})^{365} [/mm] + [mm] (\bruch{364}{365})^{364}$
[/mm]
Ausklammern:
[mm] $=(\bruch{364}{365})^{364}(1+ \bruch{364}{365})= (\bruch{364}{365})^{364}\bruch{729}{365}$
[/mm]
Wie schon geschrieben kann man jetzt feststellen, daß
[mm] $(\bruch{364}{365})^{364}= (1-\bruch{1}{365})^{364}$
[/mm]
fast in der Form [mm] $(1-\frac1{n})^n$ [/mm] ist, wir brauchen nur 365 statt 364 als Exponent, also erweitern wir:
[mm] $(\bruch{364}{365})^{364}\bruch{729}{365}=(\bruch{364}{365})^{365}\bruch{365}{364}\bruch{729}{365}=$
[/mm]
[mm] $=(1-\bruch{1}{365})^{365}\bruch{365}{364}\bruch{729}{365}=(1-\bruch{1}{365})^{365}\bruch{729}{364}$
[/mm]
ciao
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:08 Do 25.03.2010 | | Autor: | jaruleking |
super vielen dank für die erklärung.
grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:45 Do 25.03.2010 | | Autor: | Blech |
> Man gebe den approximativen Ausdruck für die W, dass unter
> den 365 Hörern einer Anfängervorlesung mindestens 2 am
> ersten Vorlesungstag Geburtstag haben. Dazu nehmen wir an,
> dass die W, an einem bestimmten Tag Geburtstag zu haben,
> gleichverteilt ist über alle 365 Tage.
> Hi eine Lösung dazu, die ich im Netz gefunden habe.
>
> Das Ganze ist Binomialverteilt, also
>
> [mm]P(A)=\summe_{k=2}^{365}\vektor{365 \\ k}*(\bruch{1}{365})^k(1-\bruch{1}{365})^{365-k}[/mm]
>
> = 1 - [mm]\summe_{k=0}^{1}\vektor{365 \\ k}*(\bruch{1}{365})^k(1-\bruch{1}{365})^{365-k}[/mm]
>
> = 1 - [mm](\bruch{729}{364})(\bruch{729}{364})^{365}[/mm]
Das stimmt absolut nicht, die Zahl wäre negativ und gigantisch.
ciao
Stefan
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