Arccos-Funktion < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:10 Mi 30.07.2008 | | Autor: | mathe-lk |
| Aufgabe | Die Funktion arccos: x [mm] \to [/mm] arccos(x); x [mm] \in [/mm] [-1;1] ist die Umkehrfunktion zur Funktion
cos: x [mm] \to [/mm] cos(x); x [mm] \in [0;\pi].
[/mm]
Zeigen Sie, dass die Funkton arccos im Intervall (-1;1) differenzierbar ist und dass gilt:
(arccos(x))'= - [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-x^{2}}} [/mm] |
Hi
ich habe mich an dieser Aufgabe versucht, bin aber leider leicht gescheitert!
Ich habe zunächst begonnen, dass die Funktion in dem angegebenen Intervall stetig ist und daher auch differenzierbar sein kann.
dann hab ich versucht den Grenzwert zu bilden
[mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{f(x)-f(0)}{x-0}
[/mm]
hier komm ich aber nicht weiter, was erhalte ich wenn ich arccos(0) berechnen möchte?
wenn dies 0 ist, wovon ich ausgehe, was erhalte ich dann aus [mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{arccos(x)}{x}? [/mm] ist die Funktion aufgrund dieses Ergebnisses differenzierbar?Oder muss ich noch etwas anderes berechnen bzw. stimmt mein Ansatz nicht!
Vielen Dank für die Hilfe!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:53 Mi 30.07.2008 | | Autor: | fred97 |
> Die Funktion arccos: x [mm]\to[/mm] arccos(x); x [mm]\in[/mm] [-1;1] ist die
> Umkehrfunktion zur Funktion
> cos: x [mm]\to[/mm] cos(x); x [mm]\in [0;\pi].[/mm]
> Zeigen Sie, dass die
> Funkton arccos im Intervall (-1;1) differenzierbar ist und
> dass gilt:
> (arccos(x))'= - [mm]\bruch{1}{\wurzel{1-x^{2}}}[/mm]
> Hi
> ich habe mich an dieser Aufgabe versucht, bin aber leider
> leicht gescheitert!
> Ich habe zunächst begonnen, dass die Funktion in dem
> angegebenen Intervall stetig ist und daher auch
> differenzierbar sein kann.
> dann hab ich versucht den Grenzwert zu bilden
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0} \bruch{f(x)-f(0)}{x-0}[/mm]
> hier komm
> ich aber nicht weiter, was erhalte ich wenn ich arccos(0)
> berechnen möchte?
Es ist [mm] cos(\pi/2) [/mm] = 0, also iat arccos(0) = [mm] \pi/2
[/mm]
> wenn dies 0 ist, wovon ich ausgehe, was erhalte ich dann
> aus [mm]\limes_{x\rightarrow\0} \bruch{arccos(x)}{x}?[/mm] ist die
> Funktion aufgrund dieses Ergebnisses differenzierbar?Oder
> muss ich noch etwas anderes berechnen bzw. stimmt mein
> Ansatz nicht!
>
> Vielen Dank für die Hilfe!!!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Wie wäre es, wenn Du die Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion benutzen würdest ??
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:27 Mi 30.07.2008 | | Autor: | mathe-lk |
Hallo
aber ich soll doch zeigen, dass das gilt, also ist das doch so eine Art Nachweis bzw. Beweis, welche Formel soll die denn dabei verwenden?
Ich weiß gerade nicht, welche Formel Du meinst, weil ich hab doch versucht, den Grenzwert zu berechnen, oder muss ich dies nicht tun?
Danke für die Hilfe
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Hallo,
nein, du musst keinen GW berechnen, du musst lediglich mithilfe der oben verlinkten Formel zeigen, dass die Ableitung von [mm] $\arccos(x)$, [/mm] also [mm] $\arccos'(x)$ [/mm] eben genauso aussieht, wie in der Aufgabenstellung
Berechne mal nach der Formel: (Rollen von $f$ und [mm] $f^{-1}$ [/mm] vertauscht)
[mm] $\arccos'(x)=\frac{1}{\left(\arccos^{-1}\right)'(\arccos(x))}=\frac{1}{\cos'(\arccos(x))}=\frac{1}{-\sin(\arccos(x))}=...$
[/mm]
LG
schachuzipus
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Umkehrregel auf Wikipedia