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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:31 Sa 10.11.2007 | | Autor: | Kreator |
| Aufgabe | [mm] F(x,y)=(xy^2, x^2y+2)^T
[/mm]
Berechnen Sie die Arbeit des Feldes F längs des Viertelkreisbogens [mm] \gamma [/mm] mit dem Zentrum (0/0) von A(-8, 8) nach B(-8, -8) unter Verwendung der Definition des Wegintegrals. |
So, die Aufgabe wäre eigentlich Einfach zu lösen, da es sich hier um ein Potentialfeld handelt und der weg damit unabhängig ist. Die Aufgabenstellung fordert aber eine explizite Berechnung über die Definition des Wegintegrals :-(. Mein Ansatz bis jetzt.
Parametrisieren des Ortsvektors (p): p = (r*sin(t), r*cos(t) wobei r der Betrag des Radius des Kreises ist [mm] (\wurzel{128}).
[/mm]
Wenn ich aber nun den abgeleiteten Orsvektor und die parametrisierten Komponenten in die Funktion F einsetze bekomme ich ein extrem kompliziertes Integral. Wo liegt der Fehler?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:09 So 11.11.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Kreator,
da Du kein Ergebnis postest, ist es schwer zu beurteilen, ob das Ergebnis für Dich kompliziert aussieht, ob Du dich verrechnet hast oder was sonst noch so alles hätte passieren können.
Ich nutzte für die Parametrisierung den Winkel [mm] \varphi [/mm], der von 3/4 Pi bis 5/4 Pi läuft mit dem konstanten Radius a, den Du bereits berechnet hast.
Damit bekomme ich folgendes Gebilde:
$$ Int = [mm] \int_{\bruch{3 \pi}{4}}^{\bruch{5 \pi}{4}} \left[(a \sin \varphi \cdot a^2 \cos^2 \varphi ) \cdot a \cos \varphi - (a^2 \sin^2 \varphi \cdot a \cos \varphi + 2) \cdot a \sin \varphi \right] [/mm] d [mm] \varphi \, [/mm] . $$
Und dann muss man das Integral lösen, was sicherlich etwas rechenaufwendig ist.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 So 11.11.2007 | | Autor: | Kreator |
Ja, sorry, habe ganz vergessen mein fertiges Integral zu posten, bin aber genau auf dieses Resultat gekommen. Wie könnte man dieses bestimmte Integral nun möglichst einfach integrieren und die Grenzen einsetzen? (Diese Aufgabe kommt aus einer Abschlussprüfung und hat nicht eine enorm hohe Punktezahl, es müsste also relativ einfach sein das Integral zu lösen (natürlich ohne Taschenrechner 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Kreator,
die Nebenbedingungen der Klausur kenne ich nicht, aber ich als Ingenieur hätte nun die unbekannten Integrale einfach im Bronstein oder einem ähnlichen Tabellenwerk nachgeschlagen:
$$ [mm] \int \sin \varphi \cdot \cos^3 \varphi\, [/mm] d [mm] \varphi [/mm] = [mm] \bruch{-1}{4} \cos^4 \varphi [/mm] $$
$$ [mm] \int \sin^3 \varphi \cdot \cos \varphi\, [/mm] d [mm] \varphi [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} \sin^4 \varphi [/mm] $$
Na ja und über den Sinus wirst Du sicherlich noch selbst integrieren können.
Viele Grüße,
Infinit
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