Arbeit über Kurvenintegral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:54 So 23.11.2014 | | Autor: | Teryosas |
| Aufgabe | Ein Massenpunkt werde gegen eine Kraft [mm] f(\vec{x})=-D\vec{x}-mg\vec{e_{3}} [/mm] , [mm] \vec{x}\in\IR^3, [/mm] längs einer Schraubenlinie
[mm] \vec{\gamma}=\vektor{\rho cos (t) \\ \rho sin (t) \\ \bruch{h}{4\pi}t} [/mm] für 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le 4\pi
[/mm]
bewegt. Hierbei sind [mm] D,m,g,\rho [/mm] und h positive reelle Konstanten, und es gilt [mm] \vec{e_{3}}=(0,0,1)^T. [/mm] Berechnen Sie dazu gehörige erforderliche Arbeit [mm] \ingetral_{\vec{\gamma}}^{}{F*d\vec{s}}. [/mm] Tun Sie dies sowohl unter Verwendung der Definition dieses Integraltyps sowie mit Hilfe des Potenzials. |
Hey,
Also zum Integraltyp würde ich sagen das wir ein Kurvenintegral 2. Art haben was dazu führt das ich auf
[mm] \integral_{0}^{4\pi}{F(\vec{\gamma}(t))*\vec{\dot{\gamma}}dt}
[/mm]
mit
[mm] F(\vec{\gamma}(t))=-D*\vektor{\rho cos (t) \\ \rho sin (t) \\ \bruch{h}{4\pi}t}-mg*\vektor{0\\0\\1}= -\vektor{D\rho cos (t) \\ D\rho sin (t) \\ D\bruch{h}{4\pi}t-mg}
[/mm]
und
[mm] \vec{\dot{\gamma}}=\vektor{\rho sin (t) \\ -\rho cos (t) \\ \bruch{h}{4\pi}}
[/mm]
stimmt das so?
Nur bei den Potentialen habe ich keinen wirklich Ansatz...
Vermutlich muss ich ersteinmal mit [mm] F(\vec{\gamma}(t)) [/mm] zeigen das es sich um ein Gradientenfeld handelt? Wenn ich beim [mm] \IR^3 [/mm] die 3 Ableitungensgleichungen bestimme die es zu erfüllen gilt, nach x,y,z käme ich ja überall auf 0???
Aber dann beim Potential steh ich ziemlich aufm Schlauch...
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:34 So 23.11.2014 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Ein Massenpunkt werde gegen eine Kraft
> [mm]f(\vec{x})=-D\vec{x}-mg\vec{e_{3}}[/mm] , [mm]\vec{x}\in\IR^3,[/mm]
> längs einer Schraubenlinie
> [mm]\vec{\gamma}=\vektor{\rho cos (t) \\ \rho sin (t) \\ \bruch{h}{4\pi}t}[/mm]
> für 0 [mm]\le[/mm] t [mm]\le 4\pi[/mm]
> bewegt. Hierbei sind [mm]D,m,g,\rho[/mm] und
> h positive reelle Konstanten, und es gilt
> [mm]\vec{e_{3}}=(0,0,1)^T.[/mm] Berechnen Sie dazu gehörige
> erforderliche Arbeit
> [mm]\ingetral_{\vec{\gamma}}^{}{F*d\vec{s}}.[/mm] Tun Sie dies
> sowohl unter Verwendung der Definition dieses Integraltyps
> sowie mit Hilfe des Potenzials.
> Hey,
>
> Also zum Integraltyp würde ich sagen das wir ein
> Kurvenintegral 2. Art haben was dazu führt das ich auf
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\integral_{0}^{4\pi}{F(\vec{\gamma}(t))*\vec{\dot{\gamma}}dt}[/mm]
> mit
> [mm]F(\vec{\gamma}(t))=-D*\vektor{\rho cos (t) \\ \rho sin (t) \\ \bruch{h}{4\pi}t}-mg*\vektor{0\\0\\1}= -\vektor{D\rho cos (t) \\ D\rho sin (t) \\ D\bruch{h}{4\pi}t-mg}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm] $\ldots=-\left(\begin{array}{c}
D\rho\cos t\\
D\rho\sin t\\
D\frac{h}{4\pi}t{\color{red}+}mg
\end{array}\right)$
[/mm]
>
> und
> [mm]\vec{\dot{\gamma}}=\vektor{\rho sin (t) \\ -\rho cos (t) \\ \bruch{h}{4\pi}}[/mm]
>
> stimmt das so?
Nein, überprüfe die Ableitung nochmal.
>
>
> Nur bei den Potentialen habe ich keinen wirklich Ansatz...
> Vermutlich muss ich ersteinmal mit [mm]F(\vec{\gamma}(t))[/mm]
> zeigen das es sich um ein Gradientenfeld handelt? Wenn ich
Nein Du musst zeigen, dass folgendes gilt:
[mm] $\nabla\times f(\vec{x})=0$
[/mm]
Dann handelt es sich um ein Gradientenfeld.
> beim [mm]\IR^3[/mm] die 3 Ableitungensgleichungen bestimme die es zu
> erfüllen gilt, nach x,y,z käme ich ja überall auf 0???
Ich weiß nicht genau was Du meinst, kannst Du Dich genauer ausdrücken?
> Aber dann beim Potential steh ich ziemlich aufm
> Schlauch...
Wie meinst Du das? Weißt Du nicht was ein Potential ist oder hast Du nur keine Ahnung wie man es berechnet?
Gruß,
notinX
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 So 23.11.2014 | | Autor: | Teryosas |
> > und
> > [mm]\vec{\dot{\gamma}}=\vektor{\rho sin (t) \\ -\rho cos (t) \\ \bruch{h}{4\pi}}[/mm]
>
> >
> > stimmt das so?
>
> Nein, überprüfe die Ableitung nochmal.
Ahh fuuu hab ausversehen integriert >.<
> >
> >
> > Nur bei den Potentialen habe ich keinen wirklich Ansatz...
> > Vermutlich muss ich ersteinmal mit [mm]F(\vec{\gamma}(t))[/mm]
> > zeigen das es sich um ein Gradientenfeld handelt? Wenn ich
>
> Nein Du musst zeigen, dass folgendes gilt:
> [mm]\nabla\times f(\vec{x})=0[/mm]
> Dann handelt es sich um ein
> Gradientenfeld.
>
> > beim [mm]\IR^3[/mm] die 3 Ableitungensgleichungen bestimme die es zu
> > erfüllen gilt, nach x,y,z käme ich ja überall auf 0???
>
> Ich weiß nicht genau was Du meinst, kannst Du Dich genauer
> ausdrücken?
>
> > Aber dann beim Potential steh ich ziemlich aufm
> > Schlauch...
>
> Wie meinst Du das? Weißt Du nicht was ein Potential ist
> oder hast Du nur keine Ahnung wie man es berechnet?
>
Wie ich das berechne in diesem Fall...
sobald cos, sin, tan iwo aufkreuzen stiftet das nur Verwirrung in meinem Kopf :/
und über Google habe ich mal noch keine entsprechende Beispielaufgabe/Youtubevideo gefunden woran ich mich lang hangeln könnte :/
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:15 So 23.11.2014 | | Autor: | notinX |
> Wie ich das berechne in diesem Fall...
Du suchst ja quasi eine Stammfunktion. Also integriere alle drei Komponenten des Vektorfeldes nach der entsprechenden Koordinate. Für die erste also:
[mm] $\int Dx\,\mathrm{d}x=-\frac{Dx^2}{2}+c(y,z)$
[/mm]
Die Integrationskonstante kann in diesem Fall von y und z abhängen. Das machst Du für alle drei Komponenten und bestimmst dann die Konstante so, dass es für alle passt und dass der Gradient der Funktion dem Vektorfeld entspricht.
> sobald cos, sin, tan iwo aufkreuzen stiftet das nur
> Verwirrung in meinem Kopf :/
Ganz ruhig, sin und cos sind eigentlich ziemlich umgängliche Funktionen - gerade wenns um Differenzieren und Integrieren geht.
> und über Google habe ich mal noch keine entsprechende
> Beispielaufgabe/Youtubevideo gefunden woran ich mich lang
> hangeln könnte :/
Verzweifelst Du an allen Herausforderungen des Lebens wenn es zum entsprechenden Sacherhalt kein youtube-Video gibt? :P
Ich weiß ja nicht, nach was Du gesucht hast, aber kuk mal zu welchem Ergebnis die Suche nach 'potential aus vektorfeld bestimmen' erscheint (gleich als erster Eintrag):
http://www.mathematik.uni-ulm.de/numerik/teaching/ss10/Analysis2/Uebungen/potential.pdf
Gruß,
notinX
|
|
|
|
